chương 2 đại lượng ngẫu nhiên

ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN  Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên ĐLNN là đại lượng có thể nhận bất kỳ một trong các giá trị cóthể của nó trong phép thử với xác suất tương

Trang 1

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Bài 1 Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

 Bài 2 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫunhiên

 Bài 3 Một số quy luật phân phối xác suất của đạilượng ngẫu nhiên

 Bài 4 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

Trang 2

BÀI 1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

 1 Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên

 2 Bảng phân phối xác suất của ĐLNN

 3 Hàm phân phối xác suất của ĐLNN

 4 Hàm mật độ xác suất của ĐLNN

Trang 3

1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) là đại

lượng có thể nhận bất kỳ một trong các giá trị cóthể của nó trong phép thử với xác suất tương ứngxác định

Trang 4

 Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc.

Gọi X là số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc sắc Ta có

X là một đại lượng ngẫu nhiên và X: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 Ví dụ 2: Tung một đồng xu cho tới khi xuất hiện

mặt sấp thì dừng lại

Gọi Y là số lần tung đồng xu Ta có Y là một đại lượng ngẫu nhiên và Y: 1, 2, 3,…

Trang 5

 Biến cố “Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong đoạn [  ;  ]” được viết là (  ≤ X ≤  ) và xác suất tương ứng là P(  ≤ X ≤  ).

Trang 6

 Ví dụ 3: Một cây xanh ở thời điểm t1 có chiều cao

120 cm, ở thời điểm t2 có chiều cao 125 cm Đochiều cao của cây đó ở thời điểm bất kì giữa t1 và t2Gọi Z là chiều cao đo được.

Ta có Z là ĐLNN và Z: [120;125].

Trang 7

 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên:

 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là ĐLNN mà tập các giá

trị có thể có của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: là ĐLNN mà tập các

giá trị có thể có của nó lấp đầy một hoặc một số khoảng nào đó trên trục số.

Trang 8

2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Bảng phân phối xác suất

 Giả sử X: x1, x2, … xn với Khi đó, bảng sau gọi là bảng phân phối xác suất của X:

Trang 9

 Bảng phân phối xác suất

Nếu tập các giá trị có thể có của X là tập vô hạn thì bảng phân phối xác suất của X là:

Trang 10

 Ví dụ 4: Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con

xúc xắc cân đối và đồng chất thì X có bảng phânphối xác suất như sau:

Trang 11

 Ví dụ 5: Một người đem 10 sản phẩm A và 5 sản

phẩm B đi bán Tiền lãi thu được với mỗi sản phẩm A,

B bán được tương ứng là 3 triệu đồng và 2 triệu đồng Một khách hàng đã chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm và mua hết Lập bảng phân phối xác suất của số tiền lãi thu được.

 Ví dụ 6: Một xạ thủ dùng 5 viên đạn để thử súng, xác

suất bắn trúng bia ở mỗi lần là 0,8 Xạ thủ này bắn lần lượt từng viên đạn cho tới khi trúng bia hoặc hết đạn thì dừng lai Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn cần dùng.

Trang 12

 Ví dụ 7: Lập bảng phân phối xác suất của đại lượng

ngẫu nhiên Y trong Ví dụ 2 (với giả thiết đồng xu cân

đối và đồng chất).

 Ví dụ 8: Cho 2 hộp sản phẩm: hộp 1 có 5 chính phẩm,

3 phế phẩm; hộp 2 có 6 chính phẩm, 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp 1 chuyển sang hộp 2 rồi từ hộp 2 lấy ra 2 sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra từ hộp 2.

Trang 13

3 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

 Định nghĩa:

 Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên Khi đó, hàm số F(x) = P(X < x),  x  R được gọi là hàm phân phối xác suất của X.

 Công thức tính xác suất khi biết hàm phân phối xác suất: P(x1 ≤ X < x2) = F(x2) – F(x1).

Trang 14

 Tính chất:

 0 ≤ F(x) ≤ 1,  x  R.

 F(+  ) = 1; F(-  ) = 0.

 F(x) là hàm không giảm trên R.

 Nếu X liên tục thì F(x) liên tục trên R.

 Hệ quả: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì

P(X = a) = 0  a  R.

Khi đó,

P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b)

Trang 15

 Xác định hàm phân phối xác suất khi có bảng phân phối xác suất

Cho X có bảng phân phối xác suất:

Khi đó, X có hàm phân phối xác suất:

Trang 16

Trang 17

 Ví dụ 9: Cho X có bảng phân phối xác suất:

Khi đó, hàm phân phối xác suất của X là:

Trang 18

Ta có: f(x) = F’(x).

 Nếu ĐLNN X có hàm mật độ xác suất là f(x) thì hàm phân phối xác suất của X được xác định bởi công thức:

Trang 20

BÀI 2 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA

Trang 21

1 VỌNG TOÁN

 Định nghĩa: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

có bảng phân phối xác suất:

Khi đó, vọng toán của X được kí hiệu và xác địnhnhư sau:

Trang 23

1 VỌNG TOÁN

 Ví dụ 1: Tính E(X) từ bảng phân phối xác suất sau:

Tính E(Y) từ bảng phân phối xác suất sau:

Trang 24

 Trong kinh tế, vọng toán đặc trưng cho giá trị kỳ vọng (lợi nhuận, doanh thu,…) mà nhà đầu tư có thể đạt được khi đầu tư một dự án.

Trang 27

1 VỌNG TOÁN

 Ví dụ 3: Một công ty dự định đầu tư 160 triệu đồng

để làm một phần mềm có thể bán được cho 2 đối tác

A và B một cách độc lập Xác suất đối tác A, B chấp nhận mua lần lượt là 0,7 và 0,8 Nếu đối tác A chấp nhận mua thì trả cho công ty 120 triệu đồng, còn nếu không mua thì đền bù hợp đồng 20 triệu đồng Nếu đối tác B chấp nhận mua thì trả cho công ty 130 triệu đồng, còn nếu không mua thì đền bù 25 triệu đồng.

a ) Tìm tiền lãi kỳ vọng công ty trên thu được khi làm phần mềm ấy.

b) Hỏi công ty có nên đầu tư làm phần mềm đó không?

Trang 28

1 VỌNG TOÁN

 Ví dụ 4: Có 2 lô sản phẩm: lô 1 có 8 chính phẩm, 2

phế phẩm; lô 2 có 7 chính phẩm, 4 phế phẩm Từ lô 1 lấy ra 2 sản phẩm, lô 2 lấy ra 3 sản phẩm Hỏi trong 5 sản phẩm thu được trung bình có bao nhiêu chính phẩm?

Trang 29

2 PHƯƠNG SAI

 Định nghĩa: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có

E(X) = a Khi đó, phương sai của đại lượng ngẫunhiên X được kí hiệu và xác định như sau:

D(X) = E(X – a)2 = E(X2) – [E(X)]2

Trang 30

Nếu phương sai nhỏ thì mức độ phân tán nhỏ, độtập trung lớn, nghĩa là X thường lấy giá trị gầnvọng toán Ngược lại, phương sai lớn thì độ phântán cao, độ tập trung thấp.

Trang 31

Trong kinh tế, phương sai đặc trưng cho mức độrủi ro của các dự án đầu tư Tức là một dự án đầu

tư có phương sai của lợi nhuận (hoặc phương saicủa tỷ suất lợi nhuận) càng lớn thì rủi ro càng cao

và ngược lại

Trang 34

2 PHƯƠNG SAI

 Ví dụ 6: Điểm số môn học A và B (theo thang điểm

4) ở một trường đại học là các đại lượng ngẫunhiên X và Y có bảng phân phối xác suất như sau:

Hỏi điểm số môn học nào đồng đều hơn?

P 0,02 0,15 0,16 0,23 0,19 0,16 0,06 0,03

P 0,01 0,05 0,2 0,21 0,28 0,19 0,04 0,02

Trang 35

3 ĐỘ LỆCH TIÊU CHUẨN

 Định nghĩa: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên Khi

đó, độ lệch tiêu chuẩn của X được kí hiệu và xácđịnh như sau:

 Ý nghĩa: Đơn vị đo của độ lệch tiêu chuẩn trùng

với đơn vị đo của vọng toán cũng như đơn vị đocủa đại lượng ngẫu nhiên Do đó, khi cần đánh giámức độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên theođơn vị đo người ta thường dùng độ lệch tiêu chuẩn

Trang 36

4 MOD

 Mod của đại lượng ngẫu nhiên là giá trị của đạilượng ngẫu nhiên có khả năng xảy ra nhiều nhất, kíhiệu là ModX

 Mod của đại lượng ngẫu nhiên liên tục là giá trị màtại đó hàm mật độ xác suất đạt giá trị lớn nhất

 Mod của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc là giá trị màtại đó xác suất tương ứng là lớn nhất

Trang 37

5 GIÁ TRỊ TỚI HẠN

 Định nghĩa: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên

tục và 0 ≤ α ≤ 1 Khi đó, giá trị tới hạn mức α của

X được kí hiệu là xα và xác định bởi:

P (X > xα ) = α

Trang 38

6 HỆ SỐ BIẾN THIÊN

 Định nghĩa: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên Khi

đó, hệ số biến thiên của X được kí hiệu và xác địnhnhư sau:

 Ý nghĩa: Hệ số biến thiên của ĐLNN không có đơn

vị đo, nó đặc trưng cho mức độ phân tán củaĐLNN trên mỗi đơn vị kì vọng Hệ số biến thiênđược dùng để so sánh độ phân tán giữa các hiệntượng có đơn vị tính khác nhau hoặc quy mô khácnhau

Trang 39

 Nếu hai khoản đầu tư A và B có cùng tỷ suất sinh lời kì vọng (vọng toán), người ta dùng phương sai, hoặc độ lệch tiêu chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai khoản đầu tư.

 Nếu hai khoản đầu tư A và B có tỷ suất sinh lời kì vọng (vọng toán) khác nhau, người ta dùng hệ số biến thiên

để so sánh mức độ rủi ro của hai khoản đầu tư.

Trang 40

 Ví dụ 7: Thời gian đi từ địa điểm A đến địa điểm B

bằng xe đạp và xe máy lần lượt là các đại lượngngẫu nhiên X, Y (đơn vị tính: phút) có bảng phânphối xác suất như sau:

Hỏi thời gian đi từ A đến B bằng phương tiện nào

Trang 41

 Ví dụ 8: Tỉ suất sinh lời (tính theo %) khi đầu tư vào

công ty A và B là các đại lượng ngẫu nhiên X và Y độc lập nhau có bảng phân phối xác suất:

a) Hỏi đầu tư vào công ty nào có tỉ suất sinh lời kỳ vọng cao hơn? Đầu tư vào công ty nào ít rủi ro hơn?

b) Nên đầu tư vào 2 công ty trên theo tỷ lệ vốn như thế nào

để ít rủi ro nhất (rủi ro đo bằng phương sai)?

P 0,05 0,15 0,5 0,3

P 0,1 0,45 0,2 0,25

Trang 42

BÀI 3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

 1 Quy luật phân phối nhị thức

 2 Quy luật phân phối chuẩn

 3 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụngkhác

Trang 43

1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là

có phân phối nhị thức (Bernoulli) với 2 tham số n

và p nếu X có bảng phân phối xác suất như sau:

Trang 44

 Bài toán: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất

xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử đều bằngnhau và bằng p

Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử ấy Khi đó, X ~ B(n; p).

 Ví dụ 1: Một người bắn 4 viên đạn vào bia, xác

suất bắn trúng bia ở mỗi lần là 0,8 Lập bảng phânphối xác suất của số viên đạn trúng bia

Trang 45

 Các tham số đặc trưng: Cho X ~ B(n; p) thì:

Trang 46

 Ví dụ 2: Một máy tự động sản xuất 8 sản phẩm Xác

suất được sản phẩm tốt ở mỗi lần sản xuất là 0,9.

a) Tính xác suất thu được ít nhất 6 sản phẩm tốt.

b) Tính xác suất thu được cả sản phẩm tốt và sản phẩm xấu.

c) Trung bình có bao nhiêu sản phẩm tốt được sản xuất ra? d) Khả năng lớn nhất có bao nhiêu sản phẩm tốt được sản xuất ra?

e) Nếu sản xuất được sản phẩm tốt thì lãi 15 nghìn đồng, còn được sản phẩm xấu thì bị lỗ 3 nghìn đồng Tìm tiền lãi

kì vọng khi máy đó sản xuất 8 sản phẩm.

Trang 47

 Ví dụ 3: Có 2 máy cùng chế tạo 1 loại sản phẩm, xác suất

chế tạo ra chính phẩm của máy 1 là 0,8; của máy 2 là 0,9 Cho máy 1 chế tạo 12 sản phẩm, máy 2 chế tạo 15 sản phẩm.

a) Tính xác suất thu được ít nhất 26 chính phẩm.

b) Hỏi trung bình thu được bao nhiêu chính phẩm?

 Ví dụ 4: Bài thi trắc nghiệm gồm 30 câu trong đó có 10 câu

dạng chọn phương án đúng sai và 20 câu dạng chọn một phương án đúng trong 4 phương án Một sinh viên đi thi nhưng do không học bài nên hoàn toàn khoanh bừa Tính xác suất để sinh viên đó chọn được phương án đúng ở 28 câu.

Trang 48

 Ví dụ 5: Bắn đồng thời 3 phát đạn vào một mục tiêu,

xác suất trúng mục tiêu của mỗi phát đạn là 0,7 Khả năng mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng 1, 2 phát đạn lần lượt là 0,4 và 0,8; còn nếu mục tiêu trúng 3 phát đạn thì chắc chắn bị tiêu diệt.

a) Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt.

b) Nếu mục tiêu bị tiêu diệt thì khả năng nó bị trúng 2 phát đạn bằng bao nhiêu?

Trang 49

 Ví dụ 6: Một lô hàng chứa 8 sản phẩm của máy 1, 10

sản phẩm của máy 2 và 12 sản phẩm của máy 3 Xác suất chế tạo ra phế phẩm của máy 1, 2, 3 lần lượt là 0,03; 0,05 và 0,04 Người ta kiểm tra sản phẩm của

lô hàng bằng cách lấy ra 5 lần, mỗi lần 1 sản phẩm (chọn có hoàn lại) Nếu có ít hơn 2 phế phẩm thì lô hàng được chấp nhận.

a) Tính xác suất lô hàng được chấp nhận.

b) Hỏi trong 5 sản phẩm được lấy ra kiểm tra, khả năng lớn nhất có bao nhiêu phế phẩm?

Trang 50

 Ví dụ 7: Có 2 hộp sản phẩm; hộp 1 có 85% chính phẩm,

hộp 2 có 82% chính phẩm, còn lại là phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ra 3 sản phẩm để kiểm tra (chọn có hoàn lại).

a) Hỏi khả năng thu được 2 chính phẩm là bao nhiêu?

b) Trung bình có bao nhiêu chính phẩm được chọn ra?

Trang 51

 Ví dụ 8: Người ta vận chuyển một lô hàng gồm 10

sản phẩm loại A và 15 sản phẩm loại B Khả năng sản phẩm loại A, B bị hỏng trong quá trình vận chuyển lần lượt là 0,1 và 0,12 Sản phẩm loại A nếu bị hỏng

sẽ lỗ 200 nghìn đồng, còn không thì thu lãi 1,3 triệu đồng Sản phẩm loại B nếu bị hỏng sẽ lỗ 400 nghìn đồng, còn không thì thu lãi 1,5 triệu đồng.

a) Hỏi trung bình có bao nhiêu sản phẩm bị hỏng trong quá trình vận chuyển?

b) Tìm tiền lãi kì vọng thu được khi vận chuyển lô hàng trên.

Trang 52

2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là

có quy luật phân phối chuẩn với hai tham số a và 

( > 0) nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng:

 Kí hiệu: X ~ N(a, 2)

2 2

( x a ) 2

Trang 54

Trang 55

Trang 56

 Tham số đặc trưng: Cho X ~ N(a, 2), ta có:

Trang 57

 Công thức tính xác suất: Cho X ~ N(a, 2), ta có:

x t

2 0

1(x) e dt, x R

2



 

Trang 58

 Tính chất của hàm :

 Hàm là hàm lẻ trên R nên

 nên khi x đủ lớn (x > 5) thì ta lấy

 Giá trị của hàm với 0 ≤ x ≤ 5 được cho trong Bảng giá trị hàm Laplace.

Trang 59

 Ví dụ 9: Chiều dài một loại sản phẩm có phân phối

chuẩn với chiều dài trung bình là 32 cm và độ lệch tiêu chuẩn là 4 cm.

a) Tính tỉ lệ chi tiết máy có chiều dài từ 30 cm đến 36 cm.

b) Tính tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn, biết rằng sản phẩm có chiều dài sai lệch so với chiều dài trung bình dưới 5 cm thì được coi là đạt tiêu chuẩn.

c) Hỏi khi sản xuất 100 sản phẩm loại đó, trung bình thu được bao nhiêu sản phẩm đạt tiêu chuẩn? Khả năng lớn nhất thu được bao nhiêu sản phẩm đạt tiêu chuẩn?

d) Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm loại đó, tính xác suất thu được 4 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.

Trang 61

 Quy tắc 3: Nếu X ~ N(a, 2) thì hầu chắc chắn(với xác suất 0,9973) đại lượng ngẫu nhiên X sẽnhận giá trị trong khoảng (a  3; a + 3)

 Quy tắc kinh nghiệm – Quy luật 68-95-99,7: Nếu

một dữ liệu mẫu lấy ra từ tổng thể có khoảng 68%

số giá trị nằm trong khoảng 1 lần độ lệch chuẩn so

với giá trị trung bình, khoảng 95% số giá trị trong khoảng 2 lần độ lệch chuẩn và khoảng 99,7% nằm

trong khoảng 3 lần độ lệch chuẩn thì xem như nó

có quy luật phân phối chuẩn

Trang 62

 Quy tắc kinh nghiệm – Quy luật 68-95-99,7

Trang 63

Trang 64

 Ví dụ 10: Tuổi thọ một loại linh kiện điện tử có phân

phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 6500 giờ, độ lệch tiêu chuẩn là 250 giờ Thời gian bảo hành miễn phí được qui định là 6000 giờ.

a) Tính tỷ lệ linh kiện loại đó phải bảo hành miễn phí.

b) Nếu muốn tỷ lệ linh kiện loại đó phải bảo hành miễn phí

là 2% thì cần qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu?

c) Mỗi linh kiện khi bán ra lãi 300 nghìn đồng, song nếu hỏng trong thời gian bảo hành thì chi phí sửa chữa hết 700 nghìn đồng.

 Tính tiền lãi trung bình thu được khi bán 1 thiết bị loại đó.

 Tính tiền lãi trung bình thu được khi bán 100 thiết bị loại đó.

Trang 65

 Ví dụ 11: Tuổi thọ một loại côn trùng (đơn vị: ngày)

có phân phối chuẩn với 2 tham số 25 và 2 Tính xác suất khi chọn ra 10 con côn trùng loại đó thì có ít nhất 9 con có tuổi thọ trên 23 ngày.

 Ví dụ 12: Thời gian từ lúc vay đến lúc trả của khách

hàng ở một ngân hàng có phân phối chuẩn với thời gian trung bình là 17 tháng, độ lệch tiêu chuẩn là 3 tháng Hỏi khi chọn ngẫu nhiên 20 khách hàng của ngân hàng đó, khả năng lớn nhất có bao nhiêu khách hàng có thời gian từ lúc vay đến lúc trả dưới 1 năm?

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	1,07 MB