QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

BÀI 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có quy luật phân phối chuẩn với hai tham số a và  ( > 0) nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng:

 Kí hiệu: X ~ N(a, 2).

2 2

( x a )

1 2

f(x) = e , x R

 

  

 

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Đặc biệt:

Nếu a = 0 và  = 1 thì ta nói X có phân phối chuẩn tắc.

Kí hiệu: X ~ N(0, 1).

Khi đó, X có hàm mật độ xác suất:

1 2

(x) e , x R

    



2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Tham số đặc trưng: Cho X ~ N(a, 2), ta có:

 E(X) = a

 D(X) = 2

 (X) = 

 ModX = a

 Cho X ~ N(0; 1)

Khi đó, số thực uα thỏa mãn P (X > uα) = α được gọi là giá trị tới hạn chuẩn mức α.

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Công thức tính xác suất: Cho X ~ N(a, 2), ta có:



Ở đó:

  a a

P      X          

 

P X a 2  

      

x t2

2 0

(x) 1 e dt, x R 2

   

 

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Tính chất của hàm :

 Hàm là hàm lẻ trên R nên

 nên khi x đủ lớn (x > 5) thì ta lấy

 Giá trị của hàm với 0 ≤ x ≤ 5 được cho trong Bảng giá trị hàm Laplace.

( )x



( x) (x), x R

     

xlim (x) 0,5

  

(x) 0,5

 

(x)

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Ví dụ 9: Chiều dài một loại sản phẩm có phân phối chuẩn với chiều dài trung bình là 32 cm và độ lệch tiêu chuẩn là 4 cm.

a) Tính tỉ lệ chi tiết máy có chiều dài từ 30 cm đến 36 cm.

b) Tính tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn, biết rằng sản phẩm có chiều dài sai lệch so với chiều dài trung bình dưới 5 cm thì được coi là đạt tiêu chuẩn.

c) Hỏi khi sản xuất 100 sản phẩm loại đó, trung bình thu được bao nhiêu sản phẩm đạt tiêu chuẩn? Khả năng lớn nhất thu được bao nhiêu sản phẩm đạt tiêu chuẩn?

d) Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm loại đó, tính xác suất thu được 4 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN



   

P X a    2 1  0,68268

   

P X a    2 2 2  0,9545

   

P X a    3 2 3  0,9973

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Quy tắc 3: Nếu X ~ N(a, 2) thì hầu chắc chắn (với xác suất 0,9973) đại lượng ngẫu nhiên X sẽ nhận giá trị trong khoảng (a  3; a + 3).

 Quy tắc kinh nghiệm – Quy luật 68-95-99,7: Nếu một dữ liệu mẫu lấy ra từ tổng thể có khoảng 68%

số giá trị nằm trong khoảng 1 lần độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình, khoảng 95% số giá trị trong khoảng 2 lần độ lệch chuẩn và khoảng 99,7% nằm trong khoảng 3 lần độ lệch chuẩn thì xem như nó có quy luật phân phối chuẩn.

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Quy tắc kinh nghiệm – Quy luật 68-95-99,7

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Ví dụ 10: Tuổi thọ một loại linh kiện điện tử có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 6500 giờ, độ lệch tiêu chuẩn là 250 giờ. Thời gian bảo hành miễn phí được qui định là 6000 giờ.

a) Tính tỷ lệ linh kiện loại đó phải bảo hành miễn phí.

b) Nếu muốn tỷ lệ linh kiện loại đó phải bảo hành miễn phí là 2% thì cần qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu?

c) Mỗi linh kiện khi bán ra lãi 300 nghìn đồng, song nếu hỏng trong thời gian bảo hành thì chi phí sửa chữa hết 700 nghìn đồng.

 Tính tiền lãi trung bình thu được khi bán 1 thiết bị loại đó.

 Tính tiền lãi trung bình thu được khi bán 100 thiết bị loại đó.

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Ví dụ 11: Tuổi thọ một loại côn trùng (đơn vị: ngày) có phân phối chuẩn với 2 tham số 25 và 2. Tính xác suất khi chọn ra 10 con côn trùng loại đó thì có ít nhất 9 con có tuổi thọ trên 23 ngày.

 Ví dụ 12: Thời gian từ lúc vay đến lúc trả của khách hàng ở một ngân hàng có phân phối chuẩn với thời gian trung bình là 17 tháng, độ lệch tiêu chuẩn là 3 tháng. Hỏi khi chọn ngẫu nhiên 20 khách hàng của ngân hàng đó, khả năng lớn nhất có bao nhiêu khách hàng có thời gian từ lúc vay đến lúc trả dưới 1 năm?

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Ví dụ 13: Lãi suất khi đầu tư vào công ty A có phân phối chuẩn. Biết rằng khả năng lãi suất thu được trên 20% là 15,6%; khả năng lãi suất thu được trên 25% là 2,275%.

a) Tìm lãi suất kì vọng khi đầu tư vào công ty A.

b) Tính xác suất để đầu tư vào công ty A không bị lỗ.

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Ví dụ 14: Doanh số hàng tháng mà doanh nghiệp có thể đạt được khi thâm nhập vào thị trường là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với doanh số trung bình là 15,3 triệu USD. Biết rằng khả năng đạt được doanh số lớn hơn 18 triệu USD trên một tháng là 0,3946. Tính xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh số trên 2/3 doanh số trung bình.

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Ví dụ 15: Thời gian làm bài thi môn toán của sinh viên được qui định là 90 phút. Biết rằng thời gian hoàn thành bài thi môn toán của sinh viên có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 8 phút và có 12% sinh viên không hoàn thành bài thi trong thời gian qui định. Hỏi trong 200 sinh viên dự thi, trung bình có bao nhiêu sinh viên có thời gian hoàn thành bài thi dưới 86 phút?

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Định lý Moivre - Laplace: Cho X ~ B(n,p). Khi n khá lớn, p không quá gần 0, không quá gần 1 ta có:

ở đó: q = 1 – p.

 

 1 2  2 1

1 m np

P X m

npq npq

m np m np

P m X m

npq npq

  

   

     

       

2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

 Nhận xét: Nếu X ~ B(n,p) với n khá lớn, p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn với a = np,

 Ví dụ 15: Một máy tự động sản xuất 400 sản phẩm, xác suất được sản phẩm tốt ở mỗi lần là 0,85.

a) Tính xác suất thu được từ 320 đến 365 sản phẩm tốt.

b) Khả năng lớn nhất thu được bao nhiêu sản phẩm tốt?

Tính xác suất tương ứng.

  npq

QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC