Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, hàm của đại lượng ngẫu nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, hàm của đại lượng ngẫu nhiên trình bày về đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, bảng phân phối xác suất đồng thời của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, quy luật phân phối xác suất có điều kiện của các thành phần của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều kỳ vọng có điều kiện,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG 4 ĐLNN 2-chiều – Hàm của ĐLNN

1 Đại lượng ngẫu nhiên 2-chiều

Xét (X, Y) là ĐLNN 2-chiều rời rạc Biến cố X nhận giá trị x và Y nhận giá trị y ghi là (X=x, Y=y)

hay (X=x)(Y=y) Xác suất của biến cố này ghi là P(X=x, Y=y) hay P((X=x)(Y=y))

Ví dụ

(1) Gọi X và Y là điểm thi môn Toán và tuổi của một sinh viên gặp ngẫu nhiên thì (X,Y) là ĐLNN 2-chiều rời rạc

(2) Gọi X là chiều dài, Y là trọng lượng của một con gia súc được chọn ngẫu nhiên thì (X,Y) là ĐLNN 2-chiều liên tục

1.2 Bảng phân phối xác suất

1.2.1 Bảng phân phối đồng thời

Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN 2-chiều rời rạc được xác định bởi bảng phân phối xác suất đồng thời (bảng PPXSĐT) Bảng PPXSĐT của ĐLNN (X, Y) liệt kê tất cả giá trị xi, yj mà X, Y có thể nhận và các giá trị pij là P((X=xi)(Y=yj)):

X Y y1 y2 yn Σ

x1 p11 p12 p1n p1

x2 p21 p22 p2n p2

xm pm1 pm2 pmn pm

Bảng PPXSĐT ký hiệu ((xi, yj), pij), i=1, m; j=1, n Đặt:

pi =pi1+ pi2+ +pin i=1, m (cộng theo dòng)

qj=p1j+p2j + +pmj j=1, n (cộng theo cột)

Ta phải có:

pi > 0, qj > 0 i=1, m; j=1, n

pij ≥ 0 i=1, m; j=1, n

p11+p12+ +p1n+ +pmn= Σpi = Σqj = 1

1.2.2 Bảng phân phối thành phần

Bảng PPXS của các ĐLNN thành phần của ĐLNN 2-chiều rời rạc gọi là Bảng phân phối xác suất thành phần (bảng PPXSTP) Từ bảng PPXSĐT, ta lập bảng PPXSTP X là (xi, pi), i=1, m và bảng PPXSTP Y là (yj, qj), j=1, n

Bảng PPXSTP còn gọi là bảng phân phối biên hay bảng phân phối lề Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của các ĐLNN thành phần gọi là kỳ vọng lề, phương sai lề, độ lệch chuẩn lề Các tham số đặc trưng này của ĐLNN thành phần X ký hiệu là E(X), 2

X

σ , σ X

1.2.3 Bảng phân phối có điều kiện

Xét ĐLNN 2-chiều Nếu biết một thành phần đã xảy ra thì thành phần còn lại gọi là ĐLNN thành phần có điều kiện Bảng PPXS của ĐLNN thành phần có điều kiện gọi là Bảng phân phối có điều kiện (Bảng PPXSCĐK) Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của ĐLNN loại này gọi là kỳ vọng phương sai, độ lệch chuẩn có điều kiện

Xét ĐLNN (X, Y) có bảng phân phối đồng thời ((xi,yj), pij), i=1, m ; j=1, n Giả sử biết biến cố (Y=yj) xảy ra ĐLNN theo X có điều kiện Y=yj ký hiệu là

X /Y=yj hay X /yj Xác suất để X nhận giá trị xi là xác suất có điều kiện của biến cố (X=xi) biết (Y=yj), ký hiệu P(X=xi /yj) hay P(X=xi /Y=yj) Ta có:

P(X=xi /yj) = i j

j

P(X x , Y y )P(Y y )

ij j

pqKỳ vọng của ĐLNN X /Y=yj ký hiệu là E(X /yj) hay E(X/Y=yj)

Tương tự, bảng phân phối của ĐLNN có điều kiện Y /X=xi sẽ có:

i

P(X x , Y y )P(X x )

ij ipp

Ghi chú

Lấy mỗi thành phần của cột Y=0 chia cho tổng của cột này ta có P của X Lấy mỗi thành phần của dòng X=1 chia cho tổng của dòng này ta có P của Y

1.3 Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Để đánh giá mức độ phụ thuộc giữa hai ĐLNN thành phần, ta đưa ra khái niệm hiệp phương sai và hệ số tương quan

1.3.1 Hiệp phương sai

Hiệp phương sai của hai ĐLNN thành phần X và Y, ký hiệu cov(X, Y), được định nghĩa:

cov(X, Y) ==== E([X – E(X)].[Y – E(Y)])

cov(X,Y) thường được tính theo công thức:

cov(X, Y) ==== E(X.Y) – E(X).E(Y)

Hiệp phương sai đo mức độ phụ thuộc giữa X, Y:

X, Y độc lập thì E(X.Y) = E(X).E(Y) nên cov(X,Y) = 0 Hiệp phương sai có các tính chất sau:

(i) cov(X, X) = var(X)

(ii) var(aX ± bY) = a2var(X) + b2var(Y)

± 2ab.cov(X,Y)

1.3.2 Hệ số tương quan

Hệ số tương quan của hai ĐLNN thành phần X và Y, ký hiệu ρXY, được định nghĩa:

(i) ρXY ≤ 1 (ii) ρXY> 0 ⇒ X, Y đồng biến

σ = 0,74 ⇒ σX = 0,86 2

Y

σ = 2,6475 ⇒ σY = 1,6371

⇒ ρXY = cov(X, Y)/(σX.σY) = 0,2144

2 Hàm của ĐLNN

2.1 Khái niệm

2.1.1 Hàm một biến ngẫu nhiên

Xét hàm số y=g(x) Nếu thay x bởi ĐLNN X thì

Y = g(X) là ĐLNN gọi là hàm một biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của ĐLNN g(X) khi biết g và X tính theo các công thức quen thuộc, miễn là thay x bởi g(x) Chẳng hạn với ĐLNN

X có bảng phân phối (xi, pi), i=1, n thì:

2.1.2 Hàm n-biến ngẫu nhiên

Xét hàm số n-biến y = g(x1, x2, , xn) Nếu thay

Ví dụ

Lô hàng I gồm 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lô hàng II gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Một người mua 2 sản phẩm từ lô hàng I và 1 sản phẩm từ lô hàng II Gọi X là số chính phẩm mua được Lập bảng phân phối của ĐLNN X

Gọi X1, X2 là số chính phẩm mua được từ lô hàng I, II thì Y = X1 + X2

Do X1~H(10; 8; 2) và X2~H(10; 6; 1) nên bảng phân phối của X1, X2 như sau:

Do hai lô hàng độc lập nhau nên ta có:

p 1/45 16/45 28/45 p 0,4 0,6

P(Y = x) = ΣP(X1=xi, X2=x–xi)

= ΣP(X1=xi).P(X2=x–xi) Lập bảng để tính các giá trị mà Y có thể nhận và xác suất tương ứng:

X1 (P)

0 (0,4) Y=0 (4/450) Y=1 (64/450) Y=2(112/450)

1 (0,6) Y=1 (6/450) Y=2 (96/450) Y=3(168/450)

Suy ra bảng phân phối của Y:

p 4/450 70/450 208/450 168/450

3.2 Phân phối của hàm n-biến ngẫu nhiên

Không có công thức tổng quát để tìm ra quy luật phân phối của ĐLNN Y=g(X1,X2, ,Xn) khi biết quy luật phân phối của các ĐLNN X1, X2, , Xn Tuy nhiên, ta cũng đã biết một số kết quả khi các ĐLNN thành phần có cùng phân phối Nhị Thức, cùng phân phối Poisson hay cùng phân phối Chuẩn