Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên (Trường ĐH Thương mại)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: ước lượng điểm; ước lượng bằng khoảng tin cậy; ước lượng kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên; ước lượng tỷ lệ của đám đông; ước lượng phương sai của đại lượng ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

CHƯƠNG 5 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN

Chương 5

1 Ước lượng điểm.

2 Ước lượng bằng khoảng tin cậy.

• Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN.

• Ước lượng tỷ lệ của đám đông.

• Ước lượng phương sai của ĐLNN.

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN

Chương 5

§1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

1.1 Ước lượng điểm

Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên một đámđông nào đó

• Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2,…,Xn)

• Tùy thuộc vào θ, XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn)

• Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính toán

Chương 5

§1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.1.2.1 Ước lượng không chệch

Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu

E(θ*) = θNgược lại, ta nói θ* được gọi là ước lượng chệch của θ

X

• là ước lượng vững của μ.

• f là ước lượng không chệch của p

X

1 )

Theo định lý Trêbưsép (trường hợp đặc biệt) thì:

Chương 5

§1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.1.2.3 Ước lượng hiệu quả (ước lượng không chệch tốt nhất).Thống kê θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó làước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với cácước lượng không chệch khác trên cùng một mẫu

• là ước lượng hiệu quả của μ

• f là ước lượng hiệu quả của p

X

Chương 5

§1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.1.2.4 Ước lượng đủ

Thống kê θ* được gọi là ước lượng đủ của θ nếu nó chứa

toàn bộ thông tin từ mẫu

Trung bình mẫu, phương sai mẫu … là các ước lượng đủ

Chú ý: Tuy ước lượng điểm đơn giản nhưng có hạn chế làkhông biết sai số cũng như có thể gặp sai số rất lớn nếu kíchthước mẫu nhỏ

Chương 5

2.1 Khái niệm

Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên đám đông

• Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn),

• Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê:

G = f(X1,X2, …, Xn, θ)sao cho G có quy luật xác định và có biểu thức chứa θ

Chương 5

Vớiγ = 1- αchotrước, xácđịnhα1≥ 0, α2 ≥0 thỏamãnα1+ α2 = α.Từđóxácđịnhcácphânvị g1- α1và gα2:

P(g <G <g ) = 1- α1 - α2 = 1- α

P(θ*1<θ<θ*2 ) = 1- αTrongđó: Xácsuấtγ = 1- αđượcgọilàđộ tin cậy

Khoảng(θ*1 ; θ*2 ) đượcgọilàkhoảng tin cậy

I = θ*2-θ*1 đượcgọilàđộdàicủakhoảng tin cậy

+ Xác suất mắc sai lầm trong ước lượng khoảng là α.

Chương 5

+ Khi G có phân phối N(0,1) hoặc phân phối Studentnếu chọn α1= α2 = α/2 ta có khoảng tin ngắn nhất và đó là cáckhoảng tin cậy đối xứng

+ Để ước lượng giá trị tối đa hoặc tối thiểu của θ tachọn α1= α hoặc α2 = α

Chương 5

2.2 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN

Giả sử ĐLNN X trên đám đông có E(X) = μ và Var(X) = σ2

trong đó μ chưa biết

Chương 5

2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, phươngsaiđãbiết

•Khoảng tin cậyđối xứng (α1 = α2=α/2)

Vớiđộ tin cậy 1- αtatìmđượcphânvị uα/2saocho

P(- uα/2< U< uα/2 ) = 1- αP(− uα/2 < σ < uα/2 ) = 1− αP( σ uα/2 + σ uα/2) = 1- α

Chương 5

2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết

Khoảng tin cậy đối xứng của μ:

Chương 5

Khi đó: * Độ tin cậy của ước lượng là 1- α = γ

* Khoảng tin cậy đối xứng:

* Độ dài của khoảng tin cậy I = 2ε

* Sai số của ước lượng là ε

Chú ý: Nếu khoảng tin cậy đối xứng là (a; b) thì sai sốcủa ước lượng được tính theo công thức: ε = (b-a)/2

)

;(X   X  

Chương 5

2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, đãbiết

Ta cóbabàitoáncầngiảiquyết:

•Bàitoán 1: Biếtkíchthướcmẫu n, biếtđộ tin cậy,

cầntìmsaisốhoặckhoảng tin cậy.

nu

• Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n, biết sai số ε, tìm độ tin cậy

n  



Chú ý: Nếu biết μ, cần ước lượng ta sẽ có:X

Chương 7

2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, đãbiết

•Khoảng tin cậyphải: (α1 = 0; α2= α ULgiátrịtốithiểucủaμ)

Ta vẫndùngthốngkêtrên, vớiđộ tin cậy 1 – α,xácđịnhphânvịuαsaocho : P(U <uα) = 1 – α

Khoảng tin cậy phải:

)

;

unX

Chương 5

2.2.1 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, đãbiết

•Khoảng tin cậytrái: (α1 = α; α2= 0 ULgiátrịtốiđa củaμ)

Ta vẫndùngthốngkêtrên, vớiđộ tin cậy 1 – α,xácđịnhphânvịuαsaocho : P(-uα< U) = 1 – α

Khoảng tin cậy trái:

)

;

un



Chương 5

2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, chưa biếtn< 30

VìX ~ N(μ; σ2) nêntaxâydựngthốngkê

( 1)

~'

n

TS

nX

Chương 5

2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, chưa biếtn< 30

•Khoảng tin cậyđối xứng:(α1 = α2= α/2)

Vớiđộ tin cậy 1 – αtatìmđượcphânvịsaocho:( 1

/2 )

n

t 

( 1) /2

(| | n ) 1

P T  t    

/

( 1) 2

' nt n

Chương 5

2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, chưa biếtn< 30

Ta cóbabàitoáncầngiảiquyết:

•Bàitoán 1: Biếtkíchthướcmẫu n, biếtđộ tin cậy,

cầntìmsaisốhoặckhoảng tin cậy

( 2 /

Chương 5

2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, chưa biếtn< 30

•Bàitoán 3: Biếtđộ tin cậy, biếtsaisố, cầntìmkíchthướcmẫutốithiểu

Ta sửdụngphươngphápmẫukép.

Bước 1: Ta điều tra mẫu sơ bộ kích thước k

W = (X1,X2,…,Xk) từ đó tìm được S’

k

Chương 5

2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, chưa biếtn< 30

Bước 2: Giảsửcầnđiềutramẫucókíchthước n: W = (X1,X2,…,Xn) Xâydựng TK:

) 1

( '

n i

i

Tn

S

Xn

T



Lập luận tương tự ta có:

2 ) 1

( 2 /

' )

1

( 2 /

tS

Chương 5

2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn, chưa biếtn< 30

•Khoảng tin cậyphải: (α1 = 0; α2= α, UL giátrịtốithiểucủaμ).Vớiđộ tin cậy 1 – αtatìmđượcphânvịsaocho:t( 1) n

Chương 5

2.2.2 ĐLNN Xcóphânphốichuẩn chưa biết, n< 30

•Khoảng tin cậytrái: (α1 = α; α2= 0 ULgiátrịtốiđa củaμ).Vớiđộ tin cậy 1 – αtatìmđượcphânvịsaocho:t(n1)

tươngtựtrườnghợpXcóphânphốichuẩn.

Chương 5

2.2.3 Chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN X, n > 30

Chú ý: + Do σ chưa biết, vì n > 30 nên ta lấy σ ≈ s’

+ Đối với bài toán 3, vì chưa biết quy luật của X nêngiả sử trung bình mẫu có phân phối chuẩn

Khinkhálớn ta có: (vớiq = 1 - p)

U =

Chương 5

2.3 Ước lượng tỷ lệ

• Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2)

Với độ tin cậy 1 – α tìm được phân vị uα/2 sao cho :

P(|U|< uα/2) = 1- αP(f – ε < p < f + ε) = 1- α

2

pq u

n 

 

Khoảng tin cậy đối xứng của p: (f – ε; f + ε)

Với sai số của ước lượng:

Chương 5

• Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2)

Khi p chưa biết và n lớn ta thay p ≈ f và q ≈ 1 – f Do đó

2 2

) 1

n



Khi đó: Độ tin cậy của ước lượng là 1- α

Khoảng tin cậy đối xứng (f – ε ; f + ε)

Độ dài của khoảng tin cậy 2ε

Chương 5

• Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2)

• Bài toán 1: Tìm sai số hoặc khoảng tin cậy

2 2

) 1

1(

2 /

ff

npq

nu

Chương 5

• Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2)

• Bài toán 3: Biết sai số, độ tin cậy Tìm kích thước mẫu n

Nếu q, p chưa biết ta có thể lấy pq = ¼, khi đó:

2 2 /

2 2

u q p n

2 2 / 4

Chương 5

• Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2)

Chú ý: + Nếu biết p cần ước lượng f khi đó:

P(p – ε < f < p + ε) ≈ 1- α+ Khoảng tin cậy của M (nếu biết N)

N(f – ε ) < M < N(f + ε )

Chương 5

• Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2= α/2)

+ Khoảng tin cậy của N (nếu biết M)

M/(f + ε ) < N < M/(f - ε ) + Khoảng tin cậy của nA:

n(p – ε) < nA < n(p + ε)

Chương 5

• Khoảng tin cậy phải (α1 = 0; α2= α)

Tương tự, với độ tin cậy 1 – α xác định phân vị uα sao cho:

P(U < uα) ≈ 1 – αThay biểu thức U, biến đổi ta được: P f ( pqu p ) 1

Ta lấy p ≈ f, khoảng tin cậy phải của p:

Chương 5

• Khoảng tin cậy trái (α1 = α; α2= 0)

Tương tự, với độ tin cậy 1 – α xác định phân vị uα sao cho:

Ta lấy p ≈ f, khoảng tin cậy trái của p:

Chương 5

2.4 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn

• Khoảng tin cậy hai phía của σ2 (α1 = α2= α/2)

Với độ tin cậy 1- α ta tìm được phân vị , khi đó:

Chương 5

2.4 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn

( 1) ' ( 1) ' ( n n S ; n n S )



• Khoảng tin cậy của σ2 (α1 = α2= α/2)

Ta có khoảng tin cậy của σ2

Chương 5

2.4 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn

• Khoảng tin cậy phải của σ2 (α1 = 0; α2= α)

Với độ tin cậy 1- α ta tìm được phân vị , khi đó:

Ta có khoảng tin cậy phải của σ2

  2  2(n1)   1     P

) 1 ( 2

2 ' n

S

nP

(

) 1 ( 2

2 ' n

Sn





) 1 (

2 n 





Chương 5

2.4 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn

• Khoảng tin cậy trái của σ2 (α1 = α; α2= 0)

Với độ tin cậy 1- α ta tìm được phân vị , khi đó:

Ta có khoảng tin cậy trái của σ2

          

( 1) 2 1

2 1

(

) 1 (

2 1

2

' 2

n

S

nP

2 '

)1

2 1



 n

