BÀI 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức (Bernoulli) với 2 tham số n và p nếu X có bảng phân phối xác suất như sau:
trong đó: q = 1 – p và 0 < p < 1.
Kí hiệu: X ~ B(n; p).
X 0 1 … m … n
P C p q0n 0 n C p q1n 1 n 1 … C p qmn m n m … C p qnn n 0
44
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Bài toán: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng nhau và bằng p.
Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử ấy.
Khi đó, X ~ B(n; p).
Ví dụ 1: Một người bắn 4 viên đạn vào bia, xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần là 0,8. Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn trúng bia.
45
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Các tham số đặc trưng: Cho X ~ B(n; p) thì:
E(X) = np
D(X) = npq với q = 1 – p
Để tìm ModX ta tính x0 = (n + 1)p
Nếu thì ModX = [x0].
Nếu thì ModX = x0 và ModX = x0 – 1.
X npq
x0 Z x0 Z
46
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 2: Một máy tự động sản xuất 8 sản phẩm. Xác suất được sản phẩm tốt ở mỗi lần sản xuất là 0,9.
a) Tính xác suất thu được ít nhất 6 sản phẩm tốt.
b) Tính xác suất thu được cả sản phẩm tốt và sản phẩm xấu.
c) Trung bình có bao nhiêu sản phẩm tốt được sản xuất ra?
d) Khả năng lớn nhất có bao nhiêu sản phẩm tốt được sản xuất ra?
e) Nếu sản xuất được sản phẩm tốt thì lãi 15 nghìn đồng, còn được sản phẩm xấu thì bị lỗ 3 nghìn đồng. Tìm tiền lãi kì vọng khi máy đó sản xuất 8 sản phẩm.
47
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 3: Có 2 máy cùng chế tạo 1 loại sản phẩm, xác suất chế tạo ra chính phẩm của máy 1 là 0,8; của máy 2 là 0,9.
Cho máy 1 chế tạo 12 sản phẩm, máy 2 chế tạo 15 sản phẩm.
a) Tính xác suất thu được ít nhất 26 chính phẩm.
b) Hỏi trung bình thu được bao nhiêu chính phẩm?
Ví dụ 4: Bài thi trắc nghiệm gồm 30 câu trong đó có 10 câu dạng chọn phương án đúng sai và 20 câu dạng chọn một phương án đúng trong 4 phương án. Một sinh viên đi thi nhưng do không học bài nên hoàn toàn khoanh bừa. Tính xác suất để sinh viên đó chọn được phương án đúng ở 28 câu.
48
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 5: Bắn đồng thời 3 phát đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi phát đạn là 0,7. Khả năng mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng 1, 2 phát đạn lần lượt là 0,4 và 0,8; còn nếu mục tiêu trúng 3 phát đạn thì chắc chắn bị tiêu diệt.
a) Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt.
b) Nếu mục tiêu bị tiêu diệt thì khả năng nó bị trúng 2 phát đạn bằng bao nhiêu?
49
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 6: Một lô hàng chứa 8 sản phẩm của máy 1, 10 sản phẩm của máy 2 và 12 sản phẩm của máy 3. Xác suất chế tạo ra phế phẩm của máy 1, 2, 3 lần lượt là 0,03; 0,05 và 0,04. Người ta kiểm tra sản phẩm của lô hàng bằng cách lấy ra 5 lần, mỗi lần 1 sản phẩm (chọn có hoàn lại). Nếu có ít hơn 2 phế phẩm thì lô hàng được chấp nhận.
a) Tính xác suất lô hàng được chấp nhận.
b) Hỏi trong 5 sản phẩm được lấy ra kiểm tra, khả năng lớn nhất có bao nhiêu phế phẩm?
50
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 7: Có 2 hộp sản phẩm; hộp 1 có 85% chính phẩm, hộp 2 có 82% chính phẩm, còn lại là phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ra 3 sản phẩm để kiểm tra (chọn có hoàn lại).
a) Hỏi khả năng thu được 2 chính phẩm là bao nhiêu?
b) Trung bình có bao nhiêu chính phẩm được chọn ra?
51
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 8: Người ta vận chuyển một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại A và 15 sản phẩm loại B. Khả năng sản phẩm loại A, B bị hỏng trong quá trình vận chuyển lần lượt là 0,1 và 0,12. Sản phẩm loại A nếu bị hỏng sẽ lỗ 200 nghìn đồng, còn không thì thu lãi 1,3 triệu đồng. Sản phẩm loại B nếu bị hỏng sẽ lỗ 400 nghìn đồng, còn không thì thu lãi 1,5 triệu đồng.
a) Hỏi trung bình có bao nhiêu sản phẩm bị hỏng trong quá trình vận chuyển?
b) Tìm tiền lãi kì vọng thu được khi vận chuyển lô hàng trên.
52