Chuyên đề trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

 Dạng 3: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải: ▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của mẫu số và tử số từ đó suy ra các đường tiệm cận đứng của đ[r]

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a +∞ ; ; ) (−∞;b) hoặc (−∞ +∞; )) Đường thẳng y y= 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x= ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim 0; lim 0

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số

Phương pháp giải:

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y f x= ( ) ta thực hiện các bước sau:

▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số y f x= ( )

▪ Bước 2: Tìm giới hạn của f x khi x tiến đến biên của miền xác định ( )

▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận

Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( )

( )

f x y

g x

= ta có thể làm như sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định D

- Bước 2:

+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim ; lim

x→+∞y x→−∞y và kết luận tiệm cận ngang +) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức ( )

( )

f x

g x về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng

Chú ý:

- Nếu bậc của f x( ) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g x( ) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

- Nếu bậc của f x lớn hơn bậc của thì ( ) g x đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang ( )

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:

=+ −

Lại có: ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

C Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y =0 và y =2

D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x =0 và x =2

−

=+

+ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Chọn B

Ví dụ 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng

Lời giải

11

− − đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang Chọn A

Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 23 4

16

y x

Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số 2 25 4

1

y x

=

−

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1và tiệm cận ngang y =1 Chọn A

Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x2 9 3

1

x y x

=+

Đáp án B Phương trình x + =2 1 0 vô nghiệm nên hàm số không có tiệm cận đứng

Đáp án C Đồ thị hàm số y= x2 −1 không có tiệm cận đứng

Đáp án D Đồ thị hàm số

1

x y x

=+ có tiệm cận đứng là x = −1.Chọn D

Ví dụ 13: Cho hàm số 2 4

1

x y x

Ví dụ 15: Đồ thị hàm số

2

44

x y x

x x y

Do vậy chỉ có đường thẳng x =3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho Chọn D

Ví dụ 18: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 22 3 2

1

x y x

+ −

=

−

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Chọn A

Ví dụ 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3 12 3

⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận Chọn C

Ví dụ 23: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 2 2 2

x x có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là

A Tiệm cận đứng x=2, x=1; tiệm cận ngang y =2

B Tiệm cận đứng x =2; tiệm cận ngang y =2

C Tiệm cận đứng x=2, x=1; tiệm cận ngang y=2,y=3

D Tiệm cận đứng x =2; tiệm cận ngang y=2, y=3

▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số

▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến beien của miền xác định

▪ Bước 3: Kết luận

Chú ý: Đồ thị hàm số ( )

( )

f x y

A Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y =0, y =5 và tiệm cận đứng là x =1

B Giá trị cực tiểu của hàm số là y = CT 3

C Giá trị cực đại của hàm số là y = CD 5

Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

lim

lim

x x

x→+∞ f x = ⇒ =y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận Chọn B

Ví dụ 4: Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên khoảng (− +∞1; ) và có bảng biến thiên như hình vẽ

x→+∞ f x = ⇒ =y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Chọn B

Ví dụ 5: Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y f x= ( ) là:

Lại có lim ( ) 1, lim ( ) 1 1

x→+∞ f x = − x→−∞ f x = ⇒ = ±y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Ta có phương trình f x =( ) 2018 có 2 nghiệm phân biệt

Suy ra đồ thị hàm số y= f x( )2−2018 có 2 đường tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số y= f x( )2−2018 có 1 tiệm cận ngang Chọn D

Ví dụ 9: Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên \ 1{ } và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình f x = có 3 nghiệm phân biệt khác 2 ( ) 4

Phương trình f x = có 1 nghiệm kép ( ) 1 x =2 (do vậy mẫu số có dạng ( )2

2

x − ) nên x =2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số

Suy ra đồ thị hàm số 2( ) ( )

2

x y

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số y f x= ( ) như hình vẽ bên Số đường tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số ( )2 3

x y

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y ax bx cx d= 3+ 2+ + như hình vẽ bên Tổng số đường

tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

( )

2 22

Ví dụ 3: Cho hàm số y ax 2

cx b

+

=+ có đồ thị (C) như hình vẽ bên

x x y

Ví dụ 5: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên Số tiệm cận

x x x

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng Chọn B

Ví dụ 6: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Điều kiện:

( ) ( )2

10

2

0;11

2

x x x

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng Chọn A

 Dạng 4: Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Một số mẫu toán thường gặp:

 Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y ax b

cx d

+

=+ với c ≠0

- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi ad bc− ≠0

 Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

0

ax bx c y

x x

=

− với a ≠0

- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g x( )=ax bx c2+ + =0 không có nghiệm x x= 0 ⇔ g x( )0 ≠0

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g x( )=ax bx c2+ + =0 có nghiệm x x= 0 ⇔g x( )0 =0

 Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0 ( )

- Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi g x( )=ax bx c2+ + =0 có hai nghiệm phân biệt khác

- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g x = có nghiệm kép ( ) 0 ⇔ ∆ =0

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g x =( ) 0 vô nghiệm ⇔ ∆ <0

 Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )( ) ( )

00

- Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình g x( )=ax bx c2+ + =0 có nghiệm x x= 1 hoặc

 (Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra)

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g x( )=ax bx c2+ + =0 nhận x x= 1 và x x= 2 là nghiệm ( )

( )12

0

.0

x y mx

11

y= + đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang

 Với m <0 đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang vì không tồn tại lim

x→∞y Chọn D

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số 22 1

x y

−

=+ + có đúng một đường tiệm cận là

A [−1;1] B (−∞ − ∪ +∞; 1) (1; ) C (−∞ − ∪ +∞; 1] [1; ) D (−1;1)

Lời giải

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cậ ngang y =0

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Khi đó phương trình 4x2+4mx+ =1 0 vô nghiệm

( )2

−

=

− có đúng hai đường tiệm cận

Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi ( )

m

m m

m m m

nên đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng ⇔g x( )=x2+m có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm 4 0

16

m x

A m <1 hoặc m >1 B m >0 C m = ±1 D Với mọi giá trị m

1 21

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có thêm 1 tiệm cận đứng

Khi đó tử số không có nghiệm x =2 và f x( ) (= m+2)x2−3 3x− m xác định tại x =2

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y =0

Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

TH1: Phương trình: (mx2−2 1 4x+ )( x2+4mx+ =1 0) vô nghiệm

Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số ( ) (2 )

2

2

x x

y

x x

Suy ra để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì m ≠2 Chọn C

Ví dụ 14: Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 20172 1

3

x y

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại

−

=+ + có đúng 1 tiệm cận ngang là

+ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

+) Với m <0 đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại lim

− = ⇔ = ⇒ = ∞ Vậy m =0 hoặc m =4 là giá trị cần tìm Chọn D

Ví dụ 17: Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y=2x+ mx2− + +x 1 1 có tiệm cận ngang

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 23 4

16

y x

−

=+ có đồ thị (C) Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (C)

A I −( 2;2 ) B I( )2;2 C I(2; 2 − ) D I − − ( 2; 2 )

Câu 5: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 5

1

y x

−

=+ có đường tiệm cận đứng là

=+

Câu 10: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?

A y =2 x B y=log 2x C 2 2

1

x y x

=

−

Câu 12: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số 22 4 5

Câu 16: Đồ thị hàm số 2 2

9

x y x

x

=+ ?

+

=+ +

Câu 21: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số được cho dưới đây không có tiệm cận ngang?

=+

Câu 22: Đồ thị hàm số 1

1

x y x

−

=+ có bao nhiêu đường tiệm cận?

=+ − có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Câu 28: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 4 2

x y

− và M là một điểm nằm trên (C) Giả sử d d tương ứng là các 1, 2

khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C), khi đó d d bằng: 1 2

Câu 44: Gọi (H) là đồ thị hàm số 2 3

1

x y x

+

=+ Điểm M x y( 0; 0) thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai

đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x < khi đó 0 0 x0 +y0 bằng?

Câu 45: Cho hàm số 1

x y x

−

=

− Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số Khoảng cách từ I

đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

13

m m m

m m

m m m

m m m

x

=

+ có tiệm cận đứng

−

=

− + + + có đúng một tiệm cận là

−

=

− + + + có đúng 1 đường tiệm cận là

=

− − có đúng hai tiệm cận đứng

Câu 55: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

=

− − + có hai tiệm cận đứng?

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 5 9

x y

−

=+ + + có đúng hai đường tiệm cận

A − < <2 m 4 B − < <2 m 5 C − < <1 m 5 D − < <1 m 4

Câu 57: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 1

x y

−

=

− − − − có đúng bốn đường tiệm cận

Câu 61: Cho hàm bậc bốn y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau

+

=

− có đồ thị ( )C Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Tiếp tuyến của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng

Câu 63: Cho hàm số 1

2

x y x

−

=+ có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A,B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

+ − đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =0 Chọn D

Câu 15: Đồ thị hàm số log x không có tiệm cận ngang Chọn B 3

Câu 16: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =3 và x = −3, tiệm cận ngang y =0 Chọn C

x

−

=+ có 2 đường tiệm cận

9

x y

−

=+ có bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số nên đồ thị của nó không có tiệm cận ngang Chọn C

Mặt khác 22 2

2

4 12

+ − + − là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận Chọn A

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang Chọn D

Câu 26: TXĐ: D = −[ 2;2] Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Mặt khác

2 1lim lim

2 2

x y

x y

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận Chọn C

Câu 32: TXĐ: D = −( 1;1) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

( )( )2

x y

+

=

− có tiệm cận ngang là y =3 Chọn A

Câu 38: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy lim 3, lim 5 3, 5

x→−∞y = x→+∞y= ⇒ =y y= là 2 đường tiệm cận ngang của

Do đó đồ thị hàm số y = 2f x( )1 −5 có 4 đường tiệm cận đứng Chọn B

Câu 40: TXĐ: D = 

−

Câu 47: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang của mọi m

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận ⇔ Phương trình g x( )=mx2 −2x+ =3 0 có 2 nghiệm phân biệt khác

− + là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị (C) có đúng 3 đường tiệm cận thì có phải có 2 đường tiệm cận đứng

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng ⇔ g x( )=x2 −2mx+ =4 0 có 2 nghiệm phân biệt khác −1

− + là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị (C) có đúng 3 đường tiệm cận thì nó phải có 2 đường tiệm cận đứng

Đồ thi hàm số có 2 tiệm cận đứng ⇔ g x( )=x2 −mx+ =1 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2

Câu 51: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0

Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

TH1: m ≠0 và phương trình: (mx2 −2x+1 4)( x2 +4mx+ =1) 0 vô nghiệm

− + − + Đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang

là đường thẳng y m= Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi nó có một tiệm cận khi nó có một

Câu 53: Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y =0

Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

TH1: m ≠0 và phương trình: (mx2 −2x+1 4)( x2 +4m+ =1) 0 vô nghiệm

11

4

m m

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y = ±5

Để đồ thị hàm số có đứng hai đường tiệm cận thì nó phải không có tiệm cận đứng

Khi đó phương trình x2 +2mx+2m+ =8 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

TH1: Phương trình x2 +2mx+2m+ =8 0 vô nghiệm ⇔ ∆ =′ m2 − − < ⇔ − <m 8 0 2 m<4

TH2: Phương trình x2 +2mx+2m+ =8 0 có nghiệm kép 2

09

Do đó đồ thị hàm số luôn có 2 đường tiệm cận ngang

Để độ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Phương trình f x = có nghiệm kép ( ) 0 x = −3 và nghiệm x x= ∈ −1 ( 1;0)

Phương trình f x =( ) 2 có một nghiệm x = −1 và 2 nghiệm x x < −2, 3 1

x x

+

=

− có tiệm cận đứng là x =2 và tiệm cận ngang là y= ⇒1 I( )2;1

a a

2

x

a a

a a

Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng: Cmin =2πRmin =4 2π Chọn A

Câu 63: Giao điểm của 2 đường tiệm cận là I −( 2;1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có phương trình là y x= và y= −x

Do tính chất đối xứng nên: AB d y⊥ : = − ⇒x AB y x m: = +

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB là:

( ) 2 ( )

21