Kiểm tra HSG toán 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1(2đ) a) Tính giá trị biểu thức , biết b)Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện và Câu 2(2đ) a) Giải hệ phương trình b) Giải phương trình Câu 3 (2đ) a Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho cũng là số nguyên Gọi a là ước chung của x và y Chứng minh rằng b) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= Câu 4 (3đ) Cho điểm A nằ.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang
Câu 1(2đ):
a) Tính giá trị biểu thức: M = −(x y)3+3(x y xy− )( +1), biết
x= 33 2 2+ −33 2 2 ,− y= 317 12 2+ −317 12 2−
b)Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện :
a b c− + = a− b+ c và 1 1 1 1
a b c+ + =
Câu 2(2đ)
a) Giải hệ phương trình:
2 2
3 4
+ + =
+ + =
b) Giải phương trình: ( x+ −5 x+2)(1+ x2+7x+10) 3=
Câu 3: (2đ)
a/ Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho: x xy y+ +xy
cũng là số nguyên Gọi a là ước
b) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= n.4n+3 7nM
Câu 4: (3đ): Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm (O) Qua A kẻ các tiếp tuyến
với(O) tiếp xúc với (O) tại M và N Cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C(B nằm giữa A
và C) Từ B kẻ đường thẳng song song với AM cắt MN tại H Kẻ OD vuông góc với
BC tại D
a Chứng minh rằng tứ giác BHDN nội tiếp
b Chứng minh rằng: MB.NC = BN.MC
c CH cắt AM tại E Chứng minh rằng E là trung điểm của AM
Câu 5: (1đ): Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F
x y x y y z y z z x z x
Trang 2
-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG9
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
1
(2đ)
a/ 1điểm
3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 23 3 2 2
0,5đ
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được
3 3 3( ) ( ) 3 3( )( 1) 20 2
x − +y x y− = −x y + x y xy− + = −
Vậy M = −20 2
0,5đ
b/ 1đ
Có a b c− + = a− b+ c
a b c b a c a b c b a b c b a c ac
a b
b a b c ac a b b c
b c
⇔ − + + = + ⇔ − + + − + + = + +
=
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ =
0,25đ
Nếu a = b và a , c dương Ta có
1 1 2c a ac (a 2)(c 1) 2
a b c+ + = ⇔ + = ⇔a c + = ⇔ − − =
Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau :
a c b
− = = − =
0,5đ
Nếu b = c và b,c dương Ta có
1 1 2a b ab (b 2)(a 1) 2
a b c+ + = ⇔ + = ⇔a b + = ⇔ − − =
Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau :
a b c
0,25đ
Vậy các cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả mãn là (3;3;3)
2
2
(2đ)
a/ 1đ
Từ phương trình (1) ta suy ra: 9 12= x−3x2−3y2 thế vào phương
trình (2) thu gọn ta được:
0
x y
+ =
0,25đ
* Nếu x y+ = ⇔ = − ⇒0 y x y2 =x2 thế vào phương trình (1) ta
được 2x2+ =3 4x⇔2(x−1)2+ =1 0 phương trình này vô nghiệm
0,25đ
* Nếu x2− +xy y2− +3x 3y=0, trừ vế theo vế của phương này với
phương trình (1) ta được:
0,25đ
Trang 31
x
y
=
− − + − = − ⇔ − − + = ⇔ − − = ⇔ =
+ Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0
=> (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2)
+ Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0
=> x = 2 => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2)
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1)
0,25đ
b/
2 ( x+ −5 x+2)(1+ x +7x+10) 3=
ĐK: x ≥ -2
Ta có: x+ +5 x+ ≠2 0=> nhân cả hai vế với x+ +5 x+2
2
2
⇔ + + + = + + +
0,25đ
Đặt x+ =5 a; x+ = ⇒ +2 b 1 ab a b= + 0,25đ
3
(2đ)
a/ 1đ
x xy y+xy+
xy
y x
là số nguyên => x xy+ y
là số nguyên
x, y là hai số nguyên dương
=>
xy
y
x+
là số nguyên dương => x+y ≥ xy
0,5đ
Gọi a là ước chung của x và y => xy ≥ a2 => a≤ x y+ 0,5đ b/ 1đ
Với n chẵn n = 2k thì
2 4 3 (2 1).4 (16 9 ) 7 2 1 7
2
A= k + = k+ + − M⇒ k+ M⇒ =k −
0,25đ
2 4 3 (2 1).4 (16 9 ) 7 2 1 7
2
−
⇒ = − = + ∈
Với n lẻ n = 2k+1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0,25đ
n= m+ hoặc n=14m+1 ( với mọi n∈N) thì A chia hết cho 7
0,25đ
.O
.
C
.
A
M
N
B
D
H K E
Trang 4(3đ)
a/ 1đ
=> ·AMO ANO ADO=· =· =900
0.25đ
=> 5 điểm : A, O, D, M, N cùng thuộc một đường tròn
=> ·MND MAD=·
0.25đ
BH // AM => ·HBC MAD=·
Suy ra: ·HND HBD=· => tứ giác BHDN nội tiếp
0.5đ
b/1đ
Tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC (g.g)
2
AMB=ACM = sd MB)
0.25đ
CM
NB CN
C/ 1đ
BH cắt CM tại K
Tứ giác BHDN nội tiếp => ·HNB BDH=·
2
HNB BCM= = sd MB
0.25đ
HD // CM
0.25đ
ME = CE
AE = ME
mà BH = HK => E M = EA => (đpcm)
5
2
a b
a b− ≥ ⇔ + ≥ a b+
(dấu “=” xảy ra khi a = b)
Ta có:
x y
x y x y − x y x y = −
y z
y z y z y z y z
z x
z x z x z x z x
0.25đ
Trang 54 4 4
F
x y x y y z y z z x z x
x y x y y z y z z x z x
Do đó
F
x y x y y z y z z x z x
1
1
1
x y x y y z y z z x z x
x y x y y z y z z x z x
0.5đ
x y y z z x
x y z
x y y z z x
≥ + + ÷÷= + + =
Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1
4khi x = y = z = 1
3
0.25đ