§Ò sè 22 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A tại x = Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên b) Chứng minh rằng với a + b > c và với a,b,c > 0 thì phương trình bậc hai vô nghiệm Câu 4 (3,0 điểm) 1)Cho tam giác ABC vuông t.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức
( )
+
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A tại x = 3 + 368+3 − 368
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: x− +1 1− =1 x
b) Giải hệ phương trình:
2 2
1
xy 1
x y
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên
b) Chứng minh rằng với a + b > c và a b c− < với a,b,c > 0 thì phương trình bậc hai a x2 2+(a2+ −b2 c x b2) + 2=0vô nghiệm
Câu 4 (3,0 điểm).
1)Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi I là trung điểm của BC Gọi D là điểm bất kỳ trên cạnh BC Trung trực của AD cắt các trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E và F Chứng minh rằng :
a) 5 điểm A,E,I,D, F cùng nằm trên một đường tròn
b) Tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng
2)Trong tam giác ABC, các đường phân giác trong AA’, BB’, CC’ đồng quy tại
I (A’∈BC, B’∈AC,C’∈ AB) Chứng minh rằng AI.BI.CI ≤ 8
AA '.BB'.CC' 27
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a2+b2 + b2+ +c2 c2+a2 =2 2012
P
b c a c b a
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẦM
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
1
(2,0 điểm)
a.( 1 điểm)
=
+
:
− × + + + − + −
0,25
x 1
+
0,25
2
x 1
= +
0,25
b.( 1 điểm)
Ta có x a b,x a 1= + > > và
x = +a b = + +a b 3ab a b+ = −6 5x⇔ x3+5x 6 0− = 0,25
(x 1 x) ( 2 x 6) 0
Mà với x > 1 thì x2+ + > ⇒ − = ⇔ =x 6 0 x 1 0 x 1 (thoả mãn) 0,25
1 1
2
− = ≥ − = ≥
Ta có: a + b = x và a2−b2 = −x 1 Suy ra a b x 1 1 1
−
− = = −
0,25
= + − = − + = + ⇒ − + = ⇒ = (tm)
Giải phương trình trên tìm được x 1 5
2
±
=
x 2
+
2
−
= <1( loại) kết luận
0,25
b.( 1 điểm)
Trang 3Điều kiện: x≠ 0, y≠ 0 (*)
Biến đổi được hệ tương đương
÷ ÷
0,25
SP 6
+ − = =
phương trình X2−5X 6 0+ =
Giải phương trình trên tìm được X1=2;X2=3
Từ đó suy ra S 2
P 3
=
=
S 3
P 2
=
=
0,25
P 3
=
=
1
x 1
y
+ =
+ =
hay
2 2
x 1
2
=
− + =
⇔
0,25
P 2
=
=
tương tự tìm được
x
2
y 1
=
=
( thoả mãn)
Kết luận hệ có 4 nghiệm
;
;
0,25
3
( 2 điểm) a ( 1 điểm)Giả sử có số nguyên tố p thoả mãn 2p 1 n n N+ = 3( ∈ ) khi đó:
Nếu n chẵn thì n - 1 lẻ và n2+ +n 1 lẻ do đó 2plẻ (vô lý), suy
ra n lẻ nên (n 1 2− )M
Từ đó ta có p n 1 (n2 n 1)
2
−
2
−
và
2
n + +n 1
0,25
Mà n2+ +n 1> 1 và p là số nguyên tố nên suy ra n 1
2
−
=1 và p=n2+ +n 1, suy ra n = 3 và p = 13
0,25 Với p = 13 thì 2p + 1 = 33 Vậy số nguyên tố phải tìm là 13 0,25
b ( 1 điểm)
Trang 4Từ a + b > c và a b c− < với a,b,c > 0
⇒a + b - c > 0; a - b - c <0; a - b + c > 0, a+b+ c= 0 (*) 0,25
∆ = + − −
(a2 b2 c2 2ab a) ( 2 b2 c2 2ab)
(a b c a b c a b c a b c) ( ) ( ) ( )
0,25
Từ (*) suy ra ∆ <0, suy ra phương trình trên vô nghiệm 0,5 4
(3 điểm) Hình vẽ:
1a.( 1,25 điểm)
Lập luận chứng minh được
Do tính chất các điểm thuộc trung trực của đoạn thẳng ta có:
BE = ED ( đều bằng EA) suy ra VBEDcân tại E
EBD EDI
⇒ = (2)
Từ (1) và (2) ⇒EAI EDI· =· ⇒ tứ giác AEID nội tiếp (*)
0,25
Tứ giác AEID nội tiếp ⇒ADC AEI BEI (3)· =· =·
Do EI//AC( cùng vuông góc với AB) ⇒BIE ACD (đv) (4)· = ·
Từ (3) và (4) ⇒VBEI∽ VADC g.g( )
⇒CAD IBE= ⇒CAD IAE (5)=
0,25
Mà ·CAD IFE ( 2 góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (6)= ·
Từ (5) và (6) ⇒IFE IAE· = · ⇒tứ giác AEIF nội tiếp (**) 0,25
Từ (*) và (**) suy ra 5 điểm A,E,I,D, F cùng nằm trên một
1b.( 0,75 điểm)
Gọi IE cắt AB tại M, IF cắt AC tại N, lập luận chứng minh tứ
giác AMIN là hình chữ nhật⇒FIE 90· = 0
Mà tứ giác AEIF nội tiếp ⇒FIE EAF 180· +· = 0⇒EAF 90 · = 0
⇒VEAF vuông tại A
0,25
Do 5 điểm A,E,I,D, F cùng nằm trên một đường tròn
Mà AIE BIE(do AEI· = · V =VBEI)
Có ·BIE ACD( theo (4)) = · ⇒AFE ACD· = ·
0,25
B
A
C
E
F
N M
Trang 52.( 1 điểm)
Ta có gọi s,s ,s ,s lần lượt là diện tích các tam giác ABC, IBC, 1 2 3
IAC, IAB
+
ABA ' ACA ' ABA ' ACA '
AI
Chứng minh tương tự BI = s s3+ 1; CI =s s2+ 1
0,25
Từ đó ta có
( + ) ( + ) ( + ) + + + + +
3
0,25
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi s1= =s2 s hay khi đó tam giác ABC3
đều
0,5
5
(1 điểm) Ta có: ( 2+ 2) ≥ +( )2⇒ + ≤ ( 2+ 2)
Tương tự b c+ ≤ 2 b c ;a c( 2+ 2) + ≤ 2 a c( 2+ 2)
0,25
Đặt x= b c ,y2+ 2 = c a ,z2+ 2 = b a2+ 2
Suy ra P ≥ y2+ −z2 x2 +z2+ −x2 y2 +x2+ −y2 z2
2 2
+ + +
≥ − ÷ + − ÷ + − ÷
2 2
0,25
1
2 2
( )
≥ 1 2 y z 3x+ − + 2 z x 3y+ − + 2 x y 3z+ −
2 2
= 1 (x y z) 1 2 2012 1006
2 2 + + =2 2× =
0,25
A
B’
C’
A’
I
Trang 6Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c
= =
2 1006 3
Vậy minP = 1006 tại a = b = c = 2 1006
3
0,25
