UBND HuyÖn Thanh miÖn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1 (2 điểm) 1) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P với a > 2 2) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) Câu 2 (2 điểm) a) Tìm các số hữu tỷ a và b sao cho x = là nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + 1 = 0 (1) b) Gọi x1, x2, x3 là 3 nghiệm của phương trình (1) ứng với a , b.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang
Câu 1: (2 điểm)
P
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn P với a > 2
2) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết : 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d)
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm các số hữu tỷ a và b sao cho x = 2 5 là nghiệm của phương trình:
x3 + ax2 + bx + 1 = 0 (1) b) Gọi x1, x2, x3 là 3 nghiệm của phương trình (1) ứng với a , b vừa tìm được
đặt Sn = 1 2 3
x x x Chứng minh Sn N với mọi số tự nhiên n ?
Câu 3: (2 điểm)
2 2
1 2 3 3
5 3 2 2
b) Cho các điểm A(1; 4); B(3; 1) Xác định đường thẳng y = ax sao cho A và B nằm về
2 phía của đường thẳng và cách đều đường thẳng đó
Câu 4: (3 điểm) : Cho (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B Trên tia đối của của tia
AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), trong đó D và E là các tiếp điểm và E
nằm trong (O’) Đường thẳng AD, AE cắt (O’) lần lượt tại M và N ( M và N khác A) Tia DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:
a Tứ giác BEIN nội tiếp
b MIB đồng dạng với AEB
c O’I MN
Câu 5: ( 1 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 6 2 2 6 2 2 6 2 2
x y z y z x z x y
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC
SINH GIỎI 9 MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
1.1
1 a) ĐK: a ≤ - 2; a ≥ 2
b) với a > 2
P
=
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
1.2
1đ
a) 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d)
Ta có abcd ab ad cd 1
bcd b d
bcd b d
= a +
1 bcd b d
1
cd
=
cd
c
Lại cú:
a = 1; b = 2; c = 1; d = 3
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 2
2đ a) Vì x = 2 5 là nghiệm của phương trình: x
3 + ax2 + bx + 1 = 0
2 53a2 52b2 5 1 0
( 4a + b + 17) ) 5 + ( 9a + 2b + 39 ) = 0a + 2b + 39a + 2b + 39 ) = 0 ) = 0
3
a
b
b) Vì a = - 5, b = 3 (1) x3 - 5x2 + 3x + 1 = 0
(x - 1)(x2 - 4x - 1) = 0
x
x
S n 2 5 n 2 5n1
Đặt Un = 2 5 n 2 5n = Sn - 1 với n N
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Trang 33 2
1
O' O
I
N
M E
D
C
B A
d
-2 -1
3 2 1
4 3 2 1
N
M
B
A y
x O
Un + 2 = 2 5n22 5n2
=
2 5 2 5 2 5n12 5n1 2 5 2 5 2 5 n 2 5n
Un + 2 = 4Un + 1 + Un với mọi n N
Vì với U0 = 2 ; U1 = 4 S0 = 3; S1 = 5
Un N+ n N Sn nhận giá trị nguyên n N
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
3
a) Từ (1) suy ra: 2 5 3 3 2 3 2 2 6 1
x
x x x x
x x x
20 3 2 4 2 3 2
0 9a + 2b + 39 ) = 0 24 22
0 9a + 2b + 39 ) = 0 24 22
2
x x x
x
(*) ta có:
y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta được
x2 - 4x + 3 = 0 x = 1; x = 3
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ b) Gọi đường thẳng cần tìm là d
Gọi AH, BK là khoảng cách từ A và B đến
đường thẳng d
Đường thẳng đi qua A song song với Ox
Cắt d tại điểm M M(4
a; 4) Đường thẳng đi qua B
song song với Ox
Cắt d tại điểm N N(1
a; 1)
Vì AH = BK AM = BN
4
a - 1 = 3 - 1
a 5
a= 4 a = 5
4 hàm số có dạng y = 5
4 x
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 4
Vẽ hình 0,25 đ
Trang 4a Ta có tứ giác ABNM nội tiếp BNM BAD
Mà BAD BED (Cùng chắn BD)
BNM BED Tứ giác BEIN nội tiếp
b Ta có
1 1
A M (1) (Cùng chắn BN )
BIM BIE EIM BNE ENI NEI BNI NEI BED DEA AEB
(2)
Từ (1) và (2) AEB MIB
c Chứng minh CDB CDA (g g) BD CD
DACA (3) Chứng minh tương tự có CE EB
CA EA (4)
Mà CD = CE (tính chất tiếp tuyến)
EADA (5)
Ta lại có AEB MIB nên EB IB
EAMI (6)
Mà ABD IEN (Cựng = AED) ; IEN IBN
ABD IBN , mà INB DAB
DBA IBN BD IB
DAIN (7) )
Từ (5), (6), (7) ) IM = IN OI MN
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
5
Đặt a = 2
1
x ; b = 2
1
y ; c = 2
1
z abc = 2 2 2
1
x y z = 1
x2 + y2 = c(a + b); y2 + z2 = a( b + c); z2 + x2 = b( c + a)
E
b c c a a b
2
b c c a a b
Nhân 2 vế với a + b + c > 0, ta được
3 2
a a b c b a b c c a b c
a b c
b c c a a b
E ≥ 3
2 min E = 3
2 khi a = b = c = 1
0.25 đ 0.25 đ
0.25 đ 0.25 đ