Chủ đề 2 PHƯƠNG TRÌNH PHỨC

CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG TRÌNH PHỨC 1 Căn bậc hai của số phức ( Cho số phức Số phức thỏa mãn được gọi là một căn bậc hai của ( Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0 ( Mỗi số phức khác 0 có căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0) ( Số thực có hai căn bậc hai là và ( Số thực có hai căn bậc hai là và 2 Phương trình phức Xét phương trình bậc hai , với và ( Xét biệt thức ( Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt và , trong đó là một căn bậc hai của ( Nếu thì phương trình có nghiệm kép Đặc biệt ( Khi là số th.

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH PHỨC

1 Căn bậc hai của số phức

 Cho số phức w Số phức z thỏa mãn z2  được gọi là một căn bậc hai của w w

 Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

 Mỗi số phức khác 0 có căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0).

 Số thực a 0 có hai căn bậc hai là a và  a

 Số thực a 0 có hai căn bậc hai là i a và i a

2 Phương trình phức

Xét phương trình bậc hai 2

z

az b  , với c z; , ,a b c và a 0

 Xét biệt thức  b2 4ac

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

2

b z

a



 

2

b z

a



 

 , trong đó  là một căn bậc hai của 

 Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2

2a

b

Đặc biệt:

 Khi  là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm 1

2a

b

z    và 2

2a

b

 Khi  là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm 1

2a

i

z     và 2

2a

b i

z    

 Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc 2 đều có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

 Định lý Viete: Phương tình bậc hai az2bz , với c z; , b,ca  và a 0 có 2 nghiệm phức

1

1 2

b

a c

z z a











3 Tìm căn bậc 2 của số phức z a bi a b   ;  

Thao tác: Chuyển máy tính qua chế độ Radian SHIFT MODE  4 và chế độ số phức CMPLX

Khi đó một căn bậc 2 của z là: arg 

2

a bi

a bi   , căn bậc 2 còn lại chính là số đối của số vừa tính

được

Trong đó SHIFT hyp ; SHIFT  ;argSHIFT 2 1

Ví dụ 1: Biết z và 1 z là 2 nghiệm của phương tình 2 z 2 2z 4 0  Tính T z1  z2

Lời giải:

2

  



 

Ví dụ 2: Biết z và 1 z là 2 nghiệm của phương trình 2 z i 2 4 0 Tính T z1  z2

A T 3 B T 2 C T 4 D T 10

Lời giải:

2

Do đó T z1  z2 4 Chọn A.

Ví dụ 3: Gọi z z là 2 nghiệm phức của phương trình 1; 2 z2  3 i z  4 3i0

Tìm giá trị của biểu thức T z12  z22

A T 2 B T 5 C T 2 5 D T 10

Lời giải:

Ta có:  3 i216 12 i 8 6i 1 3i2

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là

1

2

2 2

1 2 2

  







  



Do đó: z12  3 4 ;i z22  3 4i T  3 4i   3 4i 10 Chọn D.

Ví dụ 4: Gọi z z là 2 nghiệm phức của phương trình 1; 2 2  

z  i z i Tìm giá trị biểu thức

1 2

A T 2 B T 5 C T 2 5 D T 10

Lời giải:

Ta có:  9 1 i2 20i2i 1 i2

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là

1

1 2 2

3 3 1

2

3 3 1

1 2 2

  







  



Do đó T 2 5 Chọn C.

Ví dụ 5: Giải phương trình phức z21 2 i z   1 i 0

A

1 3





  

1

z





  

1 3

z i





  

1

z i





  

Lời giải:

1 2 1

2

i

1 2 1

1 2

i

z     i Chọn D

Ví dụ 6: Cho phương trình phức z2bz c 0 ,b c  có một nghiệm là 1 2i Tính giá trị của biểu

thức S = b + c.

Lời giải:

Ta có 1 2 i2b1 2 i    c 0 3 4i b 2bi c 0

Ví dụ 7: [Đề minh hoạ Bộ GD & ĐT 2017] Kí hiệu z z z z là bốn nghiệm phức của phương trình1, , ,2 3 4

4 2

12 0

z  z   Tính tổng T z1  z2  z3  z4

A T = 4. B T 2 3 C T  4 2 3 D T  2 2 3

Lời giải:

Ta có

2

4 2

2 4

12 0

3

3 3

z z







Do đó T 2  2i 3  i 3   2 2 3 3 4 2 3  Chọn C.

Ví dụ 8: Tổng các nghiệm của phương trình

1 0

A T 0 B T = 1 2i C T = 1 + 2i D T = 1

Lời giải:

Đặt t z i ;z i

z i





  ta có: t3t2   t 1 0 t1 t210

z i



 Với t i z i i z 1

z i



 Với i i z i i z 1

z i



 Vậy phương trình có 3 nghiệm z0;z 1 T 0 Chọn A.

Ví dụ 9: Gọi z z là 2 nghiệm phức của phương trình 1; 2 z2 1i z  6 3i0 Tính môđun của số phức

2 2

1 2

A w 2 10 B w 3 10 C w 4 10 D.w 5 10

Lời giải:

1 2

1

6 3





 



2 12 6i i 12 4i w 4 10

Ví dụ 10: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z 2 2z 3 0  Tính giá trị của biểu thức

1 2z2 2 21

Lời giải:

1 2 2 2 2z1 19 2 19

Ví dụ 11: Cho số phức w, biết rằng z1 w 2i và z12w 4 là hai nghiệm của phương trình

z az b   với a, b là các số thực Tính T z1  z2

A 8 10

3

3

3

Lời giải:

Đặt w x yi x y   ;  

Theo Viet ta có: z1z2 a3w 2i 43x 4   3y 2i là số thực nên 2

3

y  Lại có :

1 2

z z  b x i i    i 

Suy ra 4 2x 4 4 2x 4 4  4 16

z   i i  i z   i T  Chọn A.

Ví dụ 12: Cho số phức w và hai số thực a, b Biết z1 w 2i và z2 2w 3 là hai nghiệm phức của

phương trình z2az b  Tính 0 T z1  z2

A T 2 13 B 2 97

3

3

Lời giải:

Đặt w m ni m n   ;  

Theo Viet ta có: z1z2 3w2i 3 3 m 33n2ia là số thực do đó 2

3

Lại có 1 2

i

z z m    m  ib

3 m  3m  m

Do đó 1 3 4 ; 2 3 4 2 97

z   z    T  Chọn B.

Ví dụ 13: Gọi z z z là 3 nghiệm của phương trình 1; ;2 3 z31 2 i z 21 i z 2i Biết rằng phương trình

có 1 nghiệm thuần ảo tìm môđun của số phức w z 12z22 z32

Lời giải:

Giả sử phương trình có 1 nghiệm thuần ảo là: z bi b    thay vào phương trình:

 bi 31 2 i bi  21 i bi 2i b i3  1 2 i b 2bi b 2i

2

0

1

  





Vậy phương trình      

3 2

2







Giả sử PT (1) có 2 nhiệm là z và 1 z 2

w i  z z  z z   i   i  w  Chọn C.

Ví dụ 14: Gọi z z z z là các nghiệm của phương trình: 1; ; ;2 3 4 z2 3z 2  z27z 12  3

Tính tổng T z1  z2  z3  z4

Lời giải:

Ta có: PT  z1 z2 z3 z4  3 z25z 4  z25z 6  3

Đặt w z 25z 4 ta có  2 3 1

3

w

w w

w





    



Với 2

1 2

5 13

2

w  z     z   z  z 

Với

2

3 4

w  z     z    z   z  z 

Ví dụ 15: Biết phương trình z32 2 i z 25 4 i z 10i0 có 3 nghiệm z z z trong đó 1; ;2 3 z là số1 thuần ảo Tính tổng T z1  z2  z3

Lời giải:

Giả sử z1 bi b i3  2 2 i b 25 4 i bi 10i0

2

2

b



2

1 2



 



Suy ra T z1  z2  z3  2 2 5 Chọn D.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2018) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình2 2

4z  4z 3 0  Giá trị của biểu thức z1  z2 bằng

Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 101) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức

1 2i và 1 2i là nghiệm?

A z22z 3 0  B.z2 2z 3 0  C z2 2z  3 0 D z22z 3 0 

Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương1 2 trình 3z2 z  Tính 1 0 Pz1  z2

3

3

3

3

P 

Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương1 2

trình z2 z  Tính 6 0

1 2

P

 

A 1

6

12

6

Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Kí hiệu z ,1 z là hai nghiệm của phương trình2 2

z   Gọi 4 0 M N lần lượt là điểm biểu diễn của , z , z trên mặt phẳng tọa độ Tính 1 2 T OM ON 

với O là gốc tọa độ.

Câu 6: (Đề minh họa lần 1 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu z z z và 1, ,2 3 z là bốn nghiệm phức của4 phương trình z4 z212 0 Tính T z1  z2  z3  z4

Câu 7: (Đề minh họa lần 2 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương0 của phương trình 2

4z 16z 17 0  Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz 0 ?

A 1

1

; 2

2

1

; 2 2

1

;1 4

1

;1 4

Câu 8: (Đề minh họa lần 3 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu z , z là hai nghiệm của phương trình1 2

z    Tính z P z 12z22z z1 2

Câu 9: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Gọi z z nghiệm của phương trình1, 2 2

z 4z 5 0  Tìm w 1 z11001z2100

A w250i B w 251 C w 251 D w250i

Câu 10: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 6 năm 2017) Tìm các căn bậc hai của 12 trong tập số phức 

Câu 11: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 6 năm 2017) Cho số phức z x yi x y ,   thỏa mãn

3 18 26

z   i Tính T z 224 z2

Câu 12: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi  thỏa mãn z318 26 i

1

x

y









1

x y









1

x y









1

x y











Câu 13: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 7 năm 2017) Tìm tập nghiệm của phương trình

4 2z2 8 0

A  2; 4i B  2; 2i  C  2 ; 2i  D  2; 4i

Câu 14: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z2 2z 2 0  Tính I z1100z1002

2

2

2

Câu 15: Trên trường số phức  , cho phương trình az2bz c 0 , ,a b c,a0 Tìm khẳng định

sai trong các khẳng định sau?

A Phương trình luôn có nghiệm B Tổng hai nghiệm bằng b

a



C Tích hai nghiệm bằng c

b  az phương trình vô nghiệm

Câu 16: Gọi M M là hai điểm lần lượt biểu diễn cho các số phức 1, 2 z , z là nghiệm của phương trình1 2 2

z 2z 4 0  Tính số đo góc M OM 1 2

A M OM 1 2 120 B M OM 1 2 90 C M OM 1 2 60 D M OM 1 2 150

Câu 17: Gọi A và B là hai điểm trong mặt phẳng biểu diễn hai nghiệm phân biệt của phương trình

2

z 4z  Tính tan 5 0 AOB

A tan A 1

2

3

Câu 18: Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z22z 10 0  Tính độ dài đoạn thẳng AB

A AB = 6 B AB = 2 C AB = 12 D AB = 4

Câu 19: Gọi z và 1 z là các nghiệm của phương trình 2 z2 4z 9 0  Gọi M, N là các điểm biểu diễn của z và 1 z trên mặt phẳng phức Khi đó độ dài của MN là:2

Câu 20: Biết phương trình z22z26 0 có hai nghiệm phức z , z Xét các khẳng định:1 2

 3 :z1z2 2  4 : z1  z2

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

Câu 21: Tìm nghiệm của phương trình z2  5 12i

A z 2 3i  hoặc z 2 3i B z 2 3i 

C z 2 3i  hoặc z 2 3i D z 2 3i 

Câu 22: Cho z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 2

z 2z 4 0  Tính Az1  z2

Câu 23: cho z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 z2 z  Tính 1 0 Az1  z2

Câu 24: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 z22z 5 0  Tính Az1  z2

Câu 25: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 z22z 10 0  Tính giá trị của biểu thức

Câu 26: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z24z+5=0 Tính Pz12 z2 2

Câu 27: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 z2 2z 3 0  Tính Pz12 z22

Câu 28: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 3z2 z  Tính 2 0 Pz12 z22

A 11

9

3

3

3

P 

Câu 29: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z2 3z 3 0  Tính 2 2

P

A 2

3

3

9

9

P 

Câu 30: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 z2 4z 5 0  Tính Pz12 z2 2

Câu 31: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 z2 4z 13 0  Tính Pz12 z2 2

A P 26 B P 2 13 C P 13 D P  26

Câu 32: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 z22z 10 0  Tính Pz13 z23

A A 20 10 B A 2 10 C A 20 D A 10 10

Câu 33: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 z 1 1

z

  Tính P z 13z32

Câu 34: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 z2 2z 5 0  Tính P z 14z24

A P 14 B P 14 C P14i D P14i

Câu 35: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 3z2 z  Tính 6 0 A z 13z32

A A 5,8075. B 54 3

9

9

9

Câu 36: Gọi z z hai nghiệm của phương trình 1, 2 z22 2z  Tính 8 0 T z24  z24

A T 16 B T 128 C T 32 D T 64

Câu 37: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 z2 3z 5 0  Tính T z24  z24

Câu 38: Gọi x là nghiệm phức có phần ảo là số dương của phương trình 0 x2   Tìm số phứcx 2 0 2

zx 2x 3

A z 1  7 i B z2 7 i C z 1 7

2

i



2

i 



Câu 39: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z24z 20 0  Tính giá trị của biểu thức 2  2 2

Câu 40: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 z2 6z 13 0  Tìm số phức

0

0

6

z

  



A 24 7

5 5i

5 5i

5 5i

5 5i

  

Câu 41: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 2z 2 6z 5 0  Tìm iz 0.

A 0

1 3

2 2

1 3

2 2

1 3

2 2

1 3

2 2

Câu 42: Ký hiệu z , z là các nghiệm phức của phương trình 1 2 z210z 29 0  với z có phần ảo âm.1 Tìm số phức liên hợp của số phức 2 2

1 2 1

A   1 40 i B  40 .i C   1 10 i D   1 40 i

Câu 43: Ký hiệu z là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình 0 z22z  5 0 Hỏi điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 3

0

z i

 

A M22; 1   B M 1 1; 2  C M  4 2; 1  D M32;1 

Câu 44: Gọi z , z nghiệm phức của phương trình 1 2 2z2 3z 7 0  Tính P z 1 z2 z z1 .2

Câu 45: Gọi z , z nghiệm phức phương trình 1 2 2z2 3z 2 0.  Tính P z12z z1 2z22

A 5

2

2

4

4

P 

Câu 46: Biết phương trình z2az b 0 a, b  có một nghiệm là z 2 i Tính a b

A a b 9 B a b 1 C a b 4 D a b 1

Câu 47: Tìm các số thực ,b c để phương trình 2

z bz  nhận số phức c 0 z 1 i  làm một nghiệm

A 2

2

b

c









2

b c









2

b c









2

b c











Câu 48: Phương trình z2bz c 0, ,a b  có một nghiệm phức là z1 1 2i Tính b c

A b c 0 B b c 3 C b c 2 D b c 7

Câu 49: Biết rằng phương trình z2az b 0 ,a b  có một nghiệm là z 1 i  Tính môđun của số phức  a bi

Câu 50: Tìm ,cb   sao cho 8 16i là nghiệm của phương trình 2

z 8 z 64b  c 0

A 2

5

b

c









5

b c









5

b c









5

b c











Câu 51: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 z 2 2z+8=0, trong đó z có phần ảo dương Tìm số1 phức  2z1z z2 1

A 12 6 i B  10 2 7. i C  10 D 12 6 i

Câu 52: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z 2 2z 2 0  Tìm số phức liên hợp của   1 2i z 1

A   3 i B   1 3 i C   1 3 i D    3 i

Câu 53: Gọi z , z là nghiệm phức của phương trình 1 2 2

z 2z 5 0,  trong đó z có phần ảo âm Tìm số1 phức z 1 2z 2

A  3 2 i B  3 2 i C 3 2 i D 3 2 i

Câu 54: Gọi z , z là nghiệm phức của phương trình 1 2 z2 z  Tính môđun của số phức:1 0

2 2

1 2

zz z  4 3 i

Câu 55: Cho hai số phức z , z là các nghiệm của phương trình 1 2 z24z 13 0  Tính mô đun của số phức  z1z i z z2  1 2

Câu 56: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 1 2 z2 2z 6 0  Trong đó z có phần ảo âm Tính giá1 trị của biểu thức M z1 3z1 z2

A 6 2 21. B 6 2 21. C 6 4 21. D 6 4 21.

Câu 57: Gọi  là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z27z13 0 Tìm 

2 2 i

2 2 i

2 2 i

2 2 i

  

Câu 58: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình 0 z22z 5 0. 

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 3

0

i z

 

A M2; 1   B M   2; 1  C M2;1  D M  1; 2 

Câu 59: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 z2   Tìm trên mặt phẳngz 1 0

tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

0

i z

 

A 3 1;

2 2

B 3 1;

2 2

C 3; 1

M  

D 1; 3

M  

Câu 60: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 2z2 6z 5 0.  Điểm nào sau đây biểu diễn số phức iz 0

A 4

1 3

;

2 2

1 3

;

2 2

3 1

;

2 2

Câu 61: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 6z212z 7 0.  Trên mặt phẳng

tọa độ, tìm điểm biểu diễn của số phức 1 6

6

w iz 

A M0; 1   B N1;1  C P0;1  D Q1;0 

Câu 62: Tìm tất cả các giá trị thực của a sao cho phương trình 2 2

z  az2a a  có hai nghiệm phức0

có môđun bằng 1

A a 1 B a1,a1 C 1 5.

2

Câu 63: Xét phương trình 2z4 3z2 2 0 trong tập số phức  Gọi z , , ,1 z z z là bốn nghiệm của2 3 4 phương trình Tính tổng T z1  z2  z3  z4

Câu 64: Gọi z , , ,1 z z z là bốn nghiệm của phương trình 2 3 4 z4 2z2 8 0 Trên mặt phẳng tọa độ, gọi , , ,

A B C D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm z , , ,1 z z z đó Tính giá trị của biểu thức2 3 4

D,

Câu 65: Kí hiệu z , , ,1 z z z là bốn nghiệm phức của phương trình 2 3 4 z47z212 0 Tính giá trị của tổng T z14z24z34z44

A T 10 B T 25 C T 50 D T 100

Câu 66: Hai giá trị x1 a bi x, 2  a b là hai nghiệm của phương trình nào sau đây?

A x22ax a 2b2  0 B x22ax a 2 b2  0

C x2 2ax a 2b2  0 D x2 2ax a 2 b2  0

Câu 67: Tính tổng phần thực, phẩn ảo của số phức 1

z thỏa mãn z2 2 1 ) i z2i0.

Câu 68: Tìm a để 2i z 2az b 0, ,a b  có hai nghiệm là 3 i và 1 2 i

A a 9 2 i B a15 5  i C a 9 2 i D a15 5  i