Toán học Chủ đề 6: Phương trình số phức25425

Ỏhuyên Đ S ớh c

M C L C

CH Đ 6 ớH ộỒ TờÌộH S PH C 3 ọủI TOỦộ ớH ộỒ TờÌộH ỜUỤ V ớH ộỒ TờÌộH ọ C NH T S PH C 3 ọủI TOỦộ Ỏừộ ọ C HAI S PH Ỏ ớH ộỒ TờÌộH ọ Ỏ HỌI Vủ ớH ộỒ TờÌộH QUY V ớH ộỒ TờÌộH ọ C HAI 9

D ộỒ ớH ộỒ TờÌộH ọ C BA 40

D ộỒ ớH ộỒ TờÌộH ọ C B N S PH C 52

Ỏhuyên Đ S ớh c

ỎH Đ 6 ớH ộỒ TờÌộH S ớH Ỏ ọủI TOỦộ ớH ộỒ TờÌộH ỜUỤ V ớH ộỒ TờÌộH ọ Ỏ ộH T S ớH Ỏ

I M T S VÍ D RÈN LUY ộ Kơ ộừộỒ

Ví d 1 Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:

a)  2 i z z 2i 1;    b) 1 i z 2i    2 i

Gi i

a) Ta có:

 2 i z z 2i 1    z 2 i 1       1 2i z 1 i     1 2i

  

2 2

1 2i 1 i

V y s ph c z c n tìm là: z 1 3i.

2 2

b) Ta có:

 1 i z 2i 2 i z 2i 2 i z 2i      2 i 1 i



2 2

1 i

V y s ph c z c n tìm là: z 1 7i.

2 2

 

Ví d 2 Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:

a) 2i 1z 3i 1;

2i i 1 2i 1





 

Gi i

a) Ta có: 2i 1z 3i 1 x 3i 1 2i 1 3i 1 i 2: . 1

b) Ta có:  2

2i 1   3 4i;i3 i.i2   i

2

5i 2 2i 1

2i 1





Ví d 3. Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:

a) 5 4i z  3 2i 4 i ; b) z 2 i  3i z  1 3i

Gi i

a) Ta có

5 4i z 3 2i 4 i  z 3 2i 4 i  14 5i 50 81i

b) Ta có

2

z 2 i 3i z 1 3i i.z 2i 3i 9i z 3iz

1 4i 17 17

 

 

Ví d 4 Gi i ph ng trình sau 2iz 3 z 5i z 3 6i       0

Gi i

Ta có:

2iz 3 z 5i z 3 6i    0 2iz 3 0z 5i 0

z 3 6i 0

z 3 6i

z 3 6i



   



V y nghi m c a ph ng trình là z 3i, z 5i, z 3 6i

2

Ví d 5. a) Cho s ph c z th a mãn  1 i z 2z 2   Tính mô-đun c a s ph c

w z 2 3i  

b) Cho s ph c z th a mãn đi u ki n  2 i z 1 i 5 i

1 i



 Tìm mô-đun c a s ph c 2

w 1 z z  

Gi i

a) Đ t z a bi (a,b   ) Theo đ ra ta có: 3a b 2 a 1



Khi đó w z 2 3i 1 i 2 3i 3 4i        

V y w  3242 5

b) Ta có:

 2 i z 1 i 5 i  2 i z 5 z 2 i

1 i



Khi đó w z z  2  5 5i w 5 2.

b) Ta có:

Ỏhuyên Đ S ớh c

 2 i z 1 i 5 i  2 i z 5 z 5 2 i



T đó w 1 z z   2  6 5i Suy ra w  36 25  61

Ví d 6. Cho s ph c z th a mãn h th c   2 i 1 i z 4 2i     Tính mô-đun c a z

Gi i

Cách 1 Đ t z a bi, (a,b   ) khi đó z a bi  Theo bài ra ta có:

2 2

Cách 2 Ta có:

  2 i 1 i z 4 2i         z 4 2i 2 i 1 i    1 3i

Suy ra: z 1 3i   z 10

II BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN

Câu 1 Gi i ph ng trình 2 3i z z 1.   

A z 1 3 i.

10 10

10 10

10 10

10 10

H ng d n gi i

Ta có:

2 3i z z 1 2 3i 1 z 1 1 3i z 1 z 1 21 3i2 1 3 i

 



V y ch n đáp án Ọ

Câu 2 Gi i ph ng trình  2 i z 4 0  

A z 1 3i.

5 5

5 5

10 10

13 13

H ng d n gi i

Ta có:  2 i z 4 0 z 4 4 2 i 2 2 8 4i



V y z 8 4i.

5 5

  V y ch n đáp án ọ

Câu 2 Gi i ph ng trình 2 iz 1 3i



A z 1 3i.

5 5

5 5

25 25

13 13

H ng d n gi i

Ta có:

V y ch n đáp án Ỏ

Câu 3 Tìm nghi m c a ph ng trình 2z 1 1 i

z i



 



A z 1 3i.

5 5

5 5

2 2

2 2

  

H ng d n gi i

Đi u ki n: z i

V i đi u ki n trên ph ng trình đã cho tr thành:

2

2

2z 1 1 i 2z 1 1 i z i 2z 1 1 i z i i

z i

i 1 i



V y z c n tìm là: z 1 1i

2 2

  

V y ch n đáp án D

Câu 4 Tìm nghi m c a ph ng trình i 1 1

z 2 i 3 6i   

A z 1 3i.

7 7

3 3

10 10

2 2

 

H ng d n gi i

Đi u ki n: z 0

V i đi u ki n trên ph ng trình đã cho tr thành:

 

  

3 2 i

15i 7 i





V y ch n đáp án Ỏ

Câu 5. Tìm nghi m c a ph ng trình 1 2i z 2 i iz 1 0

i

A z 1,z i  B z 1,z i C z i,z i D z i,z 1

H ng d n gi i

Ỏhuyên Đ S ớh c

Ta có:

1



 



Gi i (1): (1)i z 1 02         z 1 0 z 1

Gi i (2):

 2 i 1 2i 

V y ph ng trình có nghi m là z i và z  i

V y ch n đáp án Ỏ

Câu 6 Tìm nghi m c a ph ng trình

 3

2z 1 2i 1



A z 1 B z i C z i D z 2

H ng d n gi i

Đi u ki n: z 1

2

  Ta có:  3

2i 1 11 2i

3 3

3

2z 1

2i 1





V y ch n đáp án D

Câu 7 Tìm nghi m c a ph ng trình

 2

2 i z 2z 1

10 5i

3 i





H ng d n gi i

2 2

10 5i

3 i

2 i 10 5i 10 5i z 2 3 i z 3 i





V y ch n đáp án Ỏ

Câu 8. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n z 5i 2i 3

z 2 i

  Tính mô-đun c a s ph c z 2i

H ng d n gi i

Ta có: z 5i 2i 3 z 5i 3 2i z 2 i  z 4 12i 4 2i

Nên z 2i 4 4i   V y z 2i 4 2

V y ch n đáp án Ọ

Câu 9. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n 1 2i z 1 3i 2 i

1 i



 Tính mô-đun c a z

H ng d n gi i

Ta có: 1 2i z 1 3i 2 i z 1 7i z 2





V y ch n đáp án Ỏ

Ỏhuyên Đ S ớh c

ọủI TOỦộ Ỏừộ ọ Ỏ HỌI S ớH Ỏ ớH ộỒ TờÌộH ọ Ỏ HỌI Vủ ớH ộỒ TờÌộH ỜUỤ V ớH ộỒ TờÌộH ọ Ỏ HỌI

ớh ng pháp

1 Ta nh c l i căn b c hai c a s ph c

Đ nh nghĩa Cho s ph c w M i s ph c z th a mãn z2 w đ c g i là m t căn b c hai

c a w M i căn b c hai c a w là m t nghi m c a ph ng trình z2 w 0.

a Tr ng h p w là s th c

 Ỏăn b c hai c a 0 là 0

 Xét s th c w a 0 

Khi a 0 , ta có z2  a z a z  a 

Ph ng trình z2   a 0 z a ho c z  a

V y s th c a d ng có hai căc b c hai là a và  a

Khi a 0 , ta có z2 a z2  ai2   z ai z  ai 

Ph ng trình z2    a 0 z ai ho c z  ai

V y s th c a âm có hai căn b c hai là  ai và  ai

Ví d :   1 i2 - có hai căn b c hai là i và i

2 2 2

a a i

   a2 có hai căn b c hai là ai và ai

b Tr ng h p w a bi  a,b R,b 0  

Đ t z x yi  ,x,y R 

2xy b

  

 



Gi i h ph ng trình này ta luẫn tính đ c hai nghi m  x;y

M i nghi m (x;y) c a h ph ng trình trên cho ta m t căn b c hai z x yi  c a s ph c

w a bi. 

Kĩ thu t ỘTỎT tìm căn b c hai c a s ph c

Gi s ta c n tìm căn b c hai s ph c z a bi, a,b    

 ọ c 1: Nh p vào màn hình a bi và n phím  l u l i s ph ca bi }

 ọ c 2: Nh p vào màn hình arg Ans 

Ans

2

 ọ c 3: n phím SD n u màn hình không hi n th đ y đ Lúc này máy s

hi n th s ph c d ng   i

 ọ c 4: K t lu n căn b c hai c n tìm là      i

Ví d : Tìm căn b c hai c a s ph c z  5 12i

H ng d n th c hành

 B c 1: Nh p vào màn hình  5 12i và n

phím 

Ans

2



r i n phím  ta đ c k t qu là 2 3i

 B c 3: B qua vì màn hình đã hi n th 2 3i

 B c 4: K t lu n căn b c hai c n tìm là

2 3i

 

ớh ng trình b c hai

ợét ph ng trình Az2Bz C 0  (A,B,C là s ph c A 0 ) (1)

Ta có  B24AC

 N u   0,  có căn b c hai là  và  ph ng trình 1) có 2 nghi m phân bi t là: z1 B

2A

  

2A

  

 N u   ph ng trình0, có nghi m kép z1 z2 B

2A

Chú ý:

 Ta ch ng minh đ c v i m i ph ng trình b c hai h s th c, n u z x yi 

x,y R  và y là m t nghi m thì 0 z x yi  cễng là nghi m c a ph ng trình

đó

 Do tính ch t c a phép nhân s ph c đ nh lí Vi-et v n đúng cho ph ng trình b c hai v i n z C. ỏo đó các cách tính nh m nghi m c a ph ng trình b c hai v n áp

d ng đ c

Ch ng h n:

C

A

A

Kơ THU T GI I ớH ộỒ TờÌộH ọ C HAI H S PH C

Ỏhuyên Đ S ớh c

 ọ c 2: n CALC và khai báo các h s

Ví d : Gi i ph ng trình z22 1 2i z 7 4i      0;

Dùng MTCT

V y hai nghi m c a ph ng trình là: z 1 2i,z    3 2i

I M T S VÍ S RÈN LUY ộ Kơ ộừộỒ

Ví d 1.Tìm căn b c hai c a s ph c

1

4i



Gi i

a) G i z là căn b c hai c a 9 , ta cĩ:

z   9 z 9i  z 3i ho c z 3i

Vây - cĩ hai căn b c hai là 3i và -3i

b) G i z x yi, x,y R     là căn b c hai c a 3+4i, ta cĩ:

 

 

2

2 2



T (2)  x 0 và y 2

x

 thay vào ta đ c:

x 1 loại 4

  





   

       

V y 3 4i cĩ hai căn b c hai là 2 i và   2 i

Dùng MTCT

V y 3 4i có hai căn b c hai là 2 i và   2 i

c) G i z x yi  , x,y R  là căn b c hai c a 1 3i

ỗúc đó

 

  



 

T (2)  x 0 và y 3

2x

  thay vào ph ng trình ta đ c

2

1

2 3

2



 





2

2

V y có hai căn b c hai c a 1 3i là z 6 2 i

Dùng MTCT

V y có hai căn b c hai c a 1 3i là z 6 2 i

d) G i z x yi, x,y R     là căn b c hai c a 1

4i



Ta có:

2

2

8x 8x







Ỏhuyên Đ S ớh c

V y 1

4i

 có hai căn b c hai là z 2 2i

   

Dùng MTCT

V y 1

4i

 có hai căn b c hai là z 2 2i

   

Nh n xét: M i s ph c đ u có hai căn b c hai đ i nhau

Ví d 2 a) Tìm s ph c z th a mãn: z2 164 48 5i

b) Tìm s ph c w th a mãn: w4  164 48 5i

Gi i

a Đ t z x yi, x,y R     , ta có:

 

 

2 2

2 2

   



 





T (2)  x 0 và y 24 5

x

2

24 5



x 4  y 6 5

V i x    4 y 6 5

V y có hai s ph c z th a mãn z2 164 48 5i là

z 4 6 5i, z    4 6 5i

b) Ta có z2  164 48 5i và w4 164 48 5i

Suy ra: w4 z2 w2z w 2  z 0 w2  z

Theo k t qu trên ta có z  4 6 5iw2  4 6 5i ho c w2  4 6 5i

Đ t w x yi, x,y R     

 Tr ng h p 1: V i w2 4 6 5i ta có  2

x yi  4 6 5i

 

 

2 2

  





T (2)  x 0 và y 3 5

x

2

3 5



x

x

V y w  3 5i 

 Tr ng h p 2: V i w2   4 6 5i, ta có  2

x yi   4 6 5i

 

 

   



 

T (2)  x 0 và y 3 5

x

  thay vào ta đ c

2

3 5



x

x

V y w  5 3i  

K t lu n: Có 4 s ph c w th a mãn w4  164 48 5i là:

w  3 5i , w  5 3i  

Ví d 3 a) Tìm s ph c z th a mãn z4  1;

b) Tìm s ph c z th a mãn

4

z i

  

 

  

Gi i

a) Ta có: z4   1 z4i2   z2i z2  i 0 z2   i

Ỏhuyên Đ S ớh c

 V i z2 i, ta đ t z x yi, x,y R     ta có:

  





T (2)  x 0 và y 1

2x

 thay vào (1) ta đ c

2

4x

2x

2x

K t lu n: 4





b) Theo k t qu câu a ta có:

z i







ợét tr ng h p:

 Tr ng h p 1:

  

2 2

2 1 i

z

2 2 1





 



 Tr ng h p 2:

  

2

2

2 1 i

z





 

z

 Tr ng h p 3:

  

2

2

2 1 i

z



 

 Tr ng h p 4:

2

2

2 1 i

z



 

K t lu n:

4

  

  

z

Ví d 4 Gi i các ph ng trình b c hai sau đây

a) z24z 5 0;  b) z28z 16 2i 0;  

Ỏhuyên Đ S ớh c

c)  2

2z 1  9 0; d) z2 3z 25 0.

4

Gi i

a Ph ng trình z24z 5 0  có các h s A B C 1 4 5 0      nên ph ng trình có hai nghi m là z11,z2 5

z 8z 16 2i 0    z 4 2i

   2 2

1 i       1 i 2i 1 1 2i 2i )

2z 1   9 0 2z 1   9 2z 1  3i

1 3

2 2



 



  

     

 



d Ph ng trình z2 3z 25 0

4

 2

4

       Ph ng trình có hai nghi m là z 3 4i

2

 

MTCT

Ví d 5 Gi i các ph ng trình b c hai h s ph c sau đây

a) z27z 11 3i 0;   b) z22 1 2i z 7 4i      0;

c) z22 2 i z 6 8i 0     ; d) z2  2 i z i 1 0.  

Gi i

a Ph ng trình z27z 11 3i 0   có:  49 44 12i 5 12i   

x yi , x,y R

 

2 2

  



 

T (2)  x 0 và y 6

x

  thay vào ta đ c

  2 4 2 2

36

x 3

V i x 3    ; V i xy 2     V y 3 y 2  2

3 2i

Ph ng trình có hai nghi m là z1 7 3 2i 5 i, z2 7 2 2i 2 i

L i bình: Vi c tìm căn b c hai c a s ph c 5 12i ta dùng MTCT cho nhanh

b Ph ng trình z22 1 2i z 7 4i      có: 0

 2

' 1 2i 7 4i 1 4 4i 7 4i 4

Ph ng trình có hai nghi m là: z1     1 2i 2 1 2i, z2       1 2i 2 3 2i

c Ph ng trình z22 2 i z 6 8i 0     có:

 2

 

2 2

3 4i x yi , x,y R

2xy 4, 2

   





T (2)  x 0 và y 2

x

 thay vào ta đ c:

4

  

V i x 1   ; V i xy 2      V y 1 y 2  2

' 3 4i 1 2i

Ph ng trình có nhi m là: z1     2 i 1 2i 3 i,z2     2 i 1 2i 1 3i

d Ph ng trình z2  2 i z i 1 0   có các h s th a mãn a b c 1 2 i i 1 0.       

Suy ra ph ng trình có hai nghi m là z11,z2  1 i

Ví d 6 Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c :

4z 3 7i

z i

 

 

 b) z2  1 i z 6 3i 0  

Gi i

a) Đi u ki n z i

Ph ng trình cho t ng đ ng v i: 4z 3 7i    z i z 2i hay

2

z  4 3i z 1 7i 0 *  

Ỏhuyên Đ S ớh c

         

 *    ho c z 1 2i z 3 i 

Cách 2: G i   x yi x,y  là căn b c hai c a  khi đĩ  2

x yi  3 4i hay

2 2

x y 2xyi 3 4i  suy ra x2 y2 3      x,y 2;1 , 2;1



 

 *    ho c z 1 2i z 3 i 

b) Ta cĩ:

Ph ng trình cĩ hai nghi m là z 1 2i  và z 3i.

Ví d 7 Gi i các ph ng trình sau:

a) z z 4 z  z 12 0; b) z 3z 6 2z z 3z 6 3z  0

Gi i

a) Đặt t z 2z.Ph ng trình đã cho tr thành

2 2

2



         

V i 2



  







   



   



V i z2 z 2 0 z 1

 

      



V y nghi m c a ph ng trình là z 1 23i, z 1 23i, z 1, z 2

b) Cách 1 Ta cĩ:

   

2

2

2

2



V y nghi m c a ph ng trình là z  1 5i, z  3 3

Cách 2 Đ t t z 23z 6 Ph ng trình đã cho tr thành

 

t 2zt 3z 0 *

Ph ng trình có hai nghi m: t  z 2z, t  z 2z

   

   



   

   



Ví d 8 a) Hãy gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c    2 2 2

z i z i 5z  5 0

b) Gi i ph ng trình  z2z z 3 z 2    10, z

Gi i

a) Vi t l i ph ng trình v d ng:  2 2 2

z 1 5z  5 0

Khai tri n, rút g n, nhân t hóa   z21 z24  0

Gi i các ph ng trình thu đ c z  và zi   r i k t lu n 2

b) PTz z 2 z 1 z 3 10     z 2z z 2z 3 10 

Đ t t z 22z Khi đó ph ng trình tr thành: t2 3t 10 0

   

  

      

V y ph ng trình có các nghi m: z  1 6; z   1 i