khoảng cách trong không gian

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳn

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+

Dạng 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên

Bước 1: Xác định giao tuyến d

Bước 2: Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, DỰNG AH d ( H�d).

Bước 3: Dựng AI SH I �SH.Khoảng cách cần tìm là AI

Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy

Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) Hãy xác khoảng cách từ điểm A

đến mặt bên (SBC).

Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC)

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng AH BCtại H Dựng AISHtại I

 Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng

Thường sử dụng công thức sau:

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Câu 1 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

2

AA� a Gọi M là trung điểm của CC� (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt

phẳng A BC� 

bằngHHKG - KHO NG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Ả

Chuyên đề 4

Câu 2 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a và A A�2a Gọi M là trung điểm của A A� (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ M đếnmặt phẳng AB C�

bằng

A

5719

a

55

a

2 55

a

2 5719

a

Câu 3 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có tất cả các cạnh bằng a Gọi M

là trung điểm của AA� (tham khảo hình vẽ)

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C�

bằng

A

24

a

217

a

22

a

2114

a

Câu 4 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có tất cả các cạnh bằng a Gọi M

là trung điểm của CC� (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC� 

bằng

A

2114

a

22

a

217

a

24

a

Câu 5 (Mã 101 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a  , SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng

A

2 55

a

B

53

a

C

2 23

a

D

55

a

Câu 6 (Mã 102 2018) Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

bằng

A

63

a

B

22

a

C 2

a

D a

Câu 7 (Mã 103 - 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên).Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SACbằng

A

22

a

217

a

2114

a

2128

a

Câu 8 (Mã 101 -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên)

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng

A

2114

a

217

a

22

a

D

2128

a

Câu 9 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , � BAD60o,

SA a  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD

bằng?

A

213

a

153

a

217

a

157

a

Câu 10 (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên) Khoảng

cách từ C đến mặt phẳng ( SBD bằng)

A

21.14

a

B

2.2

a

C

21.7

a

D

21.28

a

B

33

a

C

53

a

D

32

a

Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Tính khoảng cách từ A

BCD

A

62

a

63

a

32

Câu 14 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hình chop S ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

AB a , AC a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a Khoảng cách từ điểm A đếnmặt phẳng (SBC bằng:)

A

5719

a

B

2 5719

a

C

2 319

a

D

2 3819

a

Câu 15 (Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và

chiều cao bằng a 2 Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a

A

2 53

a

32

a

52

a

23

a

Câu 16 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a , SAABCD và SA a 2 Gọi M là trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm Mđến mặt phẳng SBD

bằng

A

24

a

B

1010

a

C

22

a

D

105

a

Câu 17 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông

tại A , AB a , AC a 3; SA vuông góc với đáy, SA2a Khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng SBC

bằng

A

2 37

a

37

a

319

a

2 319

a

Câu 18 (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA a và

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

bằng:

A

22

a

37

a

217

a

155

a

Câu 19 (Thpt Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp đều S ABCD , cạnh đáy bằng a , góc giữa

mặt bên và mặt đáy là 60� Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD

a

C

32

a

D 2

a

Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp

trong đường tròn đường kính AD2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD với SA a 6 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD 

A a 2 B a 3 C

22

a

32

a

Câu 21 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại Avà B, AB BC a  , AD2 a Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung

điểm H của AD và

6.2

a

B da C

64

a

D

155

a

Câu 22 (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho tứ diện O ABC có OA OB OC, , đôi một vuông

góc với nhau OA OB OC   3. Khoảng cách từ O đến mp ABC( ) là

Câu 23 (Thpt Cẩm Giàng 2 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,

a

22

a

25

a

5 303

a

Câu 24 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và D; AB AD2 ;a DC a  Điểm I là trung điểm đoạn AD, hai mặt phẳng

a

9 1510

a

2 155

a

9 1520

a

35

a

54

a

23

a

Câu 26 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân, BA BC a 

và BAC�  � Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a30  Gọi D là điểm đối xứngvới B qua AC Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

bằng

A

2 21

.7

a

B

2.2

a

C

21.14

a

D

217

a

Câu 27 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam

giác ABClà tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD trùng với

trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng 30� Tínhkhoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD

theo a

A

217

a

2 213

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a (minh họa như hình vẽ bên dưới ) Gọi M

là trung điểm của CD , khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng( SBD) bằng

A

23

Câu 29 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình

thoi tâm O cạnh a và có góc �BAD600 Đường thẳng SO vuông góc với mặt đáy ABCD

và3

a

38

a

Câu 30 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD. có SAABCD

,6

SA a ,ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD2a Khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng SCD

bằng

A

62

a

32

a

22

a

34

a

Câu 31 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a

và SBA SCA�  � 90 0 Biết góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 450 Tính khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (SAC)

Câu 32 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC)

; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60� Gọi

M là trung điểm cạnh AB Khoảng cách từ B đến (SMC)

bằng

A

3913

là trung điểm của

đoạn OA Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 30� Khoảng cách từ C đến mặt phẳng

a

2211

a

3 2244

a

Câu 34 (Sở Ninh Bình) Cho hình chóp S ABC có SA a  , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt

phẳng SAC

bằng

A

427

a

4214

a

4212

a

426

a

Câu 35 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45� Gọi M là trung điểm của SD , hãy tính theo

a

d 

B

1315.89

a

d 

D

1513.89

a

d 

Câu 36 (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B , AD2AB2BC2a , SA vuông góc với đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng

a

3 3010

a

3 3040

a

Câu 37 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông ����

cạnh a , tâm O Hình chiếu vuông góc của A� lên mặt phẳng ABCD

trùng với O Biết tam

giác AA C vuông cân tại � A� Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A��

A

66

a

h

26

a

h

23

a

h

63

AD AB a Cạnh bên SA2a và vuông góc với đáy Gọi M N lần lượt là trung điểm của,

SB và SD Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng AMN

A d2a. B

32

a

d 

63

a

d 

D d a 5.

Câu 39 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A

, biết SAABC và AB2a, AC 3a,SA4a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

SBC

bằng

A

211

a

d 

6 2929

a

d 

12 6161

a

d 

D

4312

a

32

a

8 73

a

6 77

a

3 72

a

53

a

57

a

55

a

Dạng 2 Khoảng cách của đường thẳng với đường thẳng

Ta có các trường hợp sau đây:

a) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và ab

- Ta dựng mặt phẳng ( ) chứa a và vuông góc với b tại B

- Trong ( ) dựng BAa tại A , ta được độ dài đoạn AB là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Cách 1:

- Ta dựng mặt phẳng ( ) chứ a và song song với b.

- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM' ( )  tại M '

- Từ M dựng ' b'/ /b cắt a tại A

- Từ A dựng AB/ /MM' cắt b tại B , độ dài đoạn AB là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Cách 2:

- Ta dựng mặt phẳng ( )  tại a O, ( ) cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vuông góc của b là b' trên ( ) .

- Trong mặt phẳng ( ) , vẽ OH b', H b� '.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A

- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho lập phương ABCD A B C D. ���� có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ

bên ).Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C�� bằng

A

32

A

23

a

63

a

33

M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng

A

34

a

32

a

3 1313

a

6 1313

a

Câu 4 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A

AB a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 Gọi M là trung điểm của BC (tham

khảo hình bên) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng

A

22

a

3913

a

Câu 5 (Mã 101 - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là ình chữ nhật, AB a BC , 2 ,a SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA a  Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng.

A

62

a

B

23

Câu 6 (Mã 103 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, và

và AC bằng

A

2 55

a

B

22

a

C

23

a

D

23

a

Câu 7 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy ABC là tam giác vuông

tại A với AC a 3 Biết BC� hợp với mặt phẳng AA C C��

một góc 30o và hợp với mặt

phẳng đáy góc  sao cho

6sin

4

 

Gọi M N, lần lượt là trung điểm cạnh BB� và A C��.

Khoảng cách giữa MN và AC� là:

A

64

a

B

36

a

C

54

a

D 3

a

Câu 8 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABC , có SA SB SC  , đáy là tam giác

đều cạnh a Biết thể tích khối chóp S ABC bằng

3

a Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

và BC bằng:

A

47

a

B

3 1313

a

C

67

a

D

34

a

Câu 9 (Mã 102 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , BC 2a , SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng

A

4 2121

a

B

2 2121

a

C

3012

a

D

306

a

2 55

a

D

22

a

Câu 11 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy ABCD

là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2 Tính khoảng cách giữa SD và BC

A

32

a

23

a

34

a

Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,

AC a  Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC , biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng

60�

A

90629

a

B

60929

a

C

60919

a

D

60029

A

4 21045

d=

2105

d=

4 21015

d=

2 21015

127

2

13

2

123

Câu 16 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh 2a 3, mặt bên SAB là tam giác cân với �ASB120� và nằm trong mặt phẳng vuônggóc với đáy Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC Tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng AM , BN

A

2 32779

a

23779

a

2 23779

a

5 237316

Câu 18 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC AD, , vuông góc

với nhau đôi một và AD2AC3ABa. Gọi  là đường thẳng chứa trong mặt (BCD sao)

cho khoảng cách từ điểm A đến  là nhỏ nhất và khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng 

và AD là d. Khẳng định nào sau đây là đúng?.

A

14.14

Câu 19 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,

AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA2a, M là trung điểm của BC Khoảng cáchgiữa AC và SM là

A 2

a

22

a

2 1717

a

23

a

Câu 20 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

AB = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Gọi = M là trung điểm của BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng

A

33

a

22

a

Câu 21 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

AB a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng

A

105

a

22

a

Câu 22 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật AB a AD , 2a , SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Gọi M là trung điểm của AD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD

A

63

a

22

a

2 55

a

66

a

Câu 23 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại A, mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng đáy Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

A

34

a

24

a

54

a

33

Câu 25 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA a và SA vuông góc với mặt đáy M là trung điểm SD Tính khoảng cách giữa SB và CM

A

36

a

23

a

32

a

33

a

Câu 26 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

2

SA a và vuông góc với ABCD

Gọi M là trung điểm của SD Tính khoảng cách d giữa hai

a

d 

23

Câu 27 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A B C. ��� có đáy là một

tam giác vuông cân tại B , AB AA �2 ,a M là trung điểm BC(minh họa như hình dưới)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C� bằng

A 2

a

23

a

77

a

Câu 28 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M

là trung điểm của cạnh AD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM

A

3311

a

Câu 29 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ’ ’ ’ có tất cả các

cạnh có độ dài bằng 2 (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và A’B

Câu 30 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy là tam giác vuông và

AB BC a  , AA�a 2, M là trung điểm của BC Tính khoảng cách d của hai đường thẳng

AM và B C�

A

66

a

22

a

77

a

33

a

Câu 31 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho lăng trụ đứng ABCA B C/ / / có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là

trung điểm của AA Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và / B C/ .

Câu 32 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD

là trung điểm của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng

a

510

a

55

2

5

2.3

Câu 34 (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ��� có đáy là tam giác vuông cân tại B,

biết AB BC a  , AA�a 2, M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng AM và B C�

A

77

a

2 55

a

62

a

155

a

Câu 35 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a ,

cạnh SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằngo

A

2 155

a

3 145

a

2 105

a

4 55

a

Câu 36 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng SBC

và mặt phẳng đáy là 60� (minh họa như hìnhdưới đây) Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,, AB AC

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MN bằng

A

38

a

62

a

34

a

Câu 37 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho tứ diện ABCD có

ABC ADCACD BC a CD a , góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCD

bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

A

631

a

2 631

a

2 331

a

331

a

Câu 38 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với

nhau và OA OB a  , OC2a Gọi M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường

thẳng OM và AC bằng

A

23

a

2 55

a

22

a

23

a

Câu 39 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SG và BC bằng

A

27

a

63

a

2 69

a

47

giữa hai đường thẳng AB và SD

22

2 D 4 11 Câu 41 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ��� có cạnh bên bằng a 2,

đáy ABC là tam giác vuông tại B BC a,  3,AB a Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh A� lênmặt đáy là điểm M thoả mãn 3AMuuuur uuur AC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA� và BC bằng

A

21015

a

21045

a

71417

a

71451

a

Câu 42 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

2

a Biết rằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

9 28

a

4 1717

a

4 3417

a

2 3417

a

3 10109

a

3 8517

a

Dạng 3 Khoảng cách của đường với mặt, mặt với mặt

Ở dạng toán này chúng ta đều quy về dạng toán 1

Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song với nhau Khi đó khoảng cách từ một điểm bất

kì trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng   .

   

 ,   ,    ,  

Câu 1 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình thang vuông tại A và D, AB3 ,a AD DC a  Gọi I là trung điểm của AD, biết haimặt phảng SBI

và SCI

cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC

tạo với đáy một góc

a

619

a

315

a

1520

a

Câu 2 (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A

và D , SD vuông góc với mặt đáy ABCD

đường thẳng CD và mặt phẳng SAB

A

a

2a

a 3.2

Câu 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và

a

d

B d a C

23

a

Câu 5 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ���� cạnh

a Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng

B d 2a 5. C

55

a

d 

3 55

a

d 

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+

Dạng 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên

Bước 1: Xác định giao tuyến d

Bước 2: Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, DỰNG AH d( H�d).

Bước 3: Dựng AISH I �SH .Khoảng cách cần tìm là AI

Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy

Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) Hãy xác khoảng cách từ điểm A

đến mặt bên (SBC).

Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC)

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng AH BCtại H Dựng AI SHtại I

 Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng

Thường sử dụng công thức sau:

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

2

AA� a Gọi M là trung điểm của CC� (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt

phẳng A BC� 

bằngKHO NG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Ả

Chuyên đề 4

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu của A lên BC và A H�

a và A A�2a Gọi M là trung điểm của A A� (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ M đếnmặt phẳng AB C�

bằng

A

5719

a

55

a

2 55

a

2 5719

a

Lời giải

là trung điểm của AA� (tham khảo hình vẽ).

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C�

bằng

A

24

a

217

a

22

a

2114

a

Lời giải Chọn D

là trung điểm của CC� (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC� 

bằng

A

2114

a

22

a

217

a

24

Suy ra

3

2

33

,

77

với mặt phẳng đáy và SA2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng

A

2 55

a

B

53

a

C

2 23

a

D

55

a

Lời giải Chọn A

với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

bằng

A

63

a

B

22

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên).Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC

bằng

A

22

a

217

a

2114

a

2128

a

Lời giải Chọn B

* Gọi O AC �BD và G là trọng tâm tam giác ABD, I là trung điểm của AB ta có

* Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có IK  AC IH; SAC

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên).Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng

A

2114

a

217

a

22

a

D

2128

a

Lời giải

Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, SH ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra ACBD Kẻ HK  BD tại K(K là trung điểm

BO).

Kẻ HI SH tại I Khi đó: d A SBD ,   2d H SBD ,   2HI

Xét tam giác SHK,có:

3,2

SA a  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD

bằng?

A

213

a

153

a

217

a

157

a

Lời giải Chọn C

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên) Khoảng

cách từ C đến mặt phẳng ( SBD bằng)

A

21.14

a

B

2.2

a

C

21.7

a

D

21.28

a

Lời giải Chọn C

Gọi Hlà trung điểm của AB�SH  AB�SH (ABCD).

Từ H kẻ HM BD, M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông

Vậy: ( ;(d C SBD))

21.7

a

B

33

a

C

53

a

D

32

a

Lời giải Chọn D

a

63

a

32

a

Lời giải:

Chọn B

Gọi , ,E F G lần lượt là trung điểm của , BD CD và trọng tâm tam giác BCD

Tam giác BCD đều nên suy ra

Câu 13 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp SABC có D SAABCD, đáy ABC là hình chữD

Lời giải Chọn C

Gọi H là hình chiếu của A lên DS ta chứng minh được AH SCD

AB a , AC a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a Khoảng cách từ điểm A đếnmặt phẳng (SBC bằng:)

A

5719

a

B

2 5719

a

C

2 319

a

D

2 3819

a

Lời giải Chọn B

AK 

hay

2 57( ,( ))

19

a

d A SBC 

chiều cao bằng a 2 Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a

A

2 53

a

32

a

52

a

23

D S

B

C

S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông và SOABCD.

Vẽ OH vuông góc với CD tại H thì Hlà trung điểm CD, 2

a

Dễ thấy CDSOH � SCD  SOH

nên kẻ OK vuông góc với SH tại K thì

4

a a

Câu 16 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a , SAABCD và SA a 2 Gọi M là trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm Mđến mặt phẳng SBD

bằng

A

24

a

B

1010

a

C

22

a

D

105

Gọi H là hình chiếu của A lên mp SBD  �d A SBD ;   AH

Lại có AS AB AD, , đôi một vuông góc nên

 2

22

tại A , AB a , AC a 3; SA vuông góc với đáy, SA2a Khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng SBC

bằng

A

2 37

a

37

a

319

a

2 319

a

Lời giải

Vì ABC vuông tại A nên BC AB2 AC2 2a.

Mặt khác có AH là đường cao nên

SH

Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau và H là hình chiếu của , , O lên mặt phẳng ABC

OH OA OB OC

.

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

bằng:

A

22

a

37

a

217

a

155

a a

mặt bên và mặt đáy là 60� Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD

a

C

32

a

D 2

a

Lời giải Chọn C

chiếu vuông góc của O lên SCD.

* Gọi I là trung điểm của CD ta có:

trong đường tròn đường kính AD2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD với SA a 6 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD 

22

a

32

a

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết suy ra: 2

AD

, AC a 3.

Gọi EAB CD� , suy ra tam giác ADE đều

Khi đó C là trung điểm của ED và ACED.

vuông tại Avà B, AB BC a  , AD2 a Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung

điểm H của AD và

6.2

a

B d a C

64

a

D

155

a

Lời giải Chọn C

Gọi M là trung điểm của CD , K là hình chiếu của H lên SM

Tam giác HCD vuông tại H có CD a 2 và

22

a

góc với nhau OA OB OC   3. Khoảng cách từ O đến mp ABC( ) là

Lời giải Chọn B

Gọi 'A là chân đường cao kẻ từ A lên BC,C là chân đường cao kẻ từ C lên ' AB

Gọi H là giao của AA’ với CC’ suy ra H là trực tâm của tam giác ABC Ta dễ dàng chứng.

minh được OH (ABC).

25

a

5 303

a

Lời giải

Cách 1: Sử dụng kiến thức ở lớp 11.

ABCD là hình thoi cạnh a , � ABC  �60 �ABC, ACD là các tam giác đều cạnh a

Xét SAC vuông tại A có: SA SC2AC2  4a2a2 a 3.

Cách 2: Tính khoảng cách thông qua tính thể tích.

ABCD là hình thoi cạnh a , � ABC  �60 �ABC, ACD là các tam giác đều cạnh a

Xét SAC vuông tại A có: SA SC2AC2  4a2a2 a 3.

4

a



Xét SAC và SAD có: AD AC a  , SA chung, � SAC SAD�  �90 .

Do đó SAC  SAD �SC SD �SCD cân tại S

Gọi H là trung điểm CD �SH CD.

Xét SHC vuông ở H: SH  SC2CH2

2 2

44

a a

a a



155

vuông tại A và D; AB AD2 ;a DC a  Điểm I là trung điểm đoạn AD, hai mặt phẳng

a

9 1510

a

2 155

a

9 1520

a

Lời giải Chọn A

Theo đề ta có SI ABCD

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên BC

Suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng  �SBC , ABCD  SKI�  �60

Gọi E là trung điểm của AB, M IK�DE.

35

a

54

a

23

IH là đường trung bình của tam giác SBC nên IH SB// �IH//SAB

và �BAC  � Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a30  Gọi D là điểm đối xứngvới B qua AC Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng

A

2 21

.7

a

B

2.2

a

C

21.14

a

D

217

a

Lời giải

Chọn D

Tam giác ABC cân tại B có �BAC � và 30 D đối xứng với B qua AC nên tứ giác ABCD là

hình thoi có �ADC �ABC120�

Trong mặt phẳng ABC

, kẻ AH vuông góc với đường thẳng CD tại H Khi đó CDAH và

CDSA nên CDSAH Do đó SCD  SAH.

giác ABClà tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD trùng vớitrọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng 30� Tínhkhoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD theo a

A

217

a

2 213

a

Lời giải