Skkn vận dụng tỉ số khoảng cách để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh khi học lớp 12 hoàn thành tốt đề thi tốt nghiệp thpt

Phần hình học không gian là phần học khó với học sinh, ngoài việc tổng quan được hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lôgic, các phương pháp luận để hì

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Phần hình học không gian là phần học khó với học sinh, ngoài việc tổng quan được hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lôgic, các phương pháp luận để hình thành nên cách giải của mỗi bài toán

Trong quá trình dạy học môn toán tôi thấy điều quan trọng là dạy cho học sinh phương pháp tư duy khoa học và logic, học sinh phải có nền tảng kiến thức bộ môn vững vàng và biết vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết vấn đề trong học tập

và trong thực tế cuộc sống

Bài “Khoảng cách” trong môn hình học lớp 11 là một chuyên đề khó đối với học sinh và thường hay gặp trong kỳ thi quốc gia, kỳ thi tốt nghiệp THPT Để học tốt bài này các em cần có kiến thức vững chắc phần quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian và nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, các tính chất của các hình cơ bản

Trước yêu cầu ngặt về thời gian của đề trắc nghiệm, yêu cầu cần được tiếp thu của học sinh, qua thời gian giảng dạy và tìm hiểu tôi đã lựa chọn đề tài này để hoàn thiện hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT

quốc gia Trong khuôn khổ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tôi chọn đề tài: “Vận dụng tỉ số khoảng cách để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh khi học lớp 12 hoàn thành tốt đề thi tốt nghiệp THPT” Trong quá trình dạy học bài khoảng cách, tôi đã áp dụng giải pháp, sau khi

áp dụng tôi thấy đây là một giải pháp hay, hiệu quả trong dạy học bài “Khoảng cách” trong môn hình học 11 Học sinh hứng thú khi tiếp nhận và vận dụng thành thạo vào giải bài tập , từ đó kết quả học tập của học sinh ngày càng được nâng cao Phát triển tư duy logíc trong suốt quá trình học tập, học sinh thấy được tính đa dạng trong việc tư duy giải toán

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Như đã nói ở trên, mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm hoàn thiện hơn kinh nghiệm của bản thân, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia

Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mối quan hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh không để ý tới, từ đó giúp học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài toán ở môn khác, ở thực tiễn đời sống sau này

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực trạng của việc dạy và học tính khoảng cách giúp giáo viên xây dựng và truyền đạt cho học sinh sơ đồ tư duy từ kiến thức

cơ bản đến bài toán thường gặp và từ đó học sinh dễ dàng nắm chắc kiến thức sâu hơn, vận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài:

- Học sinh lớp 11A3, 11A7, Trường THPT Hậu Lộc 1, học chương trình Nâng cao.

- Mục tiêu đạt được của chuyên đề tính khoảng cách được giới thiệu trong sách giáo khoa Hình học lớp 11

- Các bài tập, công thức được giới thiệu trong chương trình THPT

1.4 Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:

+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu

+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết: Vì chưa có một đề tài nghiên cứu hoàn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tôi đã tìm hiểu qua nội dung của các bài toán, tham khảo ở một số ý tưởng của một số tác giả và bằng sự hiểu biết của bản thân để hình thành nên phương pháp luận, xây dựng thành cơ sở lý thuyết để học sinh học tập

- Thực hiện dạy tại lớp 11A3,11A7, đối chứng với các phương pháp thường gặp khác - Thống kê phân tích, tổng hợp kết quả đạt được sau khi áp dụng

1.5 Những điểm mới của đề tài:

- Hình thành sơ đồ tư duy từ kiến thức cơ bản đến bài toán thường gặp và từ đó vận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập

PHẦN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

- Học sinh nắm chắc kiến thức phần quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian

- Học sinh nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, các tính chất của các hình

cơ bản

Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi chỉ trình bày những kiến thức liên quan đến đối tượng nghiên cứu của đề tài

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Khi tính khoảng cách học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và vận dụng các hệ thức lượng giác để tính, học sinh thường áp dụng ở dạng thuần túy Do đó khi gặp một số bài phức tạp cần hướng dẫn cho học sinh vận dụng một cách linh hoạt, đưa về áp dụng các bài toán thường gặp thì mới có hiệu quả

- Tư duy của học sinh còn nhiều hạn chế, các em chưa hiểu rõ mối liên hệ giữa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, cần phát triển tư duy logic trong vận dụng tỉ số khoảng cách để đưa về bài toán thường gặp

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

2.3.1.1 Kiến thức cơ bản

A

Phương pháp chung: Để tính được khoảng từ điểm đến mặt phẳng thì

điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm trên

- Trường hợp 1: Khoảng cách từ điểm thuộc mặt đáy đến mặt phẳng bên

có chứa đường cao của hình chóp (lăng trụ…)

Phương pháp:

Bước 1: Ta có theo giao tuyến

Bước 2: Từ dựng vuông góc với giao tuyến tại

Khi đó

- Trường hợp 2: Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến mặt

phẳng bên

Phương pháp:

Bước 1: Ta có mặt bên cắt mặt đáy theo giao tuyến .

Bước 2: Từ A dựng AD vuông góc với giao tuyến BC tại D.

Bước 3: Nối SD, dựng AH vuông góc SD tại H Khi đó

- Trường hợp 3: Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng bên  P

A S

C

B D H

P

A

O

H

M

K

d P

M

O K

A

H

Trong quá trình chữa bài tập về tính khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) mà tính bằng cách thuần túy gặp khó khăn, tôi thường vận dụng tỉ số

khoảng cách để quy khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng bên về khoảng cách từ

điểm A là hình chiếu của đỉnh S đến mặt phẳng bên, hoặc khoảng cách từ điểm A

thuộc mặt đáy đến mặt bên (trực tiếp hoặc gián tiếp )

Hướng dẫn cho học sinh phát hiện điểm A có đặc điểm như vậy, từ đó xác định giao điểm O của đường thẳng AM với mặt phẳng  P

2.3.1.2 Các bài toán thường gặp

Bài 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh ,

và Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Phân tích hướng dẫn giải

- Dạng toán: Đây là dạng toán tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của

đỉnh S đến một mặt bên của hình chóp.

- Hướng giải:

B1: Xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng SBClà điểm H.

B2: Khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Dựng tại , khi đó là trung điểm của

Vậy

Bài 2: (Đề thi thử THPTGQ năm học 2019 2020, Chuyên Đại học Vinh -Nghệ An) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , là trung điểm Hình chiếu vuông góc của lên là trung điềm của Mặt phẳng tạo với một góc Tính khoảng cách từ đến

Lời giải Chọn A

J a S

K I

H C

B

A

Gọi là trung điểm của Khi đó:

 là đường trung bình của

A S

C

B D H

Vậy

Bài 3: (Đề thi thử THPTGQ lần 3 năm học 2019 - 2020, trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc) Cho hình hộp có đáy là hình vuông cạnh , tâm Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với Biết tam giác vuông cân tại Tính khoảng cách từ điểm đến

Phân tích, hướng dẫn giải

1 Dạng toán: Đây là dạng toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Phương pháp:

Cách tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

+) Dựng mặt phẳng chứa và

+) Tìm giao tuyến của và Giả sử

2 Kiến thức cần nhớ:

3 Hướng giải:

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

 Trong mặt phẳng dựng

Do đó

Bài 4: [Chuyên Sơn La năm 2020] Cho hình chóp , có đáy là tam giác vuông tại , Tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ đến

Lời giải Chọn C

Trong tam giác , gọi là trung điểm

Có

2.3.1.3 Bài tập vận dụng và phát triển

Bài 1: (Đề thi thử THPTGQ lần 1, trường THPT Thanh Chương 1 - Nghệ An)

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , Biết

, và Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Lời giải Chọn C

 Gọi là khoảng cách từ đến mặt phẳng Khi đó

 Tam giác có

 Tam giác vuông tại , đường cao có

Bài 2: (Sở Hưng Yên năm 2020) Cho hình chóp có và

, đáy là hình vuông Gọi lần lượt là trung điểm của

và góc giữa với bằng Khoảng cách từ đến mặt phẳng

bằng

Lời giải Chọn A

H

I

N M

C

A

B

D S

Ta có:

vuông cân tại

Ta lại có:

Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Bài 3: (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh Tam giác là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác Góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Lời giải Chọn A

Gọi là trọng tâm , suy ra là hình chiếu của trên mp

Kẻ đường trung tuyến cắt tại, suy ra

Từ kẻ (2)

Từ (1) và (2) suy ra suy ra là hình chiếu của trên

Ta có cắt mặt phẳng tại nên ta có

Bài 4: (Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt phẳng Góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng bằng Gọi là trung điểm của cạnh Khoảng cách

từ đến mặt phẳng bằng

Lời giải Chọn B

 Do là trung điểm của , tam giác đều nên ,

 Trong tam giác vuông , ta có

Bài 5: (Chuyên Hưng Yên-lần 3) Cho hình chóp có đáy là tam giác

Gọi là điểm đối xứng với qua Khoảng cách từ đến bằng

Lời giải Chọn A

Gọi là trung điểm của Theo bài ra

O A

B S

C D

K H

là điểm đối xứng với qua , khi đó là hình thoi tâm

Do:

Tam giác vuông tại , đường cao , có

Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,

điểm của cạnh Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến mặt phẳng

Lời giải Chọn A

Gọi E là trung điểm của AD ta có Có

Gọi là trung điểm của DE ta có và là trung điểm của

2.3.2 Vận dụng tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

2.3.2.1 Kiến thức cơ bản.

* Định nghĩa: Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

* Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau vận dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Cách 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa

một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại

- Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

2.3.2.2 Bài tập mẫu

đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Phân tích hướng dẫn giải

Xác định mặt phẳng chứa và song song Từ đó suy ra

Lời giải Chọn C

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

2.3.2.3 Bài tập tương tự phát triển:

Bài 1: [CHUYÊN BẾN TRE 2020] Cho hình chóp tứ giác có đáy hình vuông cạnh , và vuông góc với Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Lời giải Chọn C

Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của trên

Vì là đường cao của tam giác vuông nên

Bài 2: (SỞ GIA LAI – 2021) Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , Gọi là trung điểm của và

là điểm thuộc cạnh sao cho Biết hai mặt phẳng và

cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng tạo với đáy một góc Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Lời giải Chọn B

+) Vì Suy ra

+) Gọi là hình chiếu của lên ta có

Trong tam giác vuông , ta có:

2.4 Bài tập trắc nghiệm

Bài 1 : Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và CM

Bài 2: (Sở Phú Thọ - 2021) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm , cạnh Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

là trung điểm của đoạn Góc giữa và mặt phẳng bằng Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Bài 3: (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho tứ diện có

, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Bài 4: (Sở Ninh Bình) Cho hình chóp có , tam giác đều, tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Bài 5: (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông và , , là trung điểm của Tính khoảng cách của hai đường thẳng và

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Kết quả thu được sau khi thực hiện dạy tại lớp 11A3, 11A7: đa số học sinh ở mức giỏi và khá

- Học sinh nắm vững kiến thức nhanh hơn và có nhiều học sinh nắm vững phương pháp ngay tại lớp Học sinh có thể vận dụng thành thạo và dễ dàng ghi nhớ phương pháp giải vào các bài toán cụ thể Tạo hứng thú học tập cho học sinh , kích thích được tính tư duy sáng tạo của các em Ứng dụng phương pháp này đặc biệt hiệu quả đối với các bài toán tính khoảng cách

- Tỉ lệ phân loại bài kiểm tra sau khi dạy xong phương pháp bằng cách dạy trên

Lớp Sĩsố Giỏi Khá TBình Yếu Kém

11A7 49 20 41 18 37 11 22 0 0 0 0

PHẦN 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận:

Việc vận dụng giải pháp “Vận dụng tỉ số khoảng cách để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh khi học lớp 12 hoàn thành tốt đề thi tốt nghiệp THPT” giải quyết được khó khăn trong bài toán

tính khoảng cách, tạo hứng thú và làm tăng hiệu quả học tập của học sinh Phát triển tư duy toán học, giúp học sinh hình thành phương pháp tư duy đa dạng và chặt chẽ

Trên đây là một giải pháp trong phần tính khoảng cách ở chương trình hình học lớp

11, phần này còn phải sử dụng kiến thức liên môn để giải quyết Trong quá trình giảng dạy, cần luôn sử dụng linh hoạt kiến thức khác để giải quyết vấn đề triệt để

và hiệu quả nhất

3.2 Kiến nghị:

Đối với giáo viên: cần phân biệt rõ giữa các phương pháp, kĩ thuật dạy học để tránh nhầm lẫn Đồng thời không ngừng tìm tòi tài liệu và học hỏi đồng nghiệp về phương pháp để hoàn thiện mình Đặc biệt là các giáo viên trẻ

Khi vận dụng mỗi phương pháp cần phải xem tính phù hợp của nó với: nội dung kiến thức bài học, đối tượng học sinh, cơ sở vật chất Kinh nghiệm cho thấy nếu chỉ vận dụng đơn thuần một phương pháp thì hiệu quả khó có thể viên mãn Chúng ta nên kết hợp giữa các phương pháp một cách linh hoạt cùng với vận dụng kiến thức liên môn và sử dụng tốt đồ dùng dạy học sẽ là chìa khóa của một tiết dạy tốt góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy Trong một thời gian không dài, áp dụng trong đơn vị kiến thức không lớn trong chương trình Toán THPT chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để việc nghiên cứu, triển khai các đề tài sau mang lại hiệu quả cao hơn Xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022.

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị CAM KẾT KHÔNG COPY

Trần Thị Hiếu