SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TOÁN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC... Một số bài tập
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TOÁN
VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN
LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 3
-*** -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TOÁN
VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN
Trang 3MỤC LỤC
Trang
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 0
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 0
II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI 0
III GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI 0
PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 0
I CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI 0
1 Cơ sở lý luận 0
2 Cơ sở thực tiễn 0
II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI 0
III NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI 0
A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 0
B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG 0
1 Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 0
2 Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 0
3 Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 0
4 Một số bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 0
5 Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 0
6 Một số bài tập đề nghị 0
IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG 0
PHẦN III KẾT LUẬN 0
1 Quá trình thực hiện đề tài 0
2 Ý nghĩa của đề tài 0
3 Khả năng ứng dụng, triển khai 0
4 Hướng phát triển 0
5 Kiến nghị 0
TÀI LIỆU THAM KHẢO 0
Trang 4PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán học THPT thì bài toán khoảnh cách là một trongnhững dạng toán tương đối khó với mọi đối tượng học sinh Đặc biệt trong các kỳthi học sinh giỏi và kỳ thi tốt nghiệp THPT trong các năm gần đây thì các bài tậpvề khoảng cách luôn xuất hiện nhiều và khiến đại bộ phận học sinh cảm thấy bế tắctrong quá trình định hướng đi tìm lời giải đối với lớp bài toán này
Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, bài toán tính khoảngcách được trình bày rất là ít và hạn chế Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa,giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm Hơnnữa, do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít (3 tiết) nên trong quátrình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng
để hình thành kỹ năng giải cho học sinh
Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thìvới giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càngmất nhiều thời gian và công sức hơn Chính những khó khăn đó đã cản trở đếnquá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ cho hoc sinh trong hoạt độnggiảng dạy
Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT Quỳ Hợp 3 tôi nhận thấy nhiềuhọc sinh chưa có phương pháp giải quyết lớp bài toán này, hoặc còn lúng túngnhầm lẫn trong quá trình làm bài Vì vậy nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách cótính hệ thống thì sẽ giúp học sinh có nền tảng kiến thức vững hơn,tự tin hơn khigiải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tínhtích cực, sáng tạo cho các em
Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài: ”Định hướng tư duy, phân tích bài
toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian” nhằm cải thiện chất lượng dạy học tại trường THPT nói chung
và chất lượng dạy học tại trường THPT Quỳ Hợp 3 nói riêng
II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI.
1 Mục tiêu chung
- Rèn luyện cho học sinh cách tư duy, cách phân tích và kĩ năng giải toán vàtạo ra các bài toán mới
Trang 5- Rèn luyện cho các em đức tính cần cù, chịu khó tìm tòi, sáng tạo và đồngthời hình thành cho các em một thói quen tự học, tự nghiên cứu
- Hình thành cho các em một thói quen biết khai thác các vấn đề đơn giảncủa Toán học
2 Mục tiêu cụ thể
Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua đó
để phát huy tính tích cực, định hướng tư duy, cách phân tích bài toán, rèn kỹ năngtính khỏng cách cho học sinh
III GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
1 Về đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong giảng dạy, trao đổi với đồngnghiệp, tìm hiểu tài liệu, các đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, tốt nghiệpTHPTtrong các năm qua.Thực hành thông qua các tiết dạy trên lớp, dạy ôn học sinh giỏi,
ôn thi tốt nghiệpTHPT môn Toán của nhà trường
2 Về không gian
Đang áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 11 và lớp 12 của trường THPTQuỳ Hợp 3
Trang 6PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI
1 Cơ sở lý luận
Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rènluyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế Vì vậyviệc dạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúphọc sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vàocuộc sống Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến thứctoán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy cònphải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra tronghọc tập và sau này
Với phương pháp dạy học hiện đại như hiện nay ngoài việc giúp học sinhlĩnh hội kiến thức, hình thành và phát triển kỹ năng cơ bản cần thiết cho học sinh,thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng suy luận logic, biết tổnghợp, khái quát hóa các kiến thức đã học một cách hệ thống để học sinh có khảnăng vận dụng các kiến thức đã học để tự giải quyết vấn đề một cách năng độngsáng tạo
2 Cơ sở thực tiễn
Bài toán tính khoảng cách trong môn hình học không gian là bài toán khóđối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng Dạng toán liênquan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi họcsinh giỏi, đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm
Việc giải quyết một bài toán tính khoảng cách không hề đơn giản, yêu cầungười giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linhhoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều
Mặt khác, sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cậpnhật tri thức Trong những năm gần đây, ngành giáo dục đã liên tục có những thayđổi nhằm để phù hợp với xu thế của thời đại, điều đó được thể hiện trong các nămhọc thông qua hình thức thi trắc nghiệm và liên môn Đối với hình thức thi này,người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên tục rènluyện thì mới đạt được những kết quả cao
Trang 7II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Hình học không gian là sự nối tiếp của hình học phẳng, khoảng cách trongkhông gian cũng nằm trong cái chung đó Do vậy, trước khi học khoảng cáchtrong không gian học sinh phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nótrong hình học phẳng.Ngoài ra còn phải nắm vững các kiến thức về quan hệ songsong,quan hệ vuông góc và mối quan hệ giữa chúng trong không gian Một vấnđề hết sức quan trọng trong việc giải bài tập khoảng cách là học sinh phải biết vẽcác hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng, hìnhchiếu của một điểm lên một mặt phẳng…Đây là vấn đề gây ra nhiều khó khăncho hoc sinh
Khoảng cách trong không gian và trong hình học phẳng có mối liên hệkhăng khít nhau Ví dụ như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng song song vẫn được giữ nguyên khi chuyểnsang hình học không gian Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng trongkhông gian như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữađường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng songsong, hai đường thẳng chéo nhau làm học sinh rất khó hình dung,hầu hết các emcảm thấy mơ hồ không xác định được hướng làm cho bài toán,dẫn đến tâm lý chánnán khi làm bài tập về vấn đề này
Tiến hành cho các em làm bài kiểm tra 45 phút cho 2 lớp thì kết quả thuđược là:
Lớp Điểm < 3.5 3.5 Điểm < 5.0 5,0 Điểm
Đối với giáo viên, nếu dạy Khoảng cách mà đơn thuần chỉ truyền thụ chohọc sinh kiến thức trong sách giáo khoa thì sẽ gây ra nhiều khó khăn cho việc tiếpthu của các em không mang lại hiệu quả cần đạt được trong giáo dục Tuy nhiênnếu ta biết sắp xếp, xâu chuỗi các kiến thức để phát huy tính tích cực của học sinh,tạo được hứng thú cho học sinh khi giải quyết các bài toán về khoảng cách thì tìnhtrạng trên sẽ được khắc phục một cách đáng kể
Vì vậy đề tài này chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc định hướng tưduy, cách phân tích bài toán và rèn kỹ nắng tính khoảng cách cho học sinh tạo cơhội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình
Trang 8III NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI
A CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a
d (M, ) = MH,, trong đó H là hình chiếu của M trên
2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ()
d(O,( )) OH , trong đó H là hình chiếu của O trên ()
Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()
- Tìm giao tuyến của (P) và ()
- Kẻ OH (H ) Khi đó d(O,( )) OH
Kết quả 2 Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N
(M, N không trùng với I) thì
d(M;( )) MI d(N;( )) NI
+ nếu I là trung điểm của MN thì d(M;( )) d(N;( ))
Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại
O (OA OB, OB OC, OC OA) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC)
OH OA OB OC
Trang 9 với ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u '
Chú ý: Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp sử
dụng tọa độ Đê -các trong không gian Oxyz, ta thường thực hiện các bước sau:
Bước 1: Từ giả thiết cả bài toán, lập hệ tọa độ thích hợp rồi từ đó suy ra tọa
độ các điểm cần thiết
Bước 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian bằngcách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị, quỹ tích…
Cách 6 Sử dụng phương pháp vectơ
Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học
đã cho ra ngôn ngữ “véc tơ”
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến
đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
+ d (, ()) = d (M, ()), trong đó M là điểm bất kì nằm trên
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng () được quy vềviệc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ d ( (),( ) ) = d (M,( ) ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ()
+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc
Trang 10tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Đường thẳng cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuônggóc chung của a, b
+ Nếu cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữamột trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song songvới nó
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa haimặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó
1 Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA =
3a Diện tích tam giác ABC bằng 2a 2 ,BC = a Tính khoảng cách từ S đến BC.
Nhận xét: Đây là bài toán tính khoảng cách cơ bản nên học sinh có khả
năng giải quyết được.
Trang 11Hướng dẫn
giải: Kẻ AH vuông góc
với BC:
Khoảng cách từ S đến BC chính là SH
Dựa vào tam giác vuông ASAH ta có
Bài 2: Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, sc vuông góc với nhau từng đôi
một và SA = 3a, SB = a,sc = 2a Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
Hướng dẫn giải:
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\admin\\AppData\\Local\\Temp\\FineReader11.00\\media\\image1.jpeg" \* MERGEFORMATINET
Trang 12+ Dựng
+
Và AH cắt AS nằm trong (SAH).
Xét trong ASBC vuông tại s có SH
là đường cao có:
+ Mặt khác ta dễ chứng minh được
vuông tại S Áp dụng hệ thức lượng trong AASH vuông tại S ta có:
2 Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\admin\\AppData\\Local\\Temp\\FineReader11.00\\media\\
MERGEFORMATINET
Trang 13Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đếnmặt phẳng (AMN)
Phân tích, định hướng: Theo giả
thiết, việc tính thể tích các khối chóp
S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ
dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc
tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng
(AMN) về việc tính thể tích của các khối
chóp nói trên, khoảng cách từ P đến
(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C
đến (SAB).
Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO (ABCD)
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên
3 2
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD )
Phân tích, định hướng: Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông
P
N M
O B
D
C
A
S
Trang 14góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là khó khăn Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của
AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Q
P
N
E H
K
M
D
C B
A S
Trang 15Hướng dẫn giải:
Cách1: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM Ta có:
13
BH
BS Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM
Cách 2: Sử dụng phương pháp tổng hợp
Gọi d d lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp (SCD), ta có:1, 2
Trang 16Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD)
* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một
bài toán bằng phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng.
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình
chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với trung điểm H của
đoạn AO Biết rằng SC = 3a và OH =
2
a
.Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (SBD).
Phân tích, định hướng: Ta cần
xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng
(SBD), do đó phải chọn mặt phẳng đi
qua A và vuông góc với mặt phẳng
(SBD).
Trang 17Hướng dẫn giải:
Cách1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Dễ thấy mặt phẳng (SAO) vuông góc và cắt mặt phẳng (SBD) theo giaotuyến SO Khi đó trong mặt phẳng (SAO), kẻ AE SO (E SO) thì AE (SBD)hay d (A, (SBD)) = AE.Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a
∆SCH vuông tại H, nên ta có 2 2 3 3
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a, suy ra đáy có độ dài cạnh bằng a 2
Tam giác SHO vuông tại H nên 2 2
a và S∆SBD = 1
2SO BD =
2 7a
Vậy d (A, (SBD)) = 3 .
S ABD SBD
V
14
a
Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Oxyz với O (0; 0; 0), A (0; -a; 0),
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy một góc
bằng 600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (AMN).
Trang 18Phân tích, định hướng: Ta cần tìm hình chiếu của S lên mặt phẳng (AMN),
việc xác định là không khó nhưng khi tính khoảng cách từ điểm S đến hình chiếu thì gặp khó khăn.Do đó ta không thực hiện tính trực tiếp từ S mà thực hiện chuyển đổi khoảng cách để việc tính
toán thuận lợi hơn Ta thực
hiện tính từ điểm O Tuy
vậy,việc xác định hình chiếu
của O lên mặt phẳng (AMN)
là đơn giản nhưng khi tính
khoảng cách từ O đến hình
chiếu của nó trên mặt phẳng
(AMN) cũng không đơn giản,
do đó ta chuyển đến việc tính
khoảng từ trung điểm E của
AO đến mặt phẳng (AMN).
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Ta có SO cắt (AMN) tại trung điểm I của MN, khi đó I cũng là trung điểmcủa SO
Gọi E là trung điểm của AO thì IE // SA nên IE (ABCD)
Kẻ EF AI (F AI) và do MN (SAC) nên MN EF
Vậy EF (AMN) và d (E, (AMN)) = EF = 21
Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể
tích Từ giả thiết ta tìm được AM AN 1SB 1SD a;
Trang 19Diện tích của tam giác AMN là SAMN = 1 7
2AI MN a8Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD =
Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A
a Gọi I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S trên
(ABC) là trung điểm H của BC Tính theo a khoảng cách từ I đến (SAB).
Phân tích, định hướng: Ta cần tìm
hình chiếu của I lên mặt phẳng (SAB), việc
xác định là khó vì phải chọn mặt phẳng đi qua
I và vuông góc với mặt phẳng (SAB) Tuy
nhiên nếu ta chú ý đến giải thiết của bài toán
thì dễ thấy do IH // (SAB)đó thay vì tính
khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) ta thực
hiện tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB).
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Ta có IH // SB và IH (SAB) do đó IH // (SAB)
Vậy d (I, (SAB)) = d (H, (SAB))
Trang 20Kẻ HM AB (M AB) thì AB (SHM), do đó mặt phẳng (SAB) (SHM) và (SAB) (SHM) = SM
Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK SM (KSM) thì HK (SAB) Khi đó K
là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (SAB) hay d (H, (SAB)) = HK
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH = 1
2BC =
22
2a
Tam giác AHB vuông cân tại H suy ra HM =
2
a
Trong tam giác SHM ta tính được HK = 3
4
Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Ta có IH // SB và IH (SAB) do đó IH // (SAB)
Vậy d (I, (SAB)) = d (H, (SAB))
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH = 1
2BC =
22
2a
Do đó VS.AHB = 1
3SH S∆AHB =
3 3 24
V
4
Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A
Ta có phương trình mặt phẳng (SAB): 3 y - z = 0.
Do đó d (I, (SAB)) = 3
4
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA
vuông góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hìnhchiếu của A trên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK)
Phân tích, định hướng: Khối
A
D S
H K
17
Trang 21chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh,
đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên
ta có thể tính được thể tích khối chóp
OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân
nên ta tính được diện tích của nó.
63
a SAD SAB AK AH
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên
h AS AB AD a Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng
Trang 222
2 29
OAHK AHK
Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O A, B (a; 0; 0), D (0; a; 0), S (0; 0; a 2)
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 0;2 ; 2
Tương tự AK SC Vậy SC (AHK)
* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC
