Hình 11 phần 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc

d Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược uuur uuur uuur h Quy tắc ba điểm với phép trừ OB OA ABuuur uuur uuur  i Quy tắc hình bình hành Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì

CHUYÊN ĐỀ 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ

VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ

+ Phát biểu được tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

A VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Các định nghĩa a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt

điểm đầu và điểm cuối)

+) Ký hiệu vectơ: ABuuur (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay

, , ,

a x yr r ur

+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm

cuối của vectơ đó

+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm

cuối của vectơ đó

b) Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối

trùng nhau

c) Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của

chúng song song hoặc trùng nhau

d) Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược

uuur uuur uuur

h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)

OB OA ABuuur uuur uuur 

i) Quy tắc hình bình hành

Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB AD ACuuur uuur uuur 

j) Quy tắc hình hộp Nếu ABCD A B C D ���� là hình

hộp thì

AC�AB AD AA  �uuuur uuur uuur uuur

k) Phép nhân một số k với một vectơ ar

Ta có kar là một vectơ được xác định như sau

+ cùng hướng với ar nếu k � 0

Sự cùng phương của hai vectơ

+ ngược hướng với ar nếu k0.

+ có độ dài kar  k a.r

Một số hệ thức vectơ hay dùng

l) Hệ thức về trung điểm của đoạn thẳng

I là trung điểm của đoạn thẳng AB�IA IBuur uur r 0

2

OA OBuuur uuur  OIuur (với O là một điểm bất kỳ)

m) Hệ thức về trọng tâm của tam giác

G là trọng tâm của tam giác ABC�GA GB GCuuur uuur uuur r  0

� uuur uuuur (với M là trung điểm cạnh BC).

n) Hệ thức về trọng tâm của tứ diện

G là trọng tâm của tứ diện ABCD

Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu

giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó

p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Trong không gian cho hai vectơ ,a br r

không cùng phương

và vectơ cr

Khi đó, ,a br r

và cr đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số

m n sao cho c ma nb;  r r r (cặp số m n nêu trên là duy; 

� uuur uuur uuur

đồng phẳng � uuurAB m AC n AD .uuur .uuur

B HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa: Trong không gian, cho ur và vr là hai vectơ

khác 0r Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao

cho uuur r uuur rAB u AC v ,  Khi đó ta gọi

BAC ��BAC � � là góc giữa hai vectơ ur và vr

trong không gian, kí hiệu là    ,u vr r

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ar khác 0r được gọi là vectơ chỉ phương của đường

thẳng d nếu giá của vectơ ar song song hoặc trùng với

đường thẳng d.

Chú ý:

Bình phương vô hướng của một vectơ:

2 2

ar  ar

Nhận xét:

a) Nếu ar là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ kar với k�0 cũng là vectơ chỉ phương của d.

b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d

và một vectơ chỉ phương ar của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi

và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

Chú ý Giả sử , u vr r

lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b.

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc

giữa hai đường thẳng a� và b� cùng đi qua một điểm và

lần lượt song song với a và b.

Hai đường thẳng vuông góc Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với

nhau nếu góc giữa chúng bằng 90�

Kí hiệu: Đường thẳng a và b vuông góc với nhau kí hiệu

cùng hướng

Định nghĩa

Hai vectơ được gọi là

cùng phương nếu giá

của chúng song song

hoặc trùng nhau

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Vectơ trong không gian

Bài toán 1 Xác định vectơ và chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải

Vận dụng các kiến thức sau

 Định nghĩa các khái niệm liên quan đến vectơ;

 Tính chất hình học của các đa giác đã học;

 Các quy tắc tính toán với vectơ;

� uuur uuur (đẳng thức này đúng)

Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD

 uuuur uuuur  uuur uuur  uuuur uuuur

Vậy uuur uuur uuur uuurAC BD AD BC 2MNuuuur

+) AD BC A Duuur uuur uuuur uuuur  �� ��B C

+) AAuuur uuur uuuur uuuur�BB�CC�DD�

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh SA SC SB SDuur uuur uur uuur  

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SAuur2SCuuur2 SBuur2SDuuur2

Hướng dẫn giải

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là

trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.

Do đó SA SCuur uuur 2SOuuur và SB SDuur uuur 2SOuuur

Vậy SA SC SB SDuur uuur uur uuur  

Bài toán 2 Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

 Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng một trong các cách sau

+ Chứng minh ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng

+ Chứng minh hai vectơ có giá cùng song song với mặt phẳng chứa giá của vectơ còn lại

+ Biến đổi vectơ để được đẳng thức dạng c m a n br .r .r

Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho

uuuur uuur uuur uuur

uuuur uuuur uuur uuur

Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được 3MNuuuurMAuuur2MDuuuur  BNuuur2CNuuur  uuurAB2uuurDC

Do MAuuur2MDuuuur r uuur0,BN2CNuuur r0 nên 1 2

MN  AB CD

uuuur uuur uuur

Vậy uuur uuur uuuurAB CD MN, ,

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M và N sao cho

uuuur uuur uuur uuur

uuuur uuur uuur uuur

Cộng vế theo vế ta được

3MNuuuur MSuuur2MAuuur  CNuuur2BNuuur SCuuur2uuur uuurAB SC 2uuurAB

Vậy uuur uuuur uuurAB MN SC, ,

đồng phẳng

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm , , A B C� � � lần lượt thuộc các tia SA SB SC sao cho, ,

SA a SA SB b SB SC c SC �  �  �, trong đó , ,a b c là các số thay đổi Chứng minh rằng mặt phẳng

A B C��� đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi  a b c  3

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta suy ra SA a SA S B b SB SC c SCuur uuur ur�,  uuur uuur�,  uuur�

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Ta có SA SB SCuur uur uuur  3SGuuur

a b c

x y z      và a3x b 3y c 3z0

Do đó G�A B C���

Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho

MA  MB ND  NC

uuur uuur uuur uuur

; các điểm , ,I J K lần lượt thuộc AD MN BC sao cho, ,

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur

Theo quy tắc trọng tâm, ta có 1  1 

AG AB AD AA  � a b c uuur uuur uuur uuur r r r

Câu 1: Cho bốn vectơ , , ,a b c dr r r ur

bất kỳ Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 4: Cho tứ diện ABCD Hãy chọn khẳng định đúng?

A AB CD AC DBuuur uuur uuur uuur   B AC BD AB CDuuur uuur uuur uuur  

C AD BC AB DCuuur uuur uuur uuur   D BA CD BD CAuuur uuur uuur uuur  

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A Từ uuurAB3uuurAC ta suy ra BAuuur 3CAuuur

B Từ uuurAB 3uuurAC ta suy ra CBuuur2uuurAC

C Nếu uuurAB 2uuurAC5uuurAD thì bốn điểm , , ,A B C D cùng thuộc một mặt phẳng.

2

AB  BC

uuur uuur

thì B là trung điểm của đoạn AC.

Câu 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.

A Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB SD SA SCuur uuur uur uuur   thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

B Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CDuuur uuur

C Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu uuur uuur uuur uuur rAB BC CD DA   0

D Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC ADuuur uuur uuur 

Câu 7: Cho ar 3,br 5, góc giữa ar và br bằng 120� Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

uuuur uuur uuur uuur

Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?

A Cho hai vectơ không cùng phương ar và br Khi đó ba vectơ , ,a b cr r r

đồng phẳng khi và chỉ khi cócặp số ,m n là duy nhất.

B Nếu có ma nb pcr r r r0 và một trong ba số , ,m n p khác 0 thì ba vectơ , , a b cr r r

đồng phẳng

C Ba vectơ , ,a b cr r r

đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng

D Ba tia Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng., ,

Câu 10: Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OB k BAuuuur uuur  uuur

B Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OMuuuur uuurOB k OB OA uuur uuur 

C Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OMuuuurkOAuuur 1 k OBuuur

D Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OA OBuuuur uuur uuur 

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A B C D ���� có cạnh bằng a Giá trị uuur uuuurAB C A. �� bằng

Câu 12: Khẳng định nào sau đây đúng?

A Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B Ba vectơ , ,a b cr r r

đồng phẳng thì có c ma nbr r r với ,m n là các số duy nhất.

C Ba vectơ , ,a b cr r r

không đồng phẳng khi có d ma nb pcur r r r với dur là vectơ bất kì

D Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Câu 13: Khẳng định nào sau đây sai?

A Vì uuuur uuur rNM NP 0 nên N là trung điểm của đoạn MP.

B Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có 1 

2

OI  OA OBuuur uuur

C Từ hệ thức uuurAB2uuurAC8uuurAD ta suy ra ba vectơ uuur uuur uuurAB AC AD, ,

đồng phẳng

D Vì uuur uuur uuur uuur rAB BC CD DA   0 nên bốn điểm , , ,A B C D cùng thuộc một mặt phẳng.

Câu 14: Trong không gian cho ba điểm , ,A B C bất kì Khẳng định nào sau đây đúng?

BA BC BA BC AC

uuuruuur

C BA BC BAuuuruuur  2BC2AC2 D uuuruuurBA BC BA  2BC22AC2

Câu 15: Cho tứ diện SABC Đặt SA a SB b SC cuur r uur r uuur r ,  ,  Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh

BC sao cho NC3NB Phân tích vectơ MNuuuur theo ba vectơ ,a br r

A M là trọng tâm tam giác ABC B M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

C M là trực tâm tam giác ABC D M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 18: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn khẳng định đúng?

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Không có D Cả (I) và (II).

Câu 20: Cho lăng trụ ABC A B C ��� Đặt a AA b AB c ACr uuur r uuur r uuur �,  ,  Gọi G� là trọng tâm của tam giác

A 3

2

k l   B k l  3 C k l  4 D k l  2

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông Gọi

M là trung điểm của CD Giá trị MS CBuuur uuur.

a

23

a

D

222

Câu 24: Khẳng định nào sau đây sai?

A Ba vectơ uuur uuur uuurAB AC AD, ,

a

C 2

23

a

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD Gọi O là giao điểm của AC và BD Xét hai mệnh đề

(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SDuur uur uuur uuur   4SOuuur

(II) Nếu SA SB SC SDuur uur uuur uuur   4SOuuur thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Không có D Cả (I) và (II).

Câu 27: Cho tứ diện S.ABC có SA SB SC  AB AC a BC a  ,  2 Tích vô hướng giữa SC ABuuuruuur.bằng

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD Xét hai mệnh đề

(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SC SB SDuur uuur uur uuur  

(II) Nếu SA SC SB SDuur uuur uur uuur   thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Không có D Cả (I) và (II).

Câu 29: Cho ba vectơ , ,a b cr r r

không đồng phẳng xét các vectơ xr2a b y a b c zr r ur r r r r ,    ,   3br 2cr.Chọn khẳng định đúng?

Câu 30: Cho ba vectơ , ,a b cr r r

không đồng phẳng Khẳng định nào sau đây sai?

A Các vectơ x a br r r  2 ,c yr ur2ar 3br 6 ,c zr r    ar 3br 6cr đồng phẳng

B Các vectơ x ar r 2br4 ,c yr ur3ar 3br 2 ,c zr r2ar 3br 3cr đồng phẳng

C Các vectơ x a b c yr r r r ur   , 2ar 3b c zr r r,   ar 4br đồng phẳng

D Các vectơ x a b c yr r r r ur   , 2a br r 3 ,c z ar r r 2br4cr đồng phẳng

Câu 31: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a Giá trị của uuur uuurAB EG.

C uuur uuuurAB CD� �. 0 D 2uuur uuuur uuur uuuur rAB B C ��CD D A ��0

Câu 33: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ��� Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB A C� ��, Điểm Mthuộc cạnh B C�� sao cho MBuuuur�k MCuuuur� Tìm k để bốn điểm , , A I M K đồng phẳng.,

Câu 35: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD Cho

Câu 38: Trong không gian xét , , ,m n p qur r ur r

là các vectơ có độ dài bằng 1 Giá trị lớn nhát của biểu thức

S m nur r  m pur ur  m qur r  n pr ur  n qr r  ur rp q là

Dạng 2 Hai đường thẳng vuông góc

Bài toán 1 Tính góc giữa hai đường thẳng (chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình lăng trụ và hình hộp)

Phương pháp giải

 Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng  d1

và  d ta có thể thực hiện tính thông qua góc2

giữa hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

+) Định lí côsin trong tam giác

 Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông

góc với nhau, ta thường chứng minh uuur uuurAB CD 0

Ví dụ 2 Cho hình hộp thoi ABCD A B C D ���� có tất cả các cạnh bằng a và � ABC B BA B BC�� ��  �.60

Chứng minh tứ giác A B CD�� là hình vuông

CB CDuuur uuur�  CB BB BA CB BA BB BAuuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur �   �    

Suy ra CB�CD Vậy tứ giác A B CD�� là hình vuông

Ví dụ 3 Cho hình hộp ABCD A B C D ���� có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA A AB, � �,đều bằng 60� Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA CD � Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng MN,

và B C�, tính giá trị của cos

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4 Cho hình lập phương ABCD A B C D ���� có cạnh bằng a Trên các cạnh CD và BB� ta lần lượt lấy

các điểm M và N sao cho DM BN  với 0 x a x � � Chứng minh rằng AC�MN

uuur uuur

Đặt uuur r uuur r uuur rAB a AC b AD c ,  , 

Ta có CD AD AC c buuur uuur uuur r r   

Hướng dẫn giải

Vì ABAC và ABBD nên uuur uuurAC AB 0;BD ABuuur uuur 0

Ta có PQ PA AC CQuuur uuur uuur uuur   và PQ PB BD DQuuur uuur uuur uuur  

Do đó 2PQ AC BDuuur uuur uuur  �2uuur uuurPQ AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC BD AB AC AB BD AB    0

Hay uuur uuurPQ AB 0

(vì SAB vuông tại A nên � SBA �).90

33

a SA

Vậy �SB DC,  SBA�  �.30

b) Gọi E là trung điểm của AB.

Khi đó, BCDE là hình bình hành nên DE/ /BC��SD BC,  �SD DE,  

Vậy �,  �,  � cos cos� 42

Ví dụ 8 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy

và SA a 3 Tính côsin góc giữa SB và AC.

cos

4

a OH HOI

Ví dụ 9 Cho hình chóp tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc và , , OA OB a OC  , 2a Gọi

M là trung điểm của BC Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và OM.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC ta có BC2 a24x22ax

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

C Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với

đường thẳng còn lại

D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường

thẳng còn lại

Câu 2: Cho hai đường thẳng ,a b lần lượt có vectơ chỉ phương , u vr r

Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D ���� Chọn khẳng định sai?

A Góc giữa AC và B D�� bằng 90� B Góc giữa B D�� và AA� bằng 60�

C Góc giữa AD và B C� bằng 45� D Góc giữa BD và A C�� bằng 90�

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Góc giữa cặp vectơ ABuuur và EGuuur bằng

Câu 10: Cho hình hộp ABCD A B C D ���� có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng 60� Góc

giữa hai đường thẳng BD và AC� bằng

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M là điểm bất kỳ trên

đường thẳng AC Số đo góc giữa hai đường thẳng BD, SM bằng

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh , a SA 3a và vuông góc với mặt đáy Gọi

M là trung điểm cạnh SB Côsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có AB AC và �SAC SAB� Khi đó góc � 

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo của góc � ,MN SC bằng

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC

và BC Số đo của góc �,IJ CD bằng

Câu 22: Cho hình lập phương ABCD A B C D ���� cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B C��.

Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và B D�� bằng

Câu 23: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ��� có đáy ABC là tam giác cân

�

AB AC a BAC   �, cạnh bên AA�a 2 Góc giữa hai đường thẳng AB� và BC bằng

Câu 24: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ��� có tất cả các cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là

trung điểm các cạnh AB B C, �� Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có SA SB SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a, ,    Gọi

M là trung điểm của AB Góc giữa hai đường thẳng SM và BC bằng

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Các tam giác SAB SAD SAC là các tam, ,

giác vuông tại A Côsin góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng bao nhiêu, biết

Câu 27: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ��� có tất cả các cạnh đều bằng a Côsin giữa hai đường

Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ��� có đáy ABC là tam giác vuông tại , A AB a AC a ,  3

Hình chiếu vuông góc của A� lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của  BC A H, � a 3 Gọi  là góc

giữa hai đường thẳng A B � và B C� Tính cos

Câu 30: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD biết , 3

Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB vuông cân tại S, có SA a , tam giác ABC vuông cân tại

C và � BSC  � Gọi M là trung điểm của SB Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CM bằng60

Câu 32: Cho hai vecto ,a br r

thoả mãn, ar 4,br 3, a br r10 Xét hai vecto ur r r r ry a b x a  ,  2br Gọi 

là góc giữa hai vecto ,ur ry x

Câu 33: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D AB ����, 6cm BC BB,  �2cm Điểm E là trung điểm cạnh

BC Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng C E�, hai đỉnh P, Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B� và cắt đường thẳng AD tại điểm F Độ lớn DF bằng

đồng phẳng thì giá của chúng luôn song song với mặt mặt phẳng.

Khẳng định (2) sai vì các vectơ đồng phẳng không yêu cầu là phải cùng phương

Khẳng định (3) và (4) đúng theo điều kiện và định nghĩa ba vectơ đồng phẳng

A sai vì uuur uuur uuur uuurAB CD AC DB �CA AB BD DCuuur uuur uuur uuur   �CD DCuuur uuur (sai)

B sai vì uuur uuur uuur uuurAB BD  AB CD �uuur uuur uuur uuurAC AB CD DB   � BC CBuuur uuur (sai)

C sai vì uuur uuur uuur uuurAD BC AB DC �uuur uuur uuur uuurAD AB DC CB   �BD DBuuur uuur (sai)

D đúng vì BA CD BD CAuuur uuur uuur uuur   �BA BD DC CAuuur uuur uuur uuur   �DA DAuuur uuur (đúng)

Câu 5.

Ta có uuurAB3uuurAC�BAuuur 3CAuuur�BAuuur3CAuuur�3CAuuur Từ đó phương án A sai.

Ta có uuurAB 3uuurAC�CB CAuuur uuur 3CAuuur�CBuuur4CAuuur�2uuurAC Từ đó phương án B sai.

Ta có uuurAB 2uuurAC5uuurAD�uuur uuur uuurAB AC AD, , đồng phẳng �A B C D, , , đồng phẳng (C đúng).

Phương án D sai vì nếu B là trung điểm của đoạn thẳng AC thì AB BCuuur uuur mà 1

+) SB SD SA SCuur uuur uur uuur   �SB SA SC SDuur uur uuur uuur   �uuur uuurAB DC � ABCD là hình bình hành (A đúng).

+) AB CDuuur uuur ta phải suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành chứ không phải ABCD (B sai).

+) C sai vì uuur uuur uuur uuur rAB BC CD DA   0 đúng với mọi vị trí của , , ,A B C D

+) D sai vì với AB AC ADuuur uuur uuur  thì AD là đường chéo của hình bình hành ABCD.

Ta có O là trọng tâm tam giác BCD nên BO CO DOuuur uuur uuur r  0 (1)

Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAO AB BO AO AC CO AO AD DO  ;   ;  

A, B sai vì OM OBuuuur uuur M B và ,O M B A thẳng hàng mà O là điểm bất kì., ,

C đúng vì OMuuuurkOAuuur 1 k OBuuur�OM OB k OA OBuuuur uuur  uuur uuur  �BMuuuurk BA.uuur

D sai vì OM OA OBuuuur uuur uuur  �OAMB là hình bình hành Khi đó M�AB

có giá cùng nằm trong  P , còn cr có giá song song với  P

B sai với ba vectơ ,0,ar r rc

ta có 0 0.r r r r r a0.c thì ,0,ar r rc

đồng phẳng nhưng c m a nr .r .0r chỉ đúng khi ar và

cr

cùng phương với nhau

C sai vì với 3 vectơ , ,d a bur r r

khác 0r đồng phẳng với nhau ta có d ma nbur r r.Khi đó dur(m 1) a nb ar r r

Đặt c ar r thì dur(m 1) a nb cr r r nhưng , ,a b cr r r

lại đồng phẳng với nhau

Vậy cả ba khẳng định trên đều sai

Câu 13.

Phương án D sai do đẳng thức uuur uuur uuur uuur rAB BC CD DA   0 luôn đúng với vị trí bất kì trong không gian củabốn điểm , , ,A B C D nên không đủ điều kiện để khẳng định , , , A B C D đồng phẳng.

Câu 14.

Đặt uuur r uuur r uuur rAB a AD b AA ,  , �c

Từ MAuuuur�k MC.uuuur, ta có uuur uuuurAA�AM k AC AMuuur uuuur 

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur

CB OB OCuuur uuur uuur   OD OCuuur uuur

Do OC OS ODuuur uuur uuur; ;

đôi một vuông góc với nhau nên

Đặt uuurPA xSA BQ uur uuur;  yBNuuur

Suy ra: PQ PA AB BQuuur uuur uuur uuur  

CMuuuur uuur uuurSM SC  SA SBuur uur SCuuur ar b cr r

Để PQ CM thì PQ kCM/ / uuur uuuurhay

22

PQ  a b c

Câu 24.

C sai vì khi AB/ /MNP ta vẫn có  uuur uuuur uuurAB MN NP, ,

đồng phẳng nhưng uuurAB�MNP hay giá của ABuuur

AG uuurAG  AA� AB AD

Vậy mệnh đề (I) và (II) đều đúng.

Bình luận: Để chứng minh mệnh đề (I) và (II) đúng, ta áp dụng: Cho A a B b� , � và  O  � a b

Khi đó OA OBuuur uuur� O A B

Chứng minh: Nếu A không trùng O thì B không trùng O (do OA OBuuur uuur )  OA a và OB b�

Nhưng OA OBuuur uuur �O A B, , thẳng hàng ��a b a b a (trái với giả thiết O a b � )

Câu 27.

Từ giả thiết suy ra SBC vuông cân tại ;S SAC là tam giác đều.

Có SC AB SC SB SAuuuruuur uuur uur uur     SC SB SC SAuuuruur uuuruur 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Ta có: SA SC SB SDuur uuur uur uuur� � �   2SMuuur 2SNuuur SMuuur uuurSN M N ABCD là hình bình hành

Vậy không tồn tại hai số , :m n x m y nzr ur r

Câu 31.

Ta có uuur uuur uuur uuur uuurAB EG AB EF EH   uuur uuur uuur uuurAB EF AB EH 

Do ABEH nên uuur uuurAB EH. 0

Suy ra uuur uuur uuur uuur uuurAB EG AB EF  AB2 a2

uuuuruuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

do AA A Duuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur' ��AA A B��� ���� A B A D 0

+) C đúng vì uuur uuuur uuuur uuuurAB CD� � DC CD� � 0do DC�CD�

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur r r

Do MBuuuur�k MCuuuur� nên uuur uuuurAB�AM k ACuuuur uuuur�AM

k1AM k AC�AB�k a c       a b k 1a b kc 

Vì bốn điểm ,A M I K đồng phẳng nên , , uuuur uur uuurAM AI AK, ,

 uuuur  uuur uuur  r r  r

Để ba vectơ uuur uuuur uuurAB MN SC, ,

 

13

1

13

k

x x

uuuur uuur uuuur r r r

uuur uuur uuuur r r

uuuur uuur uuuur r r r

Vì M N P Q đồng phẳng nên xMN yMP MQ, , , uuuur uuur uuuur