(SKKN 2022) vận dụng tỉ số khoảng cách để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh khi học lớp 12 hoàn thành tốt đề thi tốt nghiệp THPT

Phần hình học không gian là phần học khó với học sinh, ngoài việc tổng quan được hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lôgic, các phương pháp luận để hì

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Phần hình học không gian là phần học khó với học sinh, ngoài việc tổng quan được hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lôgic, các phương pháp luận để hình thành nên cách giải của mỗi bài toán

Trong quá trình dạy học môn toán tôi thấy điều quan trọng là dạy cho học sinh phương pháp tư duy khoa học và logic, học sinh phải có nền tảng kiến thức bộ môn vững vàng và biết vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết vấn đề trong học tập

và trong thực tế cuộc sống

Bài “Khoảng cách” trong môn hình học lớp 11 là một chuyên đề khó đối với học sinh và thường hay gặp trong kỳ thi quốc gia, kỳ thi tốt nghiệp THPT Để học tốt bài này các em cần có kiến thức vững chắc phần quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian và nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, các tính chất của các hình cơ bản

Trước yêu cầu ngặt về thời gian của đề trắc nghiệm, yêu cầu cần được tiếp thu của học sinh, qua thời gian giảng dạy và tìm hiểu tôi đã lựa chọn đề tài này để hoàn thiện hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT

quốc gia Trong khuôn khổ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tôi chọn đề tài: “Vận dụng tỉ số khoảng cách để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh khi học lớp 12 hoàn thành tốt đề thi tốt nghiệp THPT” Trong quá trình dạy học bài khoảng cách, tôi đã áp dụng giải pháp, sau khi

áp dụng tôi thấy đây là một giải pháp hay, hiệu quả trong dạy học bài “Khoảng cách” trong môn hình học 11 Học sinh hứng thú khi tiếp nhận và vận dụng thành thạo vào giải bài tập , từ đó kết quả học tập của học sinh ngày càng được nâng cao Phát triển tư duy logíc trong suốt quá trình học tập, học sinh thấy được tính đa dạng trong việc tư duy giải toán

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Như đã nói ở trên, mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm hoàn thiện hơn kinh nghiệm của bản thân, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia

Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mối quan hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh không để ý tới, từ đó giúp học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài toán ở môn khác, ở thực tiễn đời sống sau này

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực trạng của việc dạy và học tính khoảng cách giúp giáo viên xây dựng và truyền đạt cho học sinh sơ đồ tư duy từ kiến thức

cơ bản đến bài toán thường gặp và từ đó học sinh dễ dàng nắm chắc kiến thức sâu hơn, vận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài:

- Học sinh lớp 11A3, 11A7, Trường THPT Hậu Lộc 1, học chương trình Nâng cao.

- Mục tiêu đạt được của chuyên đề tính khoảng cách được giới thiệu trong sách giáo khoa Hình học lớp 11

- Các bài tập, công thức được giới thiệu trong chương trình THPT

1.4 Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:

+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu

+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết: Vì chưa có một đề tài nghiên cứu hoàn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tôi đã tìm hiểu qua nội dung của các bài toán, tham khảo ở một số ý tưởng của một số tác giả và bằng sự hiểu biết của bản thân để hình thành nên phương pháp luận, xây dựng thành cơ sở lý thuyết để học sinh học tập

- Thực hiện dạy tại lớp 11A3,11A7, đối chứng với các phương pháp thường gặp khác - Thống kê phân tích, tổng hợp kết quả đạt được sau khi áp dụng

1.5 Những điểm mới của đề tài:

- Hình thành sơ đồ tư duy từ kiến thức cơ bản đến bài toán thường gặp và từ đó vận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập

PHẦN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

- Học sinh nắm chắc kiến thức phần quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian

- Học sinh nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, các tính chất của các hình

cơ bản

Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi chỉ trình bày những kiến thức liên quan đến đối tượng nghiên cứu của đề tài

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Khi tính khoảng cách học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và vận dụng các hệ thức lượng giác để tính, học sinh thường áp dụng ở dạng thuần túy Do đó khi gặp một số bài phức tạp cần hướng dẫn cho học sinh vận dụng một cách linh hoạt, đưa về áp dụng các bài toán thường gặp thì mới có hiệu quả

- Tư duy của học sinh còn nhiều hạn chế, các em chưa hiểu rõ mối liên hệ giữa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, cần phát triển tư duy logic trong vận dụng tỉ số khoảng cách để đưa về bài toán thường gặp

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

2.3.1.1 Kiến thức cơ bản

A

Phương pháp chung: Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng  P thì

điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên  P

- Trường hợp 1: Khoảng cách từ điểm A thuộc mặt đáy đến mặt phẳng bên

SBC có chứa đường cao của hình chóp (lăng trụ…) 

Phương pháp:

Bước 1: Ta có SBC  ABC theo giao tuyến BC

Bước 2: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến BC tại H

Khi đó AH d A SBC  ,  

- Trường hợp 2: Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của đỉnh S đến mặt

phẳng bên SBC 

Phương pháp:

Bước 1: Ta có mặt bên SBC cắt mặt đáy  ABC theo giao tuyến  BC Bước 2: Từ A dựng AD vuông góc với giao tuyến BC tại D.

Bước 3: Nối SD, dựng AH vuông góc SD tại H Khi đó AH d A SBC  ,  

- Trường hợp 3: Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng bên  P

A S

C

B D H

P

A

O

H

M

K

d P

M

O K

A

H

Trong quá trình chữa bài tập về tính khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) mà tính bằng cách thuần túy gặp khó khăn, tôi thường vận dụng tỉ số

khoảng cách để quy khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng bên về khoảng cách từ

điểm A là hình chiếu của đỉnh S đến mặt phẳng bên, hoặc khoảng cách từ điểm A

thuộc mặt đáy đến mặt bên (trực tiếp hoặc gián tiếp )

Hướng dẫn cho học sinh phát hiện điểm A có đặc điểm như vậy, từ đó xác định giao điểm O của đường thẳng AM với mặt phẳng  P

* Công thức tính tỉ số khoảng cách:    

 

, ,

d A P AO với O MA  P

2.3.1.2 Các bài toán thường gặp

Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SAABC

và SA a 6 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 

Phân tích hướng dẫn giải

- Dạng toán: Đây là dạng toán tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của

đỉnh S đến một mặt bên của hình chóp.

- Hướng giải:

B1: Xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng SBClà điểm H.

B2: Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng  AH

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Dựng ADBC tại D , khi đó D là trung điểm của BC

Dựng AH SD d A SBC ,   AH ; 3

2

a

Xét tam giác SAD vuông tại A ta có: 1 2 12 1 2 6

3

a AH

Vậy  ,   6

3

a

Bài 2: (Đề thi thử THPTGQ năm học 2019 2020, Chuyên Đại học Vinh -Nghệ An) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC a , I là trung điểm SC Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC là trung điềm  H của BC

Mặt phẳng SAB tạo với  ABC một góc  60  Tính khoảng cách từ I đến

SAB 

A 3

4

5

a

4

3

a

Lời giải Chọn A

J a S

K I

H C

B

A

Gọi K là trung điểm của AB Khi đó:  SAB , ABC  HK SK,  SKH 60

IK là đường trung bình của SCB  IH // SBSAB  IH // SAB 

 ,   ,  

d I SAB d H SAB

Kẻ HJ SK J SK,  Khi đó HJ SAB  d H SAB ,   HJ

Xét SHK vuông tại H có

AC a

.tan

2

a

SH HK SKH 

A S

C

B D H

2 2 2 2 2

4

HJ

HJ SH  AK   SH HK  Vậy  ,   3

4

a

Bài 3: (Đề thi thử THPTGQ lần 3 năm học 2019 - 2020, trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc) Cho hình hộp ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABCD trùng

với O Biết tam giác AA C vuông cân tại A Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A 

6

a

6

a

3

a

3

a

Phân tích, hướng dẫn giải

1 Dạng toán: Đây là dạng toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Phương pháp:

Cách tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P

+) Dựng mặt phẳng  Q chứa M và    Q  P

+) Tìm giao tuyến của  Q và  P Giả sử d    Q  P

+) Trong mặt phẳng  Q dựng MH d , H d Ta có d M P ;   MH

2 Kiến thức cần nhớ:

+) Trong tam giác ABC có A 90o, đường cao AH, ta có: AH AB AC2. 2



3 Hướng giải:

B1: Ta có DB2OB d D ABB A ;    2d O ABB A ;   

B2: Gọi I là trung điểm của AB  AB OI , mà ABA O  AB A IO 

B3: Trong mpA IO , kẻ OH A I  OH ABB A  d O ABB A ;    OH

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D Ta có DB2OB d D ABB A ;    2d O ABB A ;   

 Gọi I là trung điểm của AB  AB OI , mặt khác ABA O  AB A IO 

 Trong mặt phẳng A IO  dựng

OH A I  OH  ABB A   d O ABB A  OH

 Do tam giác AA C vuông cân tại A nên 1 2

a

A O  AC và

2

a

OI 

2

6 2

a a

OH





 

3

a

d D ABBA

Bài 4: [Chuyên Sơn La năm 2020] Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC   Tam giác 30 SBCđều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ Cđến SAB 

A 39

26

a

16

a

13

a

8

a

Lời giải Chọn C

Gọi H là trung điểm BC, suy ra SH  ABC Mặt khác    

;

2

;

d H SAB HB  .

Trong tam giác ABC, gọi K là trung điểm AB HK AB

Có AB HK AB SHK









Trong SHK kẻ  HI SK , có HI SK HI SAB HI d H SAB ;  











Có sin 300

Xét tam giác vuông SHK , đường cao HI nên 2. 2 39

26

HI

13

a

2.3.1.3 Bài tập vận dụng và phát triển

Bài 1: (Đề thi thử THPTGQ lần 1, trường THPT Thanh Chương 1 - Nghệ An)

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại A, AB4a, AC3a Biết

SA a , SAB   và 30 SAB  ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

SBC bằng 

A 3 7

14

3

a

7

a

2

a.

Lời giải Chọn C

 Vì nên SH AB thì SH  ABC

 Tam giác SAH vuông tại H , góc A   nên 30 1 3

2

SH  SA a và

2 3.cos30 3

 Gọi d d là khoảng cách từ H, A H A, đến mặt phẳng SBC Khi đó  d A 4d H

 Từ H, kẻ HG BC HK SG ,  Khi đó d H HK

 Tam giác HGB có sin 3 3

 Tam giác SHG vuông tại H , đường cao HK có

14 3

3

5

a

 

 

Bài 2: (Sở Hưng Yên năm 2020) Cho hình chóp S ABCD có SAABCD và

SA a , đáy ABCD là hình vuông Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD DC,

và góc giữa SBM với  ABCD bằng  45 Khoảng cách từ D đến mặt phẳng

SBM bằng

A 2

2

2

2

3

Lời giải Chọn A

H

I

N M

C

A

B

D S

Gọi  I AN BM

Ta có:











SAI

  vuông cân tại A

Ta lại có:    

,

,

Kẻ AH SI tại H , mà AH BM BM, SAI  Suy ra AH SBM

 

Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBM bằng  2

2

Bài 3: (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam giác ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  ABCD trùng với trọng tâm của tam giác  ABC Góc giữa đường thẳng SD

và mặt phẳng ABCD bằng  30 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD 

A 21

7

a

3

a

Lời giải Chọn A

Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra G là hình chiếu của S trên mpABCD 

Kẻ đường trung tuyến CG cắt AB tại, suy ra CM AB CM, CD

Ta có CD GH (vì CD CM CD , SG ) (1)

Từ G kẻ GH SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra GH SCD suy ra H là hình chiếu của G trên SCD 

Ta có góc giữa SD và mpABCD là góc  SDG   nên ta có 30 tanSDG SG

DG

Mà DG 2BG 2GC với 2 2 3 3

3

a

Xét tam giác SGC ta có 1 2 12 12 92 92 632

GH SG GC  a  a  a

2 21 21

a GH

Ta có BG cắt mặt phẳng SCD tại  D nên ta có    

d G SCD GD 

suy ra     3     3 2 21 21

Bài 4: (Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC Góc giữa đường thẳng  SB

và mặt phẳng ABC bằng  60 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Khoảng cách

từ B đến mặt phẳng SMC bằng

A

2

a

13

Lời giải Chọn B

 Vì SAABC  ABlà hình chiếu của SB lên mặt phẳng ABC 



SB ABC,  SB AB,  SBA 60

 Do M là trung điểm của AB, tam giác ABC đều nên CM AB, 3

2

a

 Ta có SA ABC SA CM mà

CM AB CM  SAB  SMC  SAB , SMC  SAB SM (1) Trong SAB kẻ  AH SM H SM   (2)

Từ (1) và (2)  AH SMC  d A SMC ,   AH

 Trong tam giác vuông SAM , ta có

a AH

 Lại có ABSMC M thì    

,

1 ,

d B SMC BM  .

 

13

a

Bài 5: (Chuyên Hưng Yên-lần 3) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân, BA BC a  ; BAC   Cạnh bên 30 SA vuông với mặt phẳng đáy và SA a Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC Khoảng cách từ B đến SCD bằng

A 21

7

a

14

2

7

a

Lời giải Chọn A

Gọi O là trung điểm của AC Theo bài ra 





120 30

30

ABC BAC

BCA



   

 



O A

B S

C D

K H

D là điểm đối xứng với B quaAC, khi đó ABCD là hình thoi tâm O

Do: BA/ /SCD d B SCD ;   d A SCD ;  

Trong (ABCD), kẻ AK CD K CD, 

Trong (SAK), kẻ AH SK H SK, 

Dễ dàng chứng minh được AH SCD Vậy dA SCD;   AH

2

a

Tam giác SAK vuông tại A, đường cao AH, có

2

3 3

2

AH AK SA  a  a  a

7

AH  a d B SCD ;    21

7

a

Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

AD AB BC CD a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung

điểm M của cạnh CD Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng SBM 

A 4 10

15

15

15

30

Lời giải Chọn A

Gọi E là trung điểm của AD ta có CEAB ED Có CD2a 2

2

CE ED a

   ; AD4 ;a BD2a

Gọi N là trung điểm của AB suy ra 3 ; 1 3 2

2

MAB

MN  a S  NM AB a

MA AN NM a MB

Gọi L là trung điểm của DE ta có LA3a và L là trung điểm của AP

Khi đó LP3a EP4 ;a PA6a  ,   3  ,  

2

Vậy  ,   4  ,   4

2.3.2 Vận dụng tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

2.3.2.1 Kiến thức cơ bản.

* Định nghĩa: Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

,

, ,

d a b AB

   







* Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau vận dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Cách 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa

một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại

d a b d a  d M  , với

 

 

 

/ /

b a M





















- Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

 ,      ,   ,  

d a b d   d M  Với

 

 

 

/ /

a b M























2.3.2.2 Bài tập mẫu

Cho tứ diện ABCD có ABC ADC BCD 90 ,0 BC 2 ,a CD a , góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCD bằng  600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

A 6

31

a

31

a

31

a

31

a

Phân tích hướng dẫn giải