(SKKN mới NHẤT) một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng HAI CÔNG THỨC tỉ số KHOẢNG CÁCH khi giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH KHI GIẢI BÀI TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH

SỬ DỤNG HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH KHI GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Văn Tiến Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

Mục lục……….i

Các ký hiệu trong đề tài………ii

1 Mở đầu……….1

1.1 Lí do chọn đề tài……….……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu………….……….1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….………1

1.4 Phương pháp nghiên cứu……….……… 1

2 Nội dung……… 2

2.1 Cơ sở lý thuyết……….……….… 2

2.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng………2

2.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……… 2

2.1.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song………….… 2

2.1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song……… 2

2.1.5 Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……….3

2.1.6 Hai công thức tỉ số khoảng cách……….4

2.2 Một số bài toán và hướng dẫn sử dụng công thức tỉ số khoảng cách khi giải toán……….……….5

2.3 Bài tập tương tự………14

2.4 Kết luận, kiến nghị……….……… 18

Tài liệu tham khảo……….………19

CÁC KÍ HIỆU TRONG ĐỀ TÀI

 THPT – Trung học phổ thông.

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Bài toán hình học không gian nói chung, bài toán tính khoảng cách tronghình học lớp 11 nói riêng, luôn được quan niệm là bài toán khó với hầu hết họcsinh Trong kỳ thi THPT Quốc gia những năm gần đây, đặc biệt khi Bộ Giáodục Đào tạo chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức trắc nghiệm đối vớimôn toán thì bài toán tính khoảng cách trong đề thi càng gây khó khăn, trở ngại

và làm mất thời gian của các học sinh Sự trở ngại nằm ở các lý do, như: khôngnắm được lý thuyết căn bản, vẽ hình không đúng, không dựng được hình chiếucủa một điểm hay một đường thẳng trên mặt phẳng hay không xác định đượcchân đường cao của hình chóp…

Đã có nhiều học sinh đặt câu hỏi: “Thưa thầy! Nếu không xác định đượchình chiếu của một điểm trên mặt phẳng, có tính được khoảng cách từ điểm đóđến mặt phẳng không ” Về mặt lí luận toán học, với câu hỏi này thầy cô đều cóđáp án làm thỏa lòng mọi học sinh Tuy nhiên, nó cũng đặt ra một hướng mở đểchúng ta tiếp cận vấn đề Tôi thiết nghỉ, nếu không phải xác định hình chiếu củamột điểm trên mặt phẳng, có thể bài toán tính khoảng cách sẽ ngắn gọn đi rấtnhiều, sẽ làm cho nhiều đối tượng học sinh giải được bài toán này Như chúng ta

đã biết, bài toán tính khoảng cách cần xác định được hình chiếu của một điểmtrên mặt phẳng Nhưng công việc này không dễ với nhiều học sinh, chưa nói đếnviệc xác định xong còn phải dùng một số kỹ năng, kiến thức để tính được độ dàicủa đoạn thẳng Với mong muốn làm đơn giản những bài toán phức tạp, rút ngắnthời gian giải toán để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, làmcho nhiều học sinh có thể giải được bài toán khoảng cách

Vì vậy, việc đề ra cách tiếp cận đơn giản cho loại bài toán tính khoảngcách; để có thêm phương tiện và công cụ giải bài toán này thì việc hình thànhmột chuyên đề giúp đồng nghiệp và học sinh trong học tập, giảng dạy là cần

thiết Xuất phát từ những lí do nêu trên, tôi đã chọn vấn đề “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH khi giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian” Làm đề tài

nghiên cứu khoa học của mình

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu ứng dụng của HAI CÔNGTHỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH trong giải bài toán tính khoảng cách; hệ thốnglại các bài toán cơ bản trong chương trình và hướng dẫn cách tiếp cận bài toántheo hướng đơn giản

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNGCÁCH và các bài toán tính khoảng cách trong không gian

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa;

Tổng hợp, phân loại các bài toán tính khoảng cách

2 NỘI DUNG.

2.1 Lý thuyết cơ sở

Mục này sẽ nhắc lại các định nghĩa, các tính chất cơ bản của Khoảng cách

và đặc biệt là giới thiệu HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH để làm cơ

sở nghiên cứu của các mục tiếp theo

2.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm và đường thẳng Trong mặt phẳng , gọi là hìnhchiếu vuông góc của trên Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

2.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm và mặt phẳng Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi làkhoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Kí hiệu:

2.1.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Định nghĩa: Cho đường thẳng song song với mặt phẳng Khoảngcách giữa đường thẳng và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kìcủa đến mặt phẳng , kí hiệu là

2.1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song , làkhoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu

2.1.5 Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

*) Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau và

Gọi là mặt phẳng chứa và song song với và là hình chiếuvuông góc của trên mặt phẳng

Vì nên Do đó cắt tại một điểm Gọi giao điểm đó là Gọi là mặt phẳng chứa và , là đường thẳng đi qua và vuông gócvới Khi đó nằm trong mặt phẳng nên cắt đường thẳng tại

Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một

trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳngcòn lại

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặtphẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

2.1.6 Hai công thức tỉ số khoảng cách.

 Công thức thứ nhất

Khi việc dựng gặp khó khăn hoặc đã biết trước hay tính đượckhoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ta dịch chuyển việc tính khoảngcách từ điểm đến mặt phẳng về tính khoảng cách từ điểm đến mặtphẳng Tức ta tìm số thực sao cho

Để tìm được số thực ta thường sử dụng các kết quả sau

 Công thức thứ hai

đó, đường cao của tứ diện được tính theo công thức

Hay khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là và được tính theo công thức (1)

sử dụng công thức này.

2.2 Một số bài toán và hướng dẫn sử dụng công thức tỉ số khoảng cách khi giải toán.

Bài toán 1( Bài toán điển hình)

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , cạnh bên

Bài toán điển hình này khi hướng dẫn học sinh giải toán đòi hỏi giáo viên phải giải chi tiết cả bằng cách dựng hình chiếu của các điểm trên mặt phẳng cần tính khoảng cách và cả bằng cách sử dụng công thức tỉ số khoảng cách Ý 1, được xem là nền tảng của các ý còn lại, nó cũng đơn giản nên giáo viên sẽ hướng dẫn để đa số học sinh giải được

A O

D

C B

S

H

I M

N

J

K L

Vậy

2 Tính

Bình luận Rõ ràng việc xác định được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

là việc không dễ đối với đại đa số học sinh Sau đây ta nhìn nhận cách giải toán theo đúng lý luận toán học cho bài toán này.

Trong mặt phẳng , dựng cắt tại , suy ra

gọi là trung điểm của Dựng Ta có và

sinh sử dụng Công thức tỉ số khoảng cách thứ nhất.

Chúng ta nhận thấy việc tính khoảng cách từ từ đến mặt phẳng

bằng Công thức tỉ số đã lược bỏ được khá nhiều bước phức tạp của bài toán Những bước mà không phải học sinh nào cũng thực hiện được Cách này đã đưa

từ bài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn là tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

3 Tính

Bình luận: Việc xác định được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

đã khó khăn với nhiều học sinh, ở Ý 3 này khi xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là điều không thể với nhiều học sinh Và trong quá trình giảng dạy tôi thấy có rất ít học sinh có ý tưởng để thực hiện được bài toán này.

Sau đây, chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh sử dụng Công thức tỉ số khoảng cách thứ nhất để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

5 Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Bình luận: Khi giảng dạy bài toán này, tôi nhận thấy nhiều học sinh không xác

định được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng Do đó, việc tính khoảng cách từ đến mặt phẳng các em cũng không thể thực hiện được.

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ cho học sinh cách sử dụng Công thức tỉ số thứ nhất để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu hỏi đặt ra ở đây là để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng , chúng ta tính thông qua điểm nào? Như chúng ta đã biết, với bài toán tính góc, tính khoảng cách, tính thể tích thì chân đường cao của khối đa diện là rất quan trọng Do đó, khi giải các bài toán loại này chúng ta thường hướng đến chân đường cao của khối đa diện.

Ta có, hai điểm và nằm trên đường thẳng cắt mặt phẳng tại Suy ra

G A

B

D

C M

Bài toán 2 (Đề thi tuyển sinh đại học Khối D, năm 2007)

Cho hình chóp có đáy là hình thang ,

Cạnh bên vuông góc với đáy và Gọi làhình chiếu vuông góc của trên Tính theo khoảng cách từ đến mặt

Trong dựng tại Ta có

Trong vuông tại , ta có

.Hai điểm và nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng tại

Bình luận.

Trong cách giải này, việc xác định được điểm là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là không dễ Trong quá trình dạy học, Tôi đã gặp một số trường hợp các em có học lực khá còn xác định nhầm Vì không chứng minh được tam giác vuông tại

Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải bài toán.

Sau đây, Tôi sẽ hướng dẫn học sinh sử dụng CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH THỨ 2 để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Khi sử dụng công thức này, học sinh sẽ không phải xác định điểm là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

Để sử dụng được Công thức tính thể tích thứ hai, Học sinh phải dựng đượcmột tứ diện vuông tại Như vậy, ta kéo dài và cắt nhau tại Khi đó,

tứ diện là tứ diện vuông

Bài toán 3 ( Đề thi đại học Khối B năm 2014)

Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh , góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

.Hai điểm và nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp tại có:

Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải bài toán.

Để giải được bài toán này, ta thấy việc tính được khoảng cách từ đến

là mấu chốt của bài toán Tuy nhiên, nếu sử dụng cách giải thông thường thì chúng ta phải xác định được hình chiếu của trên Sau đây, tôi sẽ hướng dẫn học sinh sử dụng Công thức tỉ số thứ hai để tính khoảng cách từ đến

Xét tứ diện vuông Gọi , ta có

.Hai điểm và nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp tại có:

Bài toán 4 ( Câu 40 - Đề minh họa TN THPT năm 2020 – Bộ Giáo Dục và Đào Tạo).

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại

vuông góc với mặt phẳng đáy và (minh học như hình vẽ) Gọi làtrung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

I H

Gọi là trung điểm của Ta có

Khi đó

Kẻ Suy ra

Ta có

Bình luận: Với cách giải này, học sinh phải xác định được hình chiếu của

trên Tuy nhiên công việc này không phải học sinh nào cũng làm được.

Sau đây chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh áp dùng CÔNG THỨC TỈ SỐ THỨ HAI để giải bài toán.

Gọi là trung điểm của Ta có

Khi đó

Xét tứ diện , ta có

Vậy

Bình luận: Rõ ràng khi áp dụng Công thức tỉ số thể tích thứ 2 thì lời giải đã

trở nên đơn giản và sẽ có nhiều học sinh giải được loại bài toán này.

Bài toán 5 (Đề thi tuyển sinh đại học Khối D năm 2008).

Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại ,

, cạnh bên Gọi là trung điểm của

Bài tập 1 Cho hình lập phượng có cạnh bằng Tính

Lời giải.

O D A

C

B

B' A'

Vì đề bài cho chưa có góc nào để có tứ diện vuông, nên ta phải dựng thêm đường thẳng để có tứ diện vuông Vì ABC đều nên ta nghĩ ngay đến kẻ đường cao của tam giác

Gọi và lần lượt là trung điểm của và Ta có ngay tứ diện vuôngtại , gọi là giao điểm của với Vì , suy ra

Ta có

.Muốn tính khoảng cách từ đến mặt phẳng thông qua khoảng cách từ

Bài tập 3 ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007)

Cho hình chóp , có đáy là hình thang, ,

Cạnh bên vuông góc với đáy, Gọi làhình chiếu vuông góc của trên Tính ?

Lời giải.

H S

Gọi là giao điểm của với ; là giao điểm của với Dễthấy là trung điểm của

Bài tập 4 Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi

là trung điểm của Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Khi đó

= = Suy ra

1 Trình bày lý thuyết cơ bản về khoảng cách và các tính chất.

2 Trình bày hai công thức tỉ số khoảng cách

3 Trình bày ứng dụng của hai công thức tỉ số khoảng cách trong giải toán vàcách định hướng ứng dụng hai công thức trong bài toán khoảng cách.

Đặc biệt, kết quả chính đạt được của đề tài là: Phương pháp sử dụng haicông thức tỉ số khoảng cách trong giải toán và phát triển các dạng bài toán tínhkhoảng cách trong chương trình THPT

Kết quả đạt được trong đề tài có thể dùng làm tài cho giáo viên tham khảodạy ôn tập, học sinh làm tài liệu học tập

Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn, nên đề tài có thể chưa đầy

đủ và khó tránh khỏi sai sót Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của thầy,

cô và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 29 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác

Lê Văn Tiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, (2009), Sách giáo khoa Hình học lớp 11, NXB giáo dục.

[2] Hà Văn Chương, Phạm Hồng Danh, (2010), Giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng, NXB Đại học sư phạm.

[3] Đề minh họa TN THPT năm 2020 – Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.