bài tập tương giao của đồ thị hàm số

Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ nhất... Hệ số góc của tiếp tuyến tại A.. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.. Tại 3 ñiểm phân biệt lập thành cấp số nhân... Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm ph

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Cho

2 3 ( ) :

1

x

x

+

= + Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua (2; )2

5

A sao cho (d) cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N nhận A làm trung ñiểm

Giải:

Vì ñường thẳng x=2 ñi qua A nhưng chỉ cắt (C) tại 1 ñiểm

Vậy phương trình ñường thẳng ñi qua A và cắt (C) tại M, N có dạng (d): ( 2) 2

5

y=k x− +

Hoành ñộ giao ñiểm của (C) và (d) là nghiệm của PT:

2

2

( 2)

5 ( 1) (5 2) (10 13) 0(*)

k x

ðể C) và (d) cắt nhau tại M, N phân biệt nhận A làm trung ñiểm thì:

2

2

1 2

(5 2) 20( 1)(10 13) 0

4 2

;

18 ( / ) 15

∆



⇔



−



 =



( ) :C y=x −3x CMR: ðường thẳng (d):y=m x( +1)+2luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh

Giải:

Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

3

1 0

x

+ =

 Vậy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm A cố ñịnh có tung ñộ là: ( 1;2)A −

( ) :C y=x −3x Tìm m ñể ñường thẳng (d):y=m x( +1)+2luôn cắt (C) tại 3 ñiểm

A, B, C phân biệt và tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc với nhau

Giải:

Ta thấy hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

2

Ta thấy (d) luôn cắt (C) tại 1 ñiểm cố ñịnh A(-1;2) nên ñể cắt tại 3 ñiểm phân biệt thì:

9

(*) 4

⇔

− = − ≠

2

2

'( ) '( ) 3( 1)

B C



1 2

1

( 2)





= − +



Bài 4: Cho

2 1 ( ) :

1

x

=

− CMR: Với mọi m, ñường thẳng y=m luôn cắt (C) tại 2 ñiểm A,

B Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ nhất

Hoành ñộ giao ñiểm của (C) với y=m là nghiệm của PT:

2 2

1

g

∆





= − ≠



Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, nên (C) luôn cắt y=m tại A, B phân biệt

A x m B x m ⇒AB = x −x = x +x − x x

1 2 2 2 2 2 2

1 2

1

( 1)





= − +

 Vậy AB nhỏ nhất là 2 Dấu “=” xảy ra khi m= −1

Bài 5: Tìm m ñể ( ) :d y=2mx−mcắt (C):

2

2

y x

−

=

− tại 2 ñiểm phân biệt thuộc 2 nhánh của

ñồ thị

Hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm của PT:

2

2

2

x

−

ðể giao ñiểm nằm về 2 phía ñồ thị tức là 2 phía của TCð x-2=0 ta có: x1<2<x2 ⇔(m−1) (2)g =(m−1)( 2)− <0⇔m>1

Bài 6: Cho hàm số 1

x y x

− +

= + (C) Tìm m ñể (C) cắt ñường thẳng (d m):y=mx+2m−1 tại 2 ñiểm phân biệt A, B:

a Thuộc 2 nhánh của ñồ thị (C)

b Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau

c Thỏa mãn ñiều kiện 4OA OB = 5



Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

x

x

− +

2

x ≠ −

( )C cắt (d m) tại 2 ñiểm phân biệt A, B⇔ f x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2

−

2

0

0

6

0

m

m

m



 ≠



≠ −



 − = − − ≠



(*)

a) Hai ñiểm A, B thuộc 2 nhánh của ñồ thị

⇔ f x ( ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 mà 1 1 2

2

x < − <x

1 1 3 0 0

6

m

m

>



⇔ − = − − < ⇔

< −

a Hệ số góc của tiếp tuyến tại A B lần lượt là:

( ) ( )2 ( ) ( )2

( ) (2 )2

A B

k k

nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông

góc với nhau Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán

b Gọi x x1; 2 là 2 nghiệm của f(x) Giả sử A x mx( 1; 1+2m−1 ;) B x mx( 2; 2+2m−1)

1 2

m

m m

x x

m

−



+ = −





−



4

OA OB= ⇔OA OB− =












2 2

2 2

2

3 2

5

4

5

4 5

4

−

;

2 4

Bài 7: Cho hàm số (C):y=x3−3mx2−mx và ñường thẳng d: y = x + 2

Tìm m ñể hàm số (C) cắt ñường thẳng d:

a Tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC

b Tại 3 ñiểm phân biệt lập thành cấp số nhân

Lời giải:

a Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

x3−3mx2−mx=x+2⇔g x( )=x3−3mx2−(m+1)x−2 0=

⇔g'( )x =0 có 2 nghiệm phân biệt và ñiểm uốn của ñồ thị hàm số y= g x( ) nằm trên

- Phương trình g x'( )=3x2−6mx−(m+1)=0 có ∆ =' 9m2+3m+ >3 0 nên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

- Hàm y=g x( ) có ñiểm uốn là U m( ; 2− m3−m2−m−2)∈Ox khi và chỉ khi:

−2m3−m2−m−2 0= ⇔(m+1 2) ( m2−m+2)=0⇔m= −1

b ðk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x x x1; ;2 3 lần lượt lập thành cấp số nhân Khi ñó ta có: g x( ) (= x−x1)(x−x2)(x−x3)

1 2 2 3 1 3

1 2 3

3

1 2

x x x









=



3

5

3 2 1

+

3 2 1

m = −

+ , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn

3 2 1

m = −

+ Bài 8: Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+2m+1

a Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt lập thành cấp số cộng;

b Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ hơn 3

Lời giải:

Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm: x4−2(m+1)x2+2m+ =1 0; (1)

ðặt t=x t2, ≥0 thì (1) thành: f t( )=t2−2(m+1)t+2m+ =1 0

a ðiều kiện ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân

2

0

m

m

m

> −



(*)

Với (*), gọi t1<t2 là 2 nghiệm của f(t), khi ñó hoành ñộ giao ñiểm của hàm số với Ox lần lượt là: x1= − t2;x2 = − t x1; 3= t x1; 4= t2

Các giao ñiểm lập thành cấp số cộng ⇔ x2−x1=x3−x2 =x4−x3 ⇔t2 =9t1

4

9

m

=







9

= − 

Nguồn: Hocmai.vn