bài tập sự tương giao của đồ thị hàm số

BTVN BÀI LUYỆN TẬP SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Cho hàm số

2 3 3

x x y

x

=

− (1)

a Tìm m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2

b Tìm m ñể ñường thẳng d: y=m x( −2)+ và ñường cong (1) cắt nhau tại A, B phân 3

biệt sao cho M(2; 3) làm trung ñiểm của AB

Giải:

a Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

2

2

3 3

x x

x

ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng y = m tại 2 ñiểm phân biệt⇔ f x( )= có 2 0

nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ( )

( )

1

1 0

2

m



>

∆ = − − − > 





(*)

Với ñiều kiện (*), gọi x x1; 2 là nghiệm của f x =( ) 0 Theo viet có: 1 2

1 2

3 2

3 2

x x m

+ = −





= −



Tọa ñộ A, B là: A x m B x m ( 1; ) ; ( 2; ) Ta có:

2

2

m= ±

b Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

2

2

3 3

x x

x

ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng y=m x( −2)+ tại 2 ñiểm phân biệt3 ⇔ f x( )= có 0

2 nghiệm phân biệt khác 1

( ) ( )( )

( )

2

7 2 7 2

2 1 0

7 2 7

2

1 0

1 2

m m

f

m

>

 + ≠

⇔ ∆ = − − + − > ⇔ <



≠

≠ −





Với ñiều kiện trên, gọi x x1; 2 là nghiệm của f x = ( ) 0 ( )

1 2

3 1 2

2 1

m

x x

m

−

⇒ + = −

+ Gọi 2 giao ñiểm là A x m x ( 1; ( 1− 2 ) + 3 ; ) B x m x ( 2; ( 2 − 2 ) + 3 )

ðiểm M(2;3)∈d là trung ñiểm của AB ( )

m

m

−

+

7 2

m = −

Bài 2: Cho hàm số (m 1)x m

y

x m

=

Dựa vào ñồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

a 2 3 1 log2

3

x

m x

+

− =

−

3

x

m x

+

− + =

−

Giải:

Số nghiệm của phương trình f x( )=g m( )là số giao ñiểm của ñường cong y= f x( )

và ñường thẳng y=g m( ) song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa ñộ Oxy

a Vẽ ñồ thị hàm số ( ): 2 3

3

x

C y

x

+

=

− như sau:

- Giữ nguyên phần ñồ thị nằm trên trục hoành Ox của (C3)- kí hiệu là ( )C t

- Lấy ñối xứng phần ñồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu ( )'

t C

⇒ = ∪ (Các bạn tự vẽ hình)

Kết luận: - 1

2

m ≤ phương trình vô nghiệm

2

m  

= 

  phương trình có nghiệm duy nhất

- 1; 2 (2; )

2

m  

∈ ∪ +∞

  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b Vẽ ñồ thị hàm số ( )' : 2 3

3

x

C y

x

+

=

− như sau:

- Giữ nguyên nhánh phải của (C3)- kí hiệu là ( ) Cp

- Lấy ( )'

p

C ñối xứng nhánh trái của (C3) qua trục hoành Ox

p p

⇒ = ∪ (Các bạn tự vẽ hình)

Kết luận: + 1

2

m ≤ − phương trình vô nghiệm

2 m 2

− < ≤ phương trình có nghiệm duy nhất

+ 3

2

m ≥ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 3: Tìm m ñể ñồ thị (C m):y= f x( )=x3−x2+18mx−2m Cắt Ox tại x1<0<x2 <x3

phân biệt

Giải:

Xét f x( )=x3−x2+18mx−2m=0

2 (9m x 1) x x (*)

2

2

2 3 1

x

x x

− +

Nghiệm của phương trình f(x)=0 là hoành ñộ giao ñiểm của ñường thẳng y = 2m với

(L): y=g(x) Nhìn bảng biến thiên ta có f x =( ) 0có nghiệm thõa mãn :

x < <x <x ⇔ m< ⇔m<

Bài 4: Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C m):y= f x( )=x3−3x2+3(1−m x) + +1 3m cắt Ox tại

x < <x <x

Xét phương trình

f x( )=x3−3x2+3(1−m x) + +1 3m=0

2

3 3 1 3 ( 1)

( )

1

1

x x x

x

x

−

−

(Cm) :y f x( ) x 2(m 1)x 2m 1 cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt

Xét phương trình: f x( )=0⇔x4−2(m+1)x2+2m+ =1 0(1)

ðặt t=x2;f x( )=g t( )=t2−2(m+1)t+2m+1 Yêu cầu bài toán ⇔ f t( )=0 có 2

nghiệm 0<t1<t2 sao cho (1) có sơ ñồ nghiệm:

Ta có: x4−x3=x3−x2 =x2−x1

⇔x4−x3=x3−x2⇔ t2 − t1 = t1− −( t1)⇔ t2 =3 t1 ⇔t2 =9t1>0

2 1

1 2

2 1

2

9

5 2( 1)

t t

m

t m

m

t m





≠ > −  ≠ > −



 = −