Bài toán tương giao của đồ thị hàm số - Lê Bá Bảo - TOANMATH.com

Lập bảng biến thiên: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch TP Huế_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà... Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ.[r]

Trang 1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà

KH¶O S¸T HµM Sè

Sù T¦¥NG GIAO

Cè lªn c¸c em nhÐ!

Trang 2

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia

Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Hoành độ giao điểm của (C) và (C’), nếu có,

là nghiệm của phương trình f x   g x (1)

Lưu ý: Phương trình f x   g x là phương trình hoành độ

giao điểm của (C) và (C’)

Đảo lại, nếu x0là nghiệm của (1), tức là:f x   0 g x0

thì điểm M x f x 0;  0  hay M x g x 0;  0  là điểm chung của (C) và (C’)

Kết quả:

- Nếu (1) vô nghiệm thì (C) và (C’) không có điểm chung

- Nếu (1) có n nghiệm thì (C) cắt (C’) tại n điểm phân biệt (n không là nghiệm bội)

Dạng toán: Tìm giao điểm và tính chất giao điểm của hai đồ thị y f x  vµ yg x 

Phương pháp:

Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x   g x (1)

Bước 2: Biện luận số nghiệm và tính chất nghiệm của (1)

Nhận xét: Rõ ràng hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của (1) nên số giao điểm và tính chất

giao điểm cũng là số nghiệm và tính chất nghiệm của (1) Điều này, đưa yêu cầu từ tính chất đồ thị sang việc biện luận phương trình sơ cấp mà chúng ta đã biết

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f x  2 0 là

Trang 3

Số nghiệm của phương trình 3f x  4 0 trên đoạn 2; 2 là

Số nghiệm của phương trình 2f x  3 0 là

Câu 5: Biết rằng đường thẳng y  2x 2 cắt đồ thị hàm số yx3 x 2 tại một điểm duy nhất, ký

hiệu x0;y0 là tọa độ điểm đó Tìm y0





 tại hai điểm phân biệt A B, có hoành độ

lần lượt x x A, B Khi đó giá trị của x Ax B bằng

x y x





4.1

x y x

 





Câu 9: Biết rằng đường thẳng y4x5 cắt đồ thị hàm số yx32x1 tại điểm duy nhất; kí hiệu

x0;y0 là tọa độ của điểm đó Tìm y0

A y010 B y013 C y0 11 D y012

Câu 10: Đồ thị hàm số y2x3x2 x 2 cắt parabol y 6x24x4 tại một điểm duy nhất Kí hiệu

x y0; 0 là tọa độ điểm đó Tính giá trị của biểu thức x0y0.

Câu 11: Đường thẳng  có phương trình y2x1 cắt đồ thị của hàm số yx3 x 3 tại hai điểm A

và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A x y A; Avà B x y B; B trong đó x Bx A Tính x By B

A x By B 5 B x By B 2 C x By B 4 D x By B7

Câu 12: Tính tổng hoành độ của các giao điểm của đồ thị hàm số 5 6

2

x y x

Trang 4

A. C cắt trục hoành tại hai điểm B. C cắt trục hoành tại một điểm

C. C không cắt trục hoành D. C cắt trục hoành tại ba điểm

Câu 15: Đồ thị của hàm số yx42x22 và đồ thị của hàm số y  x2 4 có tất cả bao nhiêu điểm

Câu 18: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình f x( ) 1 là

Câu 21: Cho hàm số y f x  liên tục trên các khoảng ( ; 2); 2;  và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình    2  

f x  f x   là

Trang 5

Câu 22: Cho hàm số y f x( )ax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tập nghiệm của phương trình f x( )f x( ) 4 0là

A {1; 0 ;1; 2 ; 3} B {1; 2} C {0 ; 3} D {1; 0 ; 2 ; 3}

Câu 23: Cho hàm số y f x( )ax3bx2cx d , (a0)có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Phương trình f f x   0 có bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 24: Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Phương trình f3 2 f x  1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Câu 25: Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình bên dưới:

Trang 6

Phương trình f f x   1 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Câu 27: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thực của phương trình  3  1

32

f x  x  là

Số nghiệm thực của phương trình f x 42x2 2 là

Câu 29: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f3x46x2 1 1 là

Trang 7

Câu 30: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ:

Khi đó phương trình 4f 3x4  3 0 có bao nhiêu nghiệm dương?

Câu 31: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình 2fsinx 1 0 trên đoạn ;5

Số nghiệm thuộc đoạn 0;7

Câu 33: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thuộc đoạn 0; 5 của phương trình fcosx1

x

y

Trang 8

Số nghiệm thuộc đoạn 0; 5 của phương trình fsinx 1 là

Số nghiệm thuộc đoạn 0 ; 3của phương trình 2 fcosx  1 0 là

Trang 9

Số nghiệm thuộc khoảng  ;  của phương trình f2cosx  f cosx2 là

Câu 39: Cho hàm số f x  liên tục trên có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn  ;  của phương trình  2 

2 cos 3 3

f x  là

Số nghiệm thuộc đoạn 5 ; 3

Câu 41: Cho hàm số trùng phương y f x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thuộc 0; 2của phương trình fcos 2x 1 bằng

Câu 42: Cho hàm số y f x  xác định trên và có bảng biến thiên như sau:

Trang 10

Câu 45: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình fsinxcosx 2 0 trên đoạn 0; 2 là

Trang 11

Câu 48: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị là đường cong trong hình bên

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình  3   

1 0

f x f x   là

Câu 49: Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị là đường cong trong hình bên Số nghiệm thực phân

biệt của phương trình f x f x 2   2 là

Trang 12

Câu 50: Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị là đường cong trong hình bên

Số nghiệm thực của phương trình f x f x 2    2 0 là

Trang 13

Số nghiệm thực của phương trình f f x     f x  0 là

Câu 54: Cho hàm số y f x  xác định trên \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt

A 1; 2 B 1; 2 C 1; 2 D  ; 2

Câu 55: Cho hàm số y  x4 2x2 có đồ thị như hình bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x4 2x2 m có bốn nghiệm thực phân biệt

A.m0 B.0m1 C.0m1 D.m1

Câu 56: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x( )m có ba nghiệm phân biệt là

A (4;) B ( ; 2) C 2;4 D ( 2; 4)

Câu 57: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x33x2 2 m có ba nghiệm phân biệt.

Trang 14

  

 



Câu 59: Cho hàm sốyx42x23 có đồ thị hàm số như hình bên dưới Với giá trị nào của tham số m

phương trình x42x2 3 2m4 có hai nghiệm phân biệt?

A

012

m m

Câu 60: Hàm số f x ax4bx2c a b c, ,   có bảng biến thiên

Có bao nhiêu số nguyên mđể phương trình f x  3m có đúng 8 nghiệm phân biệt?

Câu 61: Cho hàm số y f x xác định trên \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như sau:

Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số y f x m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt là

A 2;1 B 1; 2 C  1; 2 D 2;1

Câu 62: Cho hàm số y f x( ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình f x( ) 1  m có đúng hai nghiệm

Trang 15

Câu 63: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số yx42x22 Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để phương trình 4 2

2

x  x m có 4 nghiệm phân biệt

A m 2 B  1 m0 C m 3 D  3 m 2

Câu 64: Cho hàm số y f x  xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình vẽ sau:

Số giá trị nguyên của tham số mđể phương trình f x m có 3 nghiệm phân biệt là

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x  m 0 có hai nghiệm phân

biệt là

A.; 2 B.1; 2 C. 1; 2 D.  2 ; 

Câu 66: Cho hàm số 3

yx  x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3

x  x  m có ba nghiệm

thực phân biệt

A 0m4 B 0m2 C 0m4 D 0m2

Trang 16

Câu 67: Cho hàm sốf x x33x2 Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

Câu 69: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 3 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

12



Trang 17

Câu 72: Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của n để phương trình f16 cos2x6 sin 2x8 f n n  1  có

nghiệm x ?

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 1 1

Câu 74: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên dưới đây:

Để phương trình 3f2x  1 m 2 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;1 thì giá trị của tham số m

thuộc khoảng nào dưới đây?

A  ; 3 B  1; 6 C 6; D 3;1

Câu 75: Cho hàm số f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Số giá trị nguyên của tham số mđể

phương trình f3 4 6 x9x2 1 m20 có nghiệm là

Trang 18

Câu 77: Cho hàm số bậc ba y f x ax3bx2cx d có đồ thị như hình bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2     

Trang 19

Câu 79: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y  x m cắt đồ thị hàm số

21

x y

y f x cắt đường thẳng y1 tại ba điểm phân biệt A 0;1 , B, C sao cho các tiếp tuyến của

đồ thị hàm số y f x  tại B, C vuông góc với nhau Gía trị của S bằng

Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2018; 2019 để đồ thị hàm số yx33mx3 và

đường thẳng y3x1 có duy nhất một điểm chung?

Câu 83: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x1x2x m 0 có 3 nghiệm

phân biệt lập thành cấp số nhân tăng?

Câu 84: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2x33x22m1 có đúng

hai nghiệm phân biệt Tổng các phần tử của S bằng





 tại 2 điểm phân biệt A

và B cùng cách đều đường thẳng y0 Khi đó k thuộc khoảng

A  2 ; 1 B  1; 2 C 1; 0 D  0 ;1

Câu 86: Cho hàm số

1

x y x



  C và đường thẳng d y:   x m Gọi S là tập hợp các số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị  C tạihai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác OAB (O là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 Tổng các phần tử của S bằng

Câu 87: Cho hàm sốyx43m2x23m có đồ thị là (C m) Tìm m để đường thẳng d y:  1 cắt đồ

thị (C m) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

Câu 88: Cho hai hàm số yx2 x 1 và yx32x2mx3 Giá trị của tham số m để đồ thị của hai

hàm số có 3 giao điểm phân biệt và 3 giao điểm đó nằm trên đường tròn bán kính bằng 3

thuộc vào khoảng nào dưới đây?

Trang 20

A  ; 4 B  4; 2 C 0;  D 2; 0

Câu 89: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tập hợp tất cả các giá

trị thực của tham số m để phương trình fsinxm có nghiệm thuộc khoảng  0; là

A  1; 3 B 1;1 C 1; 3 D  1;1

Câu 90: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Tập hợp các giá trị m để phương trình fcos 2x2m 1 0 có nghiệm thuộc ;

Câu 91: Cho hàm số y f x( ) xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình  2

2.f 3 4 6 x9x  m 3 có nghiệm

Câu 92: Cho hàm số y f x  xác định trên và có đồ thị như hình bên Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để phương trình: f4 sin 4xcos4xm

Trang 21

Câu 93: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m để phương trình f f sinx m có nghiệm thuộc khoảng  0;

Câu 94: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp tất cả các giá

trị nguyên của tham số m để phương trình fsinx3sinx m có nghiệm thuộc khoảng

 0; Tổng các phần tử của S bằng

Câu 95: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Trang 22

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình f x 22xm có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7;

Câu 96: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình fsinxm có đúng hai

nghiệm thuộc đoạn 0;?

Câu 97: Cho hàm số f x  là đa thức và có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình   sin 2 

Trang 23

Tìmm để phương trình f x 22xm có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  

Trang 24

Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Chuyên đề: KH¶O S¸T HµM Sè

Chủ đề 5 : Sù T¦¥NG GIAO

Môn: TOÁN 12 _ GIẢI TÍCH

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Số nghiệm của phương trình f x  2 0 là

Lời giải:

Ta có: f x   2 0 f x 2 Do 2  2; 4 nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 2; 2 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm của phương trình 3f x  4 0 trên đoạn 2; 2 là

-1 -2

-1 2 1 O

Trang 25

Suy ra số nghiệm của phương trình trên đoạn 2; 2 bằng số giao điểm của đồ thị y f x 

với đường thẳng 4

3

y trên đoạn 2; 2 Dựa vào đồ thị ta thấy số giao điểm của đồ thị y f x  với đường thẳng 4

Số nghiệm của phương trình 2f x  3 0 là

yx  x tại một điểm duy nhất, ký

hiệu x0;y0 là tọa độ điểm đó Tìm y0

Trang 26





 tại hai điểm phân biệt A B, có hoành độ

lần lượt x x A, B Khi đó giá trị của x Ax B bằng

x y x





4.1

x y x

Câu 9: Biết rằng đường thẳng y4x5 cắt đồ thị hàm số yx32x1 tại điểm duy nhất; kí hiệu

x0;y0 là tọa độ của điểm đó Tìm y0

y  x  x tại một điểm duy nhất Kí hiệu

x y0; 0 là tọa độ điểm đó Tính giá trị của biểu thức x0y0.

Lời giải:

Trang 27

Ta có x0 là nghiệm của phương trình: 2x3x2   x 2 6x24x4

yx  x tại hai điểm A

và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A x y A; Avà B x y B; B trong đó x Bx A Tính x By B.

x x x

Câu 14: Cho hàm số yx2 x21 có đồ thị  C Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. C cắt trục hoành tại hai điểm B. C cắt trục hoành tại một điểm

C. C không cắt trục hoành D. C cắt trục hoành tại ba điểm

Trang 28

Câu 18: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình f x( ) 1 là

Lời giải:

Số nghiệm của phương trình f x( ) 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x( )và

đường thẳng y 1 Nhìn BBT trên ta thấy đường thẳng y 1cắt đồ thị hàm số y f x( ) tại 2

điểm Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Câu 19: Cho hàm số f x x33x1 Tìm số nghiệm của phương trình f f x   0

Lời giải:

Trang 29

Xét phương trình f x  0 x33x 1 0 dùng máy tính cầm tay ta ước lượng được phương

trình có ba nghiệm và

1 2 3

1,8791,5320,347

x x x

f x x  x , ta có bảng biến thiên của f x  như sau:

Xét phương trình f f x   0 1  ta ước lượng được

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x  ta có:

+ Với f x  1,879 phương trình  1 có 1 nghiệm

+ Với f x 1,532 phương trình  1 có 3 nghiệm

+ Với f x 0,347phương trình  1 có 3 nghiệm

Trang 30

+ Với f x    b  2; 1  

 

3 4 5 6

22; 11; 02

20;12; 3

+ Với f x  c 2 vô nghiệm

Ta thấy hàm số y f x  đơn điệu trên  ; 2, f x 1   a b f x 3 nên x1x3

Hàm số y f x  đơn điệu trên 2;, f x 6   b 0 f x 9 nên x6x9

Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt

Câu 21: Cho hàm số y f x  liên tục trên các khoảng ( ; 2); 2;  và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình    2  

x   x   và phương trình f x 3 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều

kiện 2 x3   1 x4 Vậy phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt

Câu 22: Cho hàm số y f x( )ax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tập nghiệm của phương trình f x( )f x( ) 4 0là

A {1; 0 ;1; 2 ; 3} B {1; 2 } C {0 ; 3} D {1; 0 ; 2 ; 3}

Lời giải:

Trang 31

Ta có: f x( )f x( ) 4  0 f x( ) 0 hoặc f x( ) 4

Từ đồ thị, ta thấy: f x( ) 0 có hai nghiệm là x 1và x2 vì đồ thị của hàm số cắt trục

hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x 1và x2;

Mặt khác, đồ thị hàm số cắt đường y4 tại hai điểm có hoành độ là x0và x3 nên

( ) 4

f x  có hai nghiệm là x0và x3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {1; 0 ; 2 ; 3}

Câu 23: Cho hàm số y f x( )ax3bx2cx d , (a0)có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Phương trình f f x   0 có bao nhiêu nghiệm thực?

Lời giải:

Đặt t f x , phương trình f f x   0 trở thành f t 0 *  (số nghiệm phương trình  * là

số giao điểm của đồ thị f x  với trục Ox) Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình  * có 3 nghiệm t thuộc khoảng 2; 2, với mỗi giá trị t như vậy phương trình f x t có 3 nghiệm

phân biệt Vậy phương trình f f x   0 có 9 nghiệm

Câu 24: Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Phương trình f3 2 f x  1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Lời giải:

Trang 32

f x  có 3 nghiệm phân biệt x1   2; 1,x2  1; 0,x3 1; 2

Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt

Câu 25: Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình bên dưới:

Phương trình f f x   1 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Trang 33

Số nghiệm thực của phương trình  3  1

32

f x  x   

3 3

13213

Trang 34

+ Xét  3  1

32

Số nghiệm thực của phương trình f x 42x2 2 là

Trang 35

x  x b   b có 4 nghiệm thực phân biệt

- Phương trình x42x2 c, 0  c 1 có 2 nghiệm thực phân biệt

Số nghiệm của phương trình f3x46x2 1 1 là

Trang 36

Dựa vào bảng biến thiên, ta có      

Dựa vào bảng biến thiên, có:

- Phương trình (1) vô nghiệm

- Phương trình (2) có đúng 4 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm

Trang 37

3x x có một nghiệm âm một nghiệm dương

Vậy phương trình 4f 3x4  3 0 có 2 nghiệm dương

Số nghiệm của phương trình 2fsinx 1 0 trên đoạn ;5

x

y

Trang 38

Số nghiệm thuộc đoạn 0;7

25

;121;

1

25

- Phương trình (4) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm

Trang 39

Số nghiệm thuộc đoạn 0; 5 của phương trình fcosx1

Lời giải:

Đặt tcosx, t  1;1 ta được f t 1 t a với a 0;1

Xét hàm số g x cosx trên đoạn 0; 5

Đồ thị của hàm số g x cosx tên đoạn 0; 5 là

Dựa vào đồ thị ta có cos x a có 5 nghiệm trên 0; 5

Vậy phương trình fcosx1 có 5 nghiệm trên 0; 5.

Số nghiệm thuộc đoạn 0; 5 của phương trình fsinx 1 là

Trang 40

34

Câu 36: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	3,56 MB