CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TẬP VỀ HÌNH CHÓP TRONG HÌNH HỌC 12

CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP GÓC – KHOẢNG CÁCH Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng trong chương trình hình học không gian nói chung và trong những bài toán có liên quan đ

CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP

GÓC – KHOẢNG CÁCH

Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng trong chương trình hình học không gian nói chung và trong những bài toán có liên quan đến hình chóp nói riêng Và một trong những ứng dụng quan trọng nhất của quan hệ song song – vuông góc trong việc giải các bài toán hình học không gian cũng như các bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và khoảng cách.Ta đến với những bài toán sau:

Bài 1: Cho (),(   ) (A ( 

( (    =  = (,(P)), MAM = , MAA =  ,,

 x2(cot2 + cot2) = x2 12 12 2 cos

2

2 2

2

AB SI

 2[a2 + (a – x)2].[a2 + (a – y)2] = [4a2 – 2a(x + y)]2

 a4 + a2[2a2 – 2a(x + y) + x2 + y2] + (a2 + x2 – 2ax)(a2 + y2 – 2ay) = 2[2a2 – a(x + y)]2

 a4 + 2a4 – 2a3(x + y) + a4 + a2(x2 + y2) + 4a2xy – 2a3(x + y) + x2y2 – 2axy(x + y) = 8a4 – 8a3(x + y) + 2a2(x2 + y2) + 4a2xy

= AK2 

 sin AKI = 3

2

2 3 3

AKI =

3



 SC CE ((SCB), (SCD)) SC CB       = ECB + SE.SD = SC2 SE = 2 4 3 a a = 4 3 3 a  DE = 3 3 a  CE2 = DE.SE = 4 3 3 4 2 3 a 3 a 3a + 2 2 2 5 2 2 6 cos 2 3 3 BD a SD SB BD SB a ESB SD SB SD a               BE2 = SE2 + SB2 – 2.SE.SB.cos ESB = 16

3 a2 + 6a2 – 2.2 2 4 3 2 2 6

3 3 a a 3a  cos ECB = 2 2 2 2 CE CB EB CE CB   = 2 2 2 4 2 2 6 3 3 3 2 3 2 2

3 a a a a a    ECB = arccos 6 3 Bài 5: Cho 

ê

D C

B A

 '

'2

4 2

= S (ABC)  ABC

2

S



+

S

SAB

 

(SAI)BC  Ich S (SAI)

2



4.sin 2



2

2

4

2

3 tan 1 2





Bài 7:

=

ỉ ở  

ê

Gi i:

H

S

E

4a

 SIJ AD SI AD SI d (do d / /AD / /BC)

2 39sin SBC

Suy ra: VS.ABD = 3 2

a d(SB, AD)

12 (2)

: = 3a 4 ỉ ơ ỉ ỏ ú ổ

Bài 11: = =

CH CA, SH 6a 3 3   J

( )  J

( ) 

:

= 3 o ABC 60  

Suy ra : AK 1 3 AK 3 o CA a tan ABK ABK 30 3 3 AB 3         (1)

Á ụ ý e e

:

BI MC NS 1 MS 1 ( 1) 1 2 BC MS NI MC MS 2 MC        J Á ụ e e

J :

TA MC JS MS 1 ( 2) .( 1) 1 TC MS JI MC TA 1 2 TC        :

Suy ra :BTC o TBA ABC 60      (2)

:  BK  TB (3)

ê

ê

J ù

ê J ê  JK  TB (4)

3 4 : (JBK)  TB JBK (( ), (ABC))      : JK 6a, BK 2 3a BJ 6a 6 3 2      cos JBK = BK 2 2 BJ  3 Bài 12 : ’ ’ ’ ’

’ ’ ù

’ ’C :

’ ’ ’ ’

CD (K  CD)  ’ H  B' K) ’ ’ J J ’

:

CD BK CD (B' BK) BH B'C BH (B' DC) CD BB' BH DB' BH B' K                    ’ ’ ê  ’

J ê BH B 'C

BH A ' B







J

Bài 13 : ụ

= ;

ê

c

:

SK HSK J

J

ụ ê AB KE AB KE (SAK) KE BH KE SA           + BH SK BH (SKE) IJ (SKE) IJ KE IJ BD (do BD / /KE) BH KE IJ / / BH                   +IJ  (SKE)   IJ SC J

: a a 3 3a 2 2 a 13 KB , KC , KA , KS SA AK 2 2 2 2       =

KB.KA 3a 13

KH

3a 13 KH 26 3 KS a 13 13 2   Suy ra : CJ 3 CS 13 J J ê

: 10 10 5a 3 13 13 13 SH HJ HJ KC SK  KC     = J ê 5a 3 5 13 D 3 13 BI B  a  ê

: 1 IJ 13 13 13 BH BK a BH SA  SK     ( BH // IJ , HJ // BI  J

BÀI TẬP TỰ LUYỆN mp(ABCD), :

;

;

, SA SAa 2 , BSC 45  , ASB 

6 0 3

3 6 2a AC ê

=

mp(SAD)

4 = = = =

ê : =a

5 ở = = ê

=

ỏ ổ 6 0

, AC = b, =

600 :

b

7 = =

= ỏ ơ J

e J

ã

8 ê

K H

O I

SI 3 IO

IS 1 ) 1 (

2

1 IO

IS 1 MS



Bài 2: Cho h

’ ’ ’

.1SC

'

M CSB

- ’

ù

SA

S MBC S ABC

1

'2

1 .2

2

OASOSA

'30

h h a

h h

c) ’ ’ ’ ?

22

2 2 2

2 2

h

a h a

SC SA

2

''

2

h a

ah SC

AC SH AC SC

AC AC

h h

a HE SH HC AH HC

(2

2 2

(2

2.2

'')//

''('

'

2

2 2 2

2

h

a h a h

a h h

a SH

SE BD D B BD D B SH

SE BD

D

:

.2

1'''

2

h a

ah

)2

(2

2 2

h

a h

)2(2

)2

(

2 2

2 2 2

h a h

a h a

(2

)2

(2

42'

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

a h

a h h

a

h a a

h AC SA SC

0 1

Gi i:

- : e

’ ’ ơ ’ ’ ’ ’ ’ ’

C

B A

S

- ’ ’ ’ ’ :

)SCD//(

'D

'

C

)SAB//(

'B'

A

'D'C//

'B'

CD

)SAB//(

AB

CD//

Bài 6: ’ ’ ’ ’

’ ’ ’ ’

'D'C//

'B'A

SF

)SCD()SAB(

SE

:

)P//(

SE'D'C//

'B'A//

SE'

SAB

(

SE

)SCD()

E F

D

C B

A

S

AB FI JE AB FI JE

CD JI FE CD JI EF

2,

//

//

2,

AB KL AL AK SA

AL SA

''

;'''')('

'

//

'''',

L C C K AB L K SAB mp

L

K

KL L K SL SK SL SK AL

x AC

R

AC CB

h SB

SA SB

SB SB SB

h

Rh x

R h

2

44

2

:

'

''

4 22

2

B C AC AC

CM R

' '.

2

1 sin ' ' '.

' 2

1 sin

' '.

' 2

1 sin '.

' '.

' 2

1 sin '.

' '.

2

1 sin ' ' '.

2

1

L K AB L

K B C K

AC

L C B C K

C B C L

C AC K

a PQ CD

PQ

b MQ SA

1

22

M N//

PQ

2

SHEF

M NEF

CD//

PQ

CD//

M N

SH//

EF)

R//(

CD),R//(

SHBC

A S

-   tan

4

5a2

tan.BCHB2

tan.HC2

SHEF

2 2

SAC ( mp BD SA

BD AC

BD

)) mp(

SC do ( D

- AB SB

AB

SC

ABBCSA

BC,AB

BC

1 1

ABAD

2

BDD

B2

2

3a

2

1a

1AC

1SA

1

AC

1

1 2

2 2 2 2

6 a 2

2 a 2

1 S

2 D

H

S

Q J

P

I R D

A

QR

CD//

RS//

PQAB

SRCD

PQAH

IJ SR S

PQRS

- :

15a

2x42

3a.4

a3a2

2axHB

.HBAB

2axAB

HB.HA

xHE

IKBH

BICD

SR

2 2 2

2x.CD

- :

15a

2x15a15a

2x1HB

BI1HB

BIBHHB

a

)2x15a.(

2x4.15

x30aSR.IJ

S

2 PQRS

B A

S

- ’

- :

1BS

SNBNBC

1SA

1.xSB

3 4

a 3 2 60 cot '.

AA 2 ' BA 2

2

3a

1a

MA

ở (MNP)

RC

RB RC

RB MB

MA NA

3.2

1.1

RM BM

BA CA

A

- Á ụ e e R :

11

2.2

1.1

QD

QB QD

QB RB

2.3

2.1

RQ BQ

BD CD

CP RP

RQ

- :

1

.2

3

2CP12

- Á ụ R R :

11260

cos.4.12.2412cos

2

11760

cos.3.12.2312cos

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

PCN CN

PC CN

PC

PN

RCP CP

RC CP

RC

RP

RCN CN

RC CN

RC

RN

721322

R

SAB mp

CD

//

//

)(

)

(

)(

//

ê

2.PQ CD

KF

Trong KEF e ý

)sin(

)sin(

Fsin

sin      

a E

KE KF

)sin(

sin

;)sin(

sin.1

KE SE

KE SE SE

SK AB PQ





cos2

)sin(

.)

sin(

cos.sin21

cos.sin)

sin(

)sin(

.)sin(

sin.2

1

2

2 2

: ê 

e a,

Bài 16:  = x ( 0< x < AC)

sin

sin

sin

sin

2 2

2 2

AC

CD

AB

MA CM AC

CD

AB

MA CM AC

CD

AB

AM AC

CD CM

AC

AB MQ MN

AM CD AC

CM AB MQ

2

.2).(

J

= = = = :

AB IJ mp(ABJ), CD

CD BJ CD, AJ

2

2 2 2 2

JAB

I

JO E

PQ JI

JO JA

JE JA

JE JA

14

1

.1

JI

AB JI

JO JI

JO CD AB JI

JO CD

4

.)

AD CI

3 3

1 2 1 1

IK

1

2 2 2 2 2

2

a IK a

a a ID



603

2 2

x AQ MA

MQ x

)22(2

x a a

x a a SA

SQ AD PQ SA

2 2 3

2 2

3 1 2

1 1

1

1

2 2 2 2 2

2

a x

HA x

x x AM

AQ

R

O

Q P

D E

K N A



 ẫ ê ú ú ý ê :

2

1))(

Á ụ e e 3 ICP:

QE QP QE

ã

Bài 20: =

’ ’ =

ở

e

Gi i:

''

S

- TH 2: ’

2

3ax3

3ahay),'AM

a

x2.BCQR3

ax2

3a

x'

3x.SOPMa

3x3

3a

xAO

0,

3

3 a x 3

a 2 3

3 a 2 S

2 2

3 3 a 0,

a

x2'

BCRTa

a2x.326

3a3

3ax'OA

OM'

+ 6a x 3

a

)3x2a3.(

SO'

M Ma

3x2a36

3a

x2

3a'OA

a 3 S

2 max   

8

3 a 3 x 4

a 3 S

2 max   

’

8

3a3

BC

SA BC

CC CB

45 ' 

CMN~ CAS ê

AC

CM SA

HC a

3

32

3

22



AC

AM BC MQ

3

2

2 3

3

33

AC

a HC SH

3

323

4

3a a a BC SC

3

3 2

J J’

H

Q

L

HI SH

AA' BJ = ’ A' BA~ ABJ ê

BJ

AB.AJA'

SB BD

:

2

7 2

2

2 2 2

BL

SI BL BS

BL

3

723

44

39

2 2

a a

2

6

3 2

SH SF

3

3 2

J J = J

J :

6

23

3.6

6

2

a a a IP

: 5 ;

ụ =

ở ?

8: ở

ê =

THỂ TÍCH – CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

SB a SA

' ' '

:

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC S

C B A

.

' ' '

3

k abc

abc c

b a k

abc ca

bc ab

SB a SA

3bkz

V

S A B C S ABC V

G

D

CB

S DGA



Suy ra :

14k(ab bc cd da)4

S.ADC

S.B'A'D'V

S.BAD

S.B'C'D'V

S.BCD



(a c)(b d) k ac bd k4

4bkz

4ckt

k

2V

S.A'B'C'D'

VV

j 1 i

S.A1A2A3… n

: :

'

i

i i

Hay i

i

kna

A

B C

B'

A'

C'

S' G

a

SA   

'

1,'

1,'

SA '.SB' SB'.SC ' SC '.SA '

: :

c SC

b SB

a

SA   

'

1,'

1,'1

A

B C

B'

A'

C'

S' G

3kbty

3kctz

1M2M3 ê c   1, 2, 3, ,n

n i

N M

S

A

C

B H

ABC SBC

Suy ra :

2

a 34

C B

2 2

2 2

2

a t 12

t4sin

Rút kinh nghiệm:

“ ” ê ú ê e

I O

S

D

C B

e

:

: DABC DA

SASBAC

b 2hSBAC

b

Gi i:

SC SB SM

512

51

AC

=

cos

2 2

x

(**)

) 

2 2

sin

x

=

2

2 2

2 2

sincos

sin

sincos 

3

sincos

sin.sin 3

OH

=

cos2

2 tan

.

2 2 2 2

d h OH SH

SO

x OA

x

 x =

2 tan 2 1

tan 2



d

tan 2

3

tan 2 1 ) tan

S ABC

=

SC SB SA

SC SB SA

''

' '

SC

SC SC SB

SB SB

4

.SC

SB SA

V ’ ’ = V

SC SB

SA

4

SD SC

SA

2 2 4

.32

 V ’ ’ ’ = 2 2 2

2 2 4

3

)2

.(

SD SC SB

SC SB V

, V =

4

32

h a

=

) 4 )(

3 )(

.(

4

) 2 ( 3

2 2 2 2 2 2

2 2 5 2

a h a h a h

a h h a

Gi i:

)(

)(

SBM AK

AK SB P

SB

AK MB SAM

.

SB

SB SH SM

SM SK

2

4

R h R

2

4

R h R h

h



 = 3.( 2 2 2)( 2 4 2)

5 2

R h R h

h R

.BC 2 KH BC KA BC

ơ SAB)2 = SABC.SHAB , (SSAC)2 = SABC.SHAC

: SAB)2 + (SSAC)2 + (SSBC)2 = (SABC)2

SSAB + SSAC + SSBC  SSAB2 S SAC2 S SBC2(12 12 12)  3SABC

MN AB CD

CD AB

SAB AB

MCD CD

MN SAB

mp MCD mp

//

//

//

)(

)(

)()(

SA CD

AD CD

=

SB

SN SA

MNCD

SABCD

V V

SABCD

SABCD

V V

2723

A

B

C D

x (2k 1)x k

D' E'

B

C

D E

Á ụ ý sin cho B' AD' và B' AC' :

MA MB MC MDT

c) ỏ

Bài tập4:

0 BAD ABC 90 , AB AD a, BC a 6

ê ê  

a)

b) e ,  Khi  ã  c) ỏ

Bài tập 9:

ê =4 ; ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ỏ

→ bài toán 1: 3

’ ’ ’ : ’ ’ ’

:

:

ụ

3 ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ê

’ ’ ’ ă 3 ’ ’ ’ ’ ă ê

_ : ’ ă 3 ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’

(A;k)C'N (C)

D' B'

C'

t

→ ĩ : “ ” ẽ ơ “ ” ; “ ” ẽ ơ “ ” “ ” ẽ

ơ “ ” ;

→ : ABCD

MA1, MB1, MC1, MD1 1,B1,C1 l :

” “ ” ẽ ơ “ ” 3;

inh:

; 1, B1, C1, D1 ∆ ∆ ∆ ∆

h a



Suy ra: R =

2 236

r R

 

63

a h

6a

0

0

S S

SAC AMK

S S

ẫ e ý : ’ ’ :

3: ở ỉ

2 = = = e

O O'  S x0 ;k x 0

:

2 ( ) 4 k x kx  : ổ ; : ổ : 2

24 k a V  ã ỉ : = – x

2 k x  

2 24 ma x k a V  ã ỉ = =

2 k

4 ỹ

ẽ ê 3

ẽ

’

ê

ở ở

:

' 2

2 SB x O SC y       

ỹ ’

’J’ ơ :

2

k



   

J

I

J’

I’

S



J

A

y

x

a AE

a BF

:

2 2 1 4 a AE  

2 1 4 a AE    ơ ũ :

2 2 2 1 1 4 4 a a BF   BF  :

2 2 1 1 1 1

3 3 2 6 1 1 1 (4 ) 6 4 24 BCD V S AH CD BF AH CD AE BF a a a a            

f(a) = 2 (4 ) a a ’ = -3a2 + 4 ê : V max 3 1 24 8 V   ã ỉ =

ù e ồ ê

:

BCD =

ACD =

(BCD)(ACD) :

a

f’(a)

f (a)

3

0

1

3



2 3

0

A

D

C

B

2 ỹ ê

Z

E

S

ẽ PH AC :

PH = h

.3

2 2 2 2 2 2

2 2

222

1 .

3

21

a

cos cos

:

21

, 0,3