Bài tập toán 11 phần lượng giác

Phần I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác 1. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có sđ = α sinα = yM; cosα = xM. tan α = ; cot α = 2. Các tính chất Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1 3. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1; 1 + tan² α = ; 1 + cot² α = 4. Các công thức liên hệ cung cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos α sin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin α tan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan α cot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot α cos(π2 + α) = –sin α cos(π2 – α) = sin α sin(π2 + α) = cos α sin(π2 – α) = cos α tan(π2 + α) = –cot α tan(π2 – α) = cot α cot(π2 + α) = –tan α cot(π2 – α) = tan α 5. Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb 6. Công thức nhân đôi sin2a = 2sin a cos a cos2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a 7. Công thức hạ bậc cos² α = sin² α = 8. Công thức biến đổi tích thành tổng 9. Công thức biến đổi tổng thành tích I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Hàm số y = tan x xác định khi x ≠ π2 + kπ, k thuộc Z Hàm số y = cot x xác định khi x ≠ kπ, k thuộc Z Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau a) y = cos x + sin x b) y = c) y = d) y = e) y = + 1 f) y = g) y = h) y = tan (x + π4) i) y = cot (2x – π3) II. Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Công thức đối: cos (–x) = cos x; sin (–x) = – sin x; tan (–x) = – tanx; cot (–x) = – cot x Phương pháp: Bước 1. Tìm TXĐ D; Với mọi x thuộc D → –x thuộc D Bước 2. Tính f(–x); so sánh với f(x). Có một trong 3 khả năng có thể xảy ra + f(–x) = f(x) → hàm số chẳn + f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ + f(–x) ≠ f(x) f(–x) ≠ –f(x) thì chọn giá trị xo và tính f(–xo), f(xo) thỏa mãn điều kiện suy ra hàm số không chẳn không lẻ. Bài 2: Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau a) y = 2 cos x b) y = sin x + x c) y = sin 2x + 2 d) y = –2 tan² x e) y = sin |x| + x² f) y = cos III. Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác Bài 3: Lập bảng biến thiên của hàm số a) y = –sin x + 1 trên đoạn –π; π b) y = –2cos (2x + π3) trên đoạn –2π3; π3 IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a) y = 2 sin (x – π2) + 3 b) y = 3 – 2 cos 2x c) y = –1 – cos² (2x + π3) d) y = e) y = f) y = sin² x – 4sin x + 3 Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a) y = sin x trên đoạn –π2; π3 b) y = cos x trên đoạn –π2; π2 c) y = sin x trên đoạn π6; 3π4 d) y = cos (πx 4) trên đoạn 1; 3 V. Phương trình lượng giác Bài 6: Giải các phương trình sau a. b. d. e. f. cos 7x – sin 5x = (cos 5x – sin 7x) g. tan x – 3cot x = h. i. 2sin 2x + 2sin² x = 1 Bài 7: Giải các phương trình sau a. 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b. 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0 c. 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d. 2 (sin4 x + cos4 x) = 2 sin 2x – 1 e. cos (4x3) = cos² x f. (3 + tan² x) cos x = 3. g. 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h. 6sin² 3x + cos 12x = 4 Bài 8: Giải các phương trình sau a. 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2 b. 3 sin² x + 8 sin x cos x + (8 – 9) cos² x = 0 c. 4 sin² x + 3 sin 2x – 2 cos² x = 4 d. 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x e. sin² x + sin 2x – 2cos² x = 12 Bài 9: Giải các phương trình sau a. 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b. sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12 c. 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d. cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0 Bài 10: Giải các phương trình sau

Phần I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác

1 Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có sđAM¼ = α

sinα = yM; cosα = xM

tan α = sinα (α π kπ)

cosα ≠ + 2 ; cot α = cosα (α kπ)

sinα ≠

2 Các tính chất

Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1

3 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1;

1 + tan² α = 12

cosα ;1 + cot² α = 12

sinα

4 Các công thức liên hệ cung

cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos αsin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin αtan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan αcot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot αcos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α

sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α

tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α

cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α

5 Công thức cộng

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

tan a tan b tan(a b)

1 tan a.tan b

+ + =

−

tan a tan b tan(a b)

1 tan a.tan b

−

− =

+

6 Công thức nhân đôi

sin2a = 2sin a cos a

cos2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a

2

2 tan a tan 2a

2

1 sinα sin β cos(α β) cos(α β)

2

1 sinα cosβ sin(α β) sin(α β)

2

9 Công thức biến đổi tổng thành tích

α β α β cosα cosβ 2cos cos

I Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Hàm số y = tan x xác định khi x ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z

Hàm số y = cot x xác định khi x ≠ kπ, k thuộc Z

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = cos x + sin x b) y = cos x 1

x 2

+ + c) y = sin x 4+

II Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác

Công thức đối: cos (–x) = cos x; sin (–x) = – sin x; tan (–x) = – tanx; cot (–x) = – cot x

Phương pháp:

Bước 1 Tìm TXĐ D; Với mọi x thuộc D → –x thuộc D

Bước 2 Tính f(–x); so sánh với f(x) Có một trong 3 khả năng có thể xảy ra

+ f(–x) = f(x) → hàm số chẳn

+ f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ

+ f(–x) ≠ f(x) & f(–x) ≠ –f(x) thì chọn giá trị xo và tính f(–xo), f(xo) thỏa mãn điều kiện suy ra hàm số không chẳn không lẻ

Bài 2: Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau

a) y = 2 cos x b) y = sin x + x c) y = sin 2x + 2

d) y = –2 tan² x e) y = sin |x| + x² f) y = cos 3x

III Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác

Bài 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

a) y = –sin x + 1 trên đoạn [–π; π]

b) y = –2cos (2x + π/3) trên đoạn [–2π/3; π/3]

IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

a) y = 2 sin (x – π/2) + 3 b) y = 3 – 2 cos 2x c) y = –1 – cos² (2x + π/3)

d) y = 1 cos 4x 2 + 2 − e) y = 2 sin x 3 + f) y = sin² x – 4sin x + 3

Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

a) y = sin x trên đoạn [–π/2; π/3] b) y = cos x trên đoạn [–π/2; π/2]

c) y = sin x trên đoạn [π/6; 3π/4] d) y = cos (πx / 4) trên đoạn [1; 3]

V Phương trình lượng giác

Bài 6: Giải các phương trình sau

a 3 cos x sin x − = 2 b cos x − 3 sin x = − 1

d 3sin 3x − 3 cos9x 1 4sin 3x = + 3 e sin x cos (x4 4 π) 1

Bài 7: Giải các phương trình sau

a 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0

c 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d 2 (sin4 x + cos4 x) = 2 sin 2x – 1

e cos (4x/3) = cos² x f (3 + tan² x) cos x = 3

g 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h 6sin² 3x + cos 12x = 4

Bài 8: Giải các phương trình sau

a 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2b 3 sin² x + 8 sin x cos x + (8 3 – 9) cos² x = 0

c 4 sin² x + 3 3sin 2x – 2 cos² x = 4 d 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x

e sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2

Bài 9: Giải các phương trình sau

a 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12

c 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0

Bài 10: Giải các phương trình sau

a cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 b 2 + cos 2x = – 5 sin x

c 6 – 4cos² x – 9sin x = 0 d 2 cos 2x + cos x = 1

e 4sin4 x + 12cos² x = 7

Bài 11: Giải các phương trình sau

a 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1)

b 1 + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = 2 cos² (π/4 – x/2)

c 1 + 3 tan x = 2 sin 2x d (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = 1

e sin 2x (cot x + tan x) = 4 cos² x f 2 cos² 2x + cos 2x = 4 sin² 2x cos² x

g cos 3x – cos 2x – 2 = 0 h 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x

i sin 2x + 2 tan x – 3 = 0 j sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x

k tan³ (x – π/4) = tan x – 1 l sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2

m sin 2x + cos 2x + tan x = 2 n cos 3x – 2 cos 2x + cos x = 0

Bài 12: Giải các phương trình sau

a sin² x + 2 sin 2x = 3 – 7 cos² x b cos³ x – sin³ x = cos x + sin x

c sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos³ x d sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = 0

e sin³ (x – π/4) = 2sin x f 3cos4 x – sin² 2x + sin4 x = 0

g 3sin4 x + 5cos4 x – 3 = 0

Bài 13: Giải các phương trình sau

a cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x b 2 cos³ x + cos 2x + sin x = 0

c 1 + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x d 6 (cos x – sinx) + sin x cos x + 6 = 0

e sin³ x – cos³ x = 1 + sin x cos x f 1 1 sin x cos x 10

cos x sin x + + + = 3

g 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18

h 2 (1 + cot² x) + 2 tan² x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0

i cos³ x – sin³ x + 1 = 0

j 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x)

Bài 14: Giải các phương trình sau

a sin 2x + 2cos 2x = 1 + sin x – 4cos x b sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – 2

c sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = 0 d cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1

4

e sin4 (x/2) + cos4 (x/2) = 1 – 2sin x f cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0

g sin6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x h sin4 x + cos4 x – cos² x = 1 – 2sin² x cos² x

i 3sin 3x – 3cos 9x = 1 + 4sin³ x j cos x sin x sin x

m sin xcos x + cos x = –2sin² x – sin x + 1 n sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x)

o 5(sin x cos3x sin 3x) cos 2x 3

1 2sin 2x

+

+ p sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x

q cos 3x – 4cos 2x + 3cos x – 4 = 0 r 4 2

4

(2 sin 2x)sin 3x tan x 1

cos x

− + =

s tan x + cos x – cos² x = sin x (1 + tan x tan x

2) t cot x – 1 = cos 2x sin x2 1sin 2x

1 tan x + − 2

+

TỔ HỢP

I Quy tắc đếm

1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B

Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách

2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực

hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách

II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

1 Hoán vị:

a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự

định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A

b Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n

Qui ước: 0! = 1

2 Chỉnh hợp:

a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số tự nhiên k ≤ n Khi lấy ra k phần tử trong

số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử

a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số tự nhiên k ≤ n Một tập hợp con của A có k

phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

+ Trong khai triển nhị thức Newton bậc n có n + 1 số hạng Trong một số hạng thì tổng số

mũ của a và b bằng n Các hệ số của số hạng nhị thức cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau

+ Số hạng tổng quát thứ k + 1 là k n k k

T + = C a − b

41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?

Bài 2: Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn

trong số các phần tử của A?

Bài 3: Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số

1 xuất hiện ba lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?

Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi

riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?

Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối

hai điểm trong các điểm đó?

Bài 6: Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập

được bao nhiêu tam giác?

Bài 8: Tìm số tự nhiên n, nếu n 3n

n 1

2P A

P − = .

Bài 9: Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – 6 + C3n ≥ C3n 1+

Bài 10: Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển (11 + x)11

Bài 11: Trong khai triển (2 x3 3 )10

x

− , với x > 0, tìm số hạng không chứa x.

Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển [1 + x²(1 – x)]8

Bài 13: Cho khai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10, có các hệ số ao, a1, a2, , a10 Tìm hệ số lớn nhất

Bài 14: Tìm số hạng

a thứ 13 trong khai triển (3 – x)25

b thứ 18 trong khai triển (2 – x²)25

c không chứa x trong khai triển (x + 1/x)12

d không chứa x trong khai triển (x x3 914)12

Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa

a x4 trong khai triển (x/3 – 3/x)12

b x8 trong khai triển ( 13 x )5 12

x +

c x5 trong khai triển (1 + x + x² + x³)10

d x³ trong khai triển (x² – x + 2)10

e x³ trong khai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50

f x³ trong khai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22

1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ

hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )

Khi d = 0 thì cấp số cộng có các số hạng đều bằng nhau

Tìm số hạng đầu và công sai của nó

Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là

165

Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là

1140

Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng

với công sai là 25

Bài 7: Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16

Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số

hạng đầu là 30 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

45 S 2

Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = –1 Tính d và S11.

Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u4 = 18 Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên

CẤP SỐ NHÂN

1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ

hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội

Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có

un+1 = un.q (n = 1, 2, )

Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,

Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,

Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,

|uk| = u k 1 k 1− .u + với k ≥ 2

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Cho một cấp số nhân (un) với công bội q

Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48

Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: 1 2 3

+ Nếu |un| < vn với mọi n, lim vn = 0 thì lim un = 0

+ lim un = L → lim|un| = |L| + lim un = L → 3 3

n

lim u = L

+ lim un = L, un > 0 với mọi n → L > 0 và lim u n = L

+ Với cấp số nhân mà |q| < 1 thì S = lim (u1 + u1q + u1q² + + u1qn–1) = u (1 q ) 1 n u 1

lim

+ lim nk = +∞ với mọi k > 0 + lim qn = +∞ nếu q > 1

+ lim un = L thì lim (k.un) = k.L + lim un = L, lim vn = M thì lim (un + vn) = L + M+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un.vn) = L.M

+ lim un = L, lim vn = M ≠ 0 thì lim (un / vn) = L / M

3n 4n 1 lim

2n 3n 7

3 3

n 4 lim

5n n

+ +

+

n(n 1) lim

(n 4)

+ +

Bài 2 Tìm các giới hạn sau:

+ +

n 2n

+ +

Bài 6 Tìm các giới hạn sau:

2x 9 lim

→+∞

− +

Bài 2 Tìm các giới hạn sau:

a x 2lim (2x2 3x)

x 1

5x 2 lim

x 1

→

+ +

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:

5x 3x 1 lim

3x 1 lim

3x 1 lim

2x 5

→−∞

+ +

x 3 4x lim

a x 0lim f (x)→ b x 3lim f (x)→ c x 1lim f (x)→

Bài 7 Tìm các giới hạn sau

x 1

x 2x 3 lim

x 2

x 3x 2 lim

x x 6

→

+ −

x 1 lim

→

3 2

x 1 lim

x 3 2

→−

+ + −

f (x)

3 khi x 5 2

Bài 4: Cho hàm số f(x) =

x 2x 5 khi x 0 4x 1 khi x 0

Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định

Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục tại xo

Bài 7: Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 8: Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (–2; 5)

Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) ax² + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax² + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) cos x + m cos 2x = 0

Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

a) x² – 3x + 1 = 0 b) x³ + 6x² + 9x + 1 = 0

ĐẠO HÀM

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và xo thuộc (a; b)

+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó

2 Ý nghĩa của đạo hàm

+ f′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo))

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo)) là y = f′(xo)(x –

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo bằng định nghĩa ta thực hiện các bước

Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo)

Bước 2: Tính

o

x x

y lim x

1 x x y

x 1

+

= +

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau

Bài 5: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng

a) (sinn x.cos nx)′ = n sinn–1 x cos (n + 1)x b) (sinn x.sin nx)′ = n sinn–1 x sin (n + 1)xc) (cosn x.sin nx)′ = n cosn–1 x cos (n + 1)x d) (cosn x.cos nx)′ = –n cosn–1 x sin (n + 1)xVẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; f(xo)) là y = f′(xo) (x – xo) + f(xo)

2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1; y1) cho trước:Cách 1:

+ Đường thẳng (d) đi qua điểm A có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x – x1) + y1

+ Đường thẳng (d) và đồ thị (C) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

+ Gọi tiếp điểm là M(xo; f(xo))

+ Phương trình tiếp tuyến tại M(xo; f(xo)) có dạng là y = f′(xo) (x – xo) + f(xo)

+ Tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1) <=> y1 = f′(xo) (x1 – xo) + f(xo)

+ Giải phương trình theo ẩn xo Viết phương trình tiếp tuyến

3 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) song song với đường thẳng (Δ) y = ax + b

+ Gọi tiếp điểm là M(xo; f(xo))

+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = a

+ Tìm xo, sau đó viết phương trình tiếp tuyến

4 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) vuông góc với đường thẳng (Δ) y = ax + b

+ Gọi tiếp điểm là M(xo; f(xo))

+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = –1 / a

+ Tìm xo, sau đó viết phương trình tiếp tuyến

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x² – 2x + 3 với đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C):a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ xo = 1

b) Song song với đường thẳng (Δ) 4x – 2y + 5 = 0

c) Vuông góc với đường thẳng (Δ) x + 4y = 0

d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2 x x2

x 1

− +

− với đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 3x 1

1 x

+

− với đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (Δ) y = (1/2)x + 2

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): 2x + 2y – 5 = 0

Bài 4: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² với đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1; –2)

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị(C) không đi qua I

Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = 1 x x − − 2 với đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

a) Tại điểm có hoành độ xo = 1/2

b) Song song với đường thẳng (Δ) x + 2y = 0

VẤN ĐỀ4: Tính đạo hàm cấp cao

1 Để tính đạo hàm cấp cao ta dùng công thức: y(n) = [y(n-1)]′

2 Tính đạo hàm cấp n

B1 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

B2 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

Bài 1: Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cos x

a) Tính f′(x), f′′(x) b) Tính f′′(π/2), f′′(0), f′′(π)