Đề cương học kì 2 môn toán lớp 9

Phiếu học tập tuần toán 7 Tailieumontoan com  Điện thoại (Zalo) 039 373 2038 ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 9 Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng 3 năm 2021 Website tailieumontoan com ĐỀ CƯƠNG MÔN TOÁN 9 HK2 NĂM HỌC 2020 2021 I MỤC TIÊU 1 Kiến thức Học sinh cần nắm lại được các phép biến đổi căn bậc hai, cách biến đổi đồng nhất các biểu thức, các dạng đồ thị hàm số y ax b= + và 2y ax= , các phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn và phương trình quy về bậc hai, cách làm bài toán giải bằng cá[.]

ĐỀ CƯƠNG MÔN TOÁN 9 HK2 NĂM HỌC: 2020 - 2021

- Học sinh cần nắm chắc các định nghĩa, tính chất của các loại góc với đường tròn, nắm được về định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, hiểu được về đường tròn nội, ngoại tiếp đa giác, có các công thức tính độ dài và diện tích các hình học quen thuộc

- Biết liên hệ giữa các công thức và các ứng dụng trong thực tế

2 Kỹ năng: Học sinh cần có các kỹ năng:

- Biến đổi đồng nhất các biểu thức

- Vẽ đồ thị các hàm số và tìm mối quan hệ giữa chúng

- Giải các loại phương trình bậc hai, phương trình bậc cao và các loại phương trình đặc

biệt khác

- Có kỹ năng giải các loại hệ phương trình và giải quyết điều kiện để hệ phương trình đáp ứng yêu cầu của đề bài

- Có kỹ năng áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai

- Nắm được và biết cách giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

- Biết cách sử dụng các công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình, biết cách đưa vào các hình trong thực tiễn

- Biết áp dụng các định nghĩa, định lý hình học và các tính chất để chứng minh các yêu

cầu theo bài tập giao

II N ỘI DUNG ÔN TẬP

D ạng 1: Các bài toán rút gọn

Bài 1: Cho hai biểu thức: 4

1

x A x

=

−3) Tìm tất cả các giá trị của x để 5

+

=+ và

11

x B

x x

=+

3) Tìm tất cả các giá trị của x để P=2AB+ x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho biểu thức 3

2

x P x

+

=

− và

24

1 52

Q

x x

−+ với x>0;x≠41) Tính giá trị biểu thức P khi x= 9

=+ và

2 2493

B

x x

−

−

− với x≥0;x≠91) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25

2) Chứng minh biểu thức 8

3

x B x

+

=+3) Tìm giá trị của x để P=A.B có giá trị là số nguyên

Bài 5: Cho biểu thức 2

5

x A x

x B

x x

−

−+ với x≥0;x≠25

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh 1

5

B x

=

− 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B x= − 4

Bài 6: 1) Tính giá trị của biểu thức 1

1

x A x

Bài 7 1) Cho biểu thức 4

2

x A x

3) Với giá trị của biểu thức A và B nói trên Hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị

của biểu thức B A là số nguyên 1

b) Có hai nghiệm âm phân biệt

c) Có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương d) Có hai nghiệm cùng dấu

e) Có hai nghiệm x x th1; 2 ỏa mãn 3 3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , 1 x th2 ỏa mãn điều kiện 2 2

x +x =

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

Bài 10 Cho phương trình ( ) 2

m− x − mx+ − =m ( x là ẩn)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x= − 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 11 Cho phương trình 2

2( 1) 4 0

x − m+ x m + − = ( x là ẩn)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng: Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Chứng minh biểu thức M =x1(1−x2)+x2(1−x1) không phụ thuộcm

d) Tìm hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm của phương trình

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x th1; 2 ỏa mãn x1+2x2 = 0

Bài 12 Cho phương trình 2

4 1 0

x − x m+ + = (1) a) Giải phương trình (1) khi m= 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x x th1, 2 ỏa mãn đẳng thức

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương

e) Tìm m để nghiệm x x c1; 2 ủa phương trình thoả mãn: 3x1−5x2 = 4

Dạng 3: Quan hệ của đường thẳng và parabol

Bài 13. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) 2

:

P y= − và đường thẳng x d y: = −x 2 cắt nhau tại hai điểm A B, Tìm tọa độ giao điểm A B, và tính diện tích OAB∆ (trong đó O là gốc

tọa độ, hoành độ giao điểm của A lớn hơn hoành độ giao điểm của B)

Bài 14. Cho parabol ( ) 1 2

:4

P y= x và đường thẳng d y: =mx+1a)Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng d và ( )P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b)Gọi A B, là giao điểm của d và ( )P Tính di ện tích tam giác OAB theo m (O là gốc

b)Gọi x x 1, 2 là hoành độ của A và B Tìm m để 2 2

1 2 2 1 2014

x x +x x =

Bài 17 Cho Parabol ( ) :P y= và đường thẳng x2 ( )d y=mx+ +m 1

a) Tìm mđể ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

b) Gọi x và 1 x 2 là hoành độ của A và B Tìm m để x1−x2 = 2

c) Tìm mđể ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng bên trái của trục tung

Bài 18 Cho Parabol ( ) :P y= và đường thẳng x2 ( )d y=mx+1

a) Vẽ ( )P và ( )d khi m= 1

b) Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng ( )d luôn đi qua một điểm cố định và

luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A, B

c) Tìm m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 ( đơn vị diện tích)

Bài 19: Cho Parabol ( ) 2

:

P y= −x và đường thẳng đi qua điểm M(0; 1− ) có h ệ số góc là k

a) Viết phương trình đường thẳng ( )d CMR: k∀ thì đường thẳng ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B

b) Gọi hoành độ của ,A B là x x CMR: 1, 2 x1−x2 ≥ 2

a) Giải hệ phương trình với a= − 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x+ > y 0

Bài 22: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với m= 1

b) Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó

c) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm

D ạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bài 24: Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng, đường dài 100km , lúc về vận tốc tăng thêm

10 km/h, do đó thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 30 phút Tính vận tốc lúc đi

Bài 25: Một tam giác vuông có chu vi 30m , cạnh huyền 13m Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông

Bài 26: Một cano xuôi dòng 44km , rồi ngược dòng 27 km hết tất cả 3 h 30 Biết vận tốc thực '

của cano là 20km/h Tính vận tốc dòng nước

Bài 27: Một ô tô đi quãng đường dài 150km với thời gian đã định Sau khi đi được 1

2 quãng đường ô tô dừng lại 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn xe phải tăng tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc dự định của ô tô

Bài 28: Một ô tô phải đi từ A đến B trong một thời gian đã định Sau khi đi được 1 giờ, ô tô

dừng lại 15 phút, do đó để đến B đúng hẹn xe tăng tốc thêm 10km/h Tính vận tốc lúc đầu của ô tô biết quãng đường AB dài 90 km

Bài 29 Một hình chữ nhật có chu vi là 100 m Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10

m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200 m Tính chiều rộng của hình lúc đầu 2

Bài 30 Hai vòi nước chảy vào bể thì 6 giờ đầy bể, nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì

vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ Tính thời gian mà mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Bài 31 Hai công nhân nếu làm chung sẽ hoàn thành công việc trong 4 ngày Người thứ nhất làm

nửa công việc, sau đó người thứ hai làm một nửa công việc còn lại thì toàn bộ công việc được hoàn thành trong 9 ngày Hỏi mỗi người làm riêng sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Bài 32 Một phòng họp có 100 người được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế Nếu có thêm 44

người thì phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 2 người Hỏi lúc đầu phòng họp

có bao nhiêu dãy ghế?

Bài 33 Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc ở cùng một chỗ Người thứ nhất đi về phía

bắc, người thứ hai đi về phía đông Sau 2 giờ họ cách nhau 60 km theo đường chim bay

Biết vận tốc người thứ nhất lớn hơn vận tốc người thứ hai là 6 km/h Tính vận tốc của

mỗi người

Bài 34 Một công nhân được giao làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định Khi còn

làm nốt 30 sản phẩm cuối cùng người đó nhận thấy cứ giữ nguyên năng suất cũ thì sẽ

chậm 30 phút, nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm so với dự định 30 phút Tính năng suất của người công nhân lúc đầu

Bài 35 Một bè nứa trôi tự do ( trôi theo dòng nước) và một canô đồng thời rời bến A để xuôi

dòng về phía bến B Canô xuôi dòng được 96 km thì quay ngay trở về A Cả đi lẫn về hết

14 giờ Trên đường quay về A khi còn cách A 24km thì canô gặp chiếc bè Tính vận tốc

của canô và vận tốc của dòng nước

N P(N B P C≠ , ≠ ) Gọi D là giao điểm của MP và AB

a) Chứng minh AIDPlà tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh ID BC//

c) Gọi E là giao điểm của MN và AC Chứng minh ba điểm I D E, , thẳng hàng

Bài 37 Cho nửa đường tròn ( )O có đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn OA (C A ≠ , C )

Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất

kỳ trên cung KB (M ≠K, B ) Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM , BM lần lượt tại H, D Đường thẳng BHcắt đường tròn tại điểm thứ hai là N

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CA CB =CH CD

c) Chứng minh ba điểm A, N , D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi

qua trung điểm của DH

d) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm

cố định

Bài 38 Cho đường tròn  O và điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường

tròn  O ( B là tiếp điểm) và đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm

I IC O Đường thẳng AI cắt đường tròn  O tại hai điểm D E, (D nằm giữa A và

E) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE

a) Chứng minh bốn điểm A B O H, , , cùng nằm trên một đường tròn

Bài 39 Cho đường tròn  O ngo ại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N, lần lượt là điểm chính

giữa của cung nhỏ AB BC, Hai dây AN CM, cắt nhau tại I Dây MN cắt các cạnh ,

AB BC lần lượt tại các điểm H K,

a) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh 2

NB NK NM c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

Bài 40:

Bài 41: Cho đường tròn ( ) O và điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với

đường tròn (B,C là các tiếp điểm )

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Gọi E là giao điểm của BC, AO Chứng minh BE ⊥ OA và 2

.

R = OA OE c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn lấy điểm K bất kỳ (K ∈ B C , ) Tiếp tuyến tại

K của đường tròn cắt AB,AC lần lượt tại P, Q Chứng minh chu vi tam giác APQ

không đổi khi K di chuyển trên cung nhỏ BC

Bài 42 Cho nửa đường tròn ( )O , đường kính AB= Trên nửa mặt phẳng bờ 8 AB có nửa

đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn ( )O ( A, B là các tiếp điểm) Qua M thuộc nửa đường tròn ( )O vẽ tiếp tuyến thứ ba (M là tiếp điểm, M khác A và

B) , tiếp tuyến này cắt tia Ax tại C , cắt tia By tại D

a) Chứng minh tứ giác OACM , OBDM nội tiếp

b) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F Tứ giác OEMF là hình gì? Vì sao?

c) Gọi I là trung điểm của OC và K là trung điểm của OD Chứng minh tứ giác

OIKM nội tiếp

d) ChO AC+BD=10 Tính diện tích tứ giác OIMK

Bài 43 Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B Người ta kẻ trên cùng một

nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy một điểm

I Tia Cz vuông góc v ới tia CI tại C và cắt Bytại K Đường tròn đường kính IC cắt

IK tại P Chứng minh:

a) Tứ giác CPKB nội tiếp

b) AI BK =AC CB

c) ∆APB vuông

d) Giả sử A B I, , cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình

thang vuông ABKI lớn nhất

Dạng 7 Hình học không gian và các bài tập thực tế

Bài 44 Cho hình vẽ là một mẩu pho mát được cắt ra từ một khối pho mát dạng hình trụ

có các kích thước như hình vẽ Tính khối lượng của mẩu pho mát biết khối

lượng riêng của pho mát là 3

3 /g m

Bài 45 Một cái trục lăn có dạng một hình trụ, đường kính của đường tròn đáy là 42cm, chiều

dài trục lăn là 2 m Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo trên sân

mặt phẳng môt diện tích là bao nhiêu ? (Lấy 22

7

Bài 46 Một vật thể hình học như hình vẽ bên Phần trên là một

nửa hình trụ, phần dưới là một hình hộp chữ nhật với các

kích thước cho như trên hình vẽ Tính thể tích của vật

thể hình học này

Bài 47 Một vật thể gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn

lại có dạng hình nón Các kích thước cho trên hình bên Hãy tính:

a) Thể tích của dụng cụ này

b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy)

Bài 48. Một cái xô đựng nước như hình vẽ dưới đây

Tính thể tích nước chứa đầy xô

Bài 49 Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để được nước có bán kính đáy là 25cm và 13cm,

chiều cao là 8cm

a) Tính dung tích của xô

b) Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các chỗ ghép)

Bài 50 Hai hình cầu đồng tâm có bán kính Rvà

2

R

Tính thể tích phần không gian được giới hạn

bởi hai mặt cầu theoR

Bài 51 Cho tam giác ABC vuông tại A, B = ° , AB a50 = Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC quanh c ạnh BC thu được hình cầu Tính thể tích hình cầu đó theo a

Bài 52 Khi quay một hình vuông xung quanh cạnh của nó thì được một hình trụ có diện tích

xung quanh bằng diện tích hình tròn có đường kính a 2 Tính thể tích hình trụ theo a

Bài 53 Cho đường tròn ( ; )O R và một điểm M cách O một khoảng là

2

R

Qua M vẽ một dây cung ABvuông góc với OM Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AB và cung nhỏ

AB theo R

Bài 54 Cho đường tròn ( ; )O R và một điểm M sao cho OM =2R Từ M vẽ các tiếp tuyến MA

và MB với đường tròn (A,B là các tiếp điểm) Tính theo R diện tích giới hạn bởi hai

tiếp tuyến MA, MB và cung nhỏ AB

Bài 55 Cho hai hình trụ đồng trục có chiều cao a , bán kính của hai hình trụ lần lượt là a và 2a

Tính thể tích của khối nằm ngoài hình trụ nhỏ và nằm trong hình trụ lớn

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: Cho hai biểu thức: 4

1

x A x

+

+ − + với x≥0;x≠ 11) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 9

2) Chứng minh: 1

1

B x

=

−3) Tìm tất cả các giá trị của x để 5

+

=

− ĐKXĐ: x≥0;x≠1Thay x= (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức 9 A ta có:

x x

x− ≥ ∀ nên để thỏa mãn đề bài thì x x− = ⇔ = (thỏa mãn) 2 0 x 4

Kết luận: Với x= thì thỏa mãn đề bài 4

Bài 2: Cho hai biểu thức: 1

2

x A x

+

=+ và

11

x B

x x

=+3) Tìm tất cả các giá trị của x để P=2AB+ x đạt giá trị nhỏ nhất

L ời giải

1) Ta có: 1

2

x A x

+

=+ ĐKXĐ: x≥0;x≠1Thay x= (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức 4 A ta có:

x B

x x

=+ với x≥0;x≠1

Kết luận: Với x= thì thỏa mãn đề bài 0

Bài 3: Cho biểu thức 3

2

x P x

Q

x x

−+ với x>0;x≠41) Tính giá trị biểu thức P khi x= 9

Q

x x

−+

x Q

Kết luận: Với x= thì thỏa mãn đề bài 3

Bài 4: Cho biểu thức 7

8

A x

=+ và

2 2493

B

x x

−

−

− với x≥0;x≠9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25

2) Chứng minh biểu thức 8

3

x B x

+

=+3) Tìm giá trị của x để P=A.B có giá trị là số nguyên

B

x x

x B

x

+

⇒ =

+

⇒ =

+ +7

x B

x x

−

−+ với x≥0;x≠25

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh 1

5

B x

=

− 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B x= − 4

L ời giải

1) Thay x= (TMĐK) vào biểu thức 9 2

5

x A x

x B

x x

−

−+ với x≥0;x≠25

x B

− 3) Ta có: A=B x − Điều kiện: 4 x≥0;x≠25

x x

91

Vậy với x= hoặc 9 x= thì 1 A=B x − 4

Bài 6: 1) Tính giá trị của biểu thức 1

1

x A x

x P

x

14

3) Với giá trị của biểu thức A và B nói trên Hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị

của biểu thức B A là số nguyên 1

L ời giải

1) Thay x 36 vào biểu thức A

Kết luận Thỏa mãn Thỏa mãn

Vậy x25;9 thì giá trị biểu thức PB A  là số nguyên 1

a) Có một nghiệm bằng 5 Tìm nghiệm còn lại

b) Có hai nghiệm âm phân biệt

c) Có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương d) Có hai nghiệm cùng dấu

e) Có hai nghiệm x x th1; 2 ỏa mãn 3 3

m a

  



 

 thì phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương là :

m m

m c

m m

Vậy m  1 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu

e) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x x là : 1; 2

Vậy m  1thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 3 3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , 1 x th2 ỏa mãn điều kiện 2 2

x +x =

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

L ời giải

a) Giải phương trình với m= − 11

Thay m= − 11vào phương trình có: 2

4 12 0

x − x− = ( ) (2 )

′

∆ = − − − = ⇒ ∆ > ⇒ ′ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:

( ) ( )

1

2

2 16

61

2 16

21

Vậy với m= − 11thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=6;x2 = − 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ,1 x th2 ỏa mãn điều kiện 2 2

Vậy 1 <m≤ 5 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương

Bài 10 Cho phương trình ( ) 2

m− x − mx+ − =m ( x là ẩn)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x= − 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tính x12+x22, x13+x32 theo m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu

L ời giải

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x= − 2 Tìm nghiệm còn lại

Thay x= − 2 vào phương trình có: ( )( )2 ( )

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cần

00

m m

m m

1

m

m m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu cần ac< 0 2 0

1

m m

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng: Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Chứng minh biểu thức M =x1(1−x2)+x2(1−x1) không phụ thuộc m

d) Tìm hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm của phương trình

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x th1; 2 ỏa mãn x1+2x2 = 0

L ời giải

a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a c< ⇔ − < ⇔ < 0 m 4 0 m 4

Vậy m< thì phương trình có hai nghiệm trái dấu 4

m b

a c

Vậy biểu thức M =x1(1−x2)+x2(1−x1) không phụ thuộc m

d) Tìm hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm của phương trình

17 16116

17 16116

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x x th1, 2 ỏa mãn đẳng thức

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương

e) Tìm m để nghiệm x x c1; 2 ủa phương trình thoả mãn: 3x1−5x2 = 4

L ời giải

a) Giải phương trình (1) khi m= 2

Thay m= vào phương trình ta được: 2

x − x+ + = ⇔x − x+ = ⇔x − −x x+ = ⇔ x− x− =

13

x x

Vậy m= 3 thì phương trình có nghiệm kép

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương

Để phương trình có 2 nghiệm dương thì

Vậy − < 1 m≤ 3 thì phương trình có hai nghiệm dương

e) Tìm m để nghiệm x x c1; 2 ủa phương trình thoả mãn: 3x1−5x2 = 4

Vậy m= thì hai nghiệm 2 x x c1; 2 ủa phương trình thoả mãn: 3x1−5x2 = 4

Bài 13 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) 2

Thay x B = − vào phương trình 2 d y: = −x 2 ta được y B = − , suy ra 4 B(− − 2; 4)

Gọi C là giao điểm của d và Oy, suy ra C(0; 2− )

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A B, lên Oy, suy ra H(0; 1− và ) K(0; 4− )

Diện tích tam giác ∆OAB: 1 1 1.2.2 1.1.2 3

P y= x và đường thẳng d y: =mx+1a)Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng d và ( )P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b)Gọi A B, là giao điểm của d và ( )P Tính di ện tích tam giác OAB theo m (O là gốc

tọa độ)

L ời giải

a)Phương trình hoành độ giao điểm của parabol ( ) 1 2

:4

Vì ∆ >0∀ nên phương trình m ( )* luôn có hai nghiệm phân biệt

Do đó đường thẳng d và ( )P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b)

Giả sử x1, x là hai nghi2 ệm của phương trình ( )*

Thay lần lượt x1, x 2 vào phương trình đường thẳng d y: =mx+1, ta có y1 =mx1+ , 1

Vì x x1 2 = − < nên 4 0 x1, x trái d2 ấu Giả sử x1< < 0 x2

Do đó A B, nằm về hai phía của trục tung

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A B, lên Ox , suy ra H x( 1; 0) và K x( 2; 0)

Diện tích tam giác OAB : S OAB =S AHKB−S AHO−S BKO ( )**

Bài 15 Cho hàm số ( )P :y=x2 và đường thẳng ( )d :y=mx− +m 1 Tìm m để ( )d cắt ( )P tại

hai điểm phân biệt A và B có hoành độ x và 1 x th2 ỏa mãn:

Để ( )d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ là x và 1 x 2

⇒ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x và 1 x 2

10

m x

( ) ( )

b)Gọi x x 1, 2 là hoành độ của A và B Tìm m để 2 2

Thấy ac=1.( )− = − < nên phương trình 2 2 0 ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m

b)Gọi x , 1 x 2 là hoành độ của A và B

Vậy m=1007 thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Bài 17.: Cho Parabol ( ) :P y= và đường thẳng x2 ( )d y=mx+ +m 1

a) Tìm mđể ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

b) Gọi x và 1 x 2 là hoành độ của A và B Tìm m để x1−x2 = 2

c) Tìm mđể ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng bên trái của trục tung

Vậy m≠ − thì 2 ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Với m≠ − thì 2 ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt

⇔ = ( thỏa mãn) hoặc m= − ( thỏa mãn) 4

Vậy m∈{0; 4− thì} ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệtx ,1 x th2 ỏa mãn

x −x =

c) ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng bên trái của trục tung ⇔phương

trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm

m a

c a

b) *) Giả sử đường thẳng y=mx+1 luôn đi qua điểm M x y v( ,0 0) ới mọi m Khi đó

Vậy đường thẳng ( )d luôn đi qua điểm M(0;1) cố định

*) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d là

⇒Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Vậy với mọi m thì ( )P và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c) Do a c = − < nên pt 1 0 (1) có hai nghiệm trái dấu x1< < 0 x2

P y= − và đường thẳng đi qua điểm x M(0; 1− có hệ số góc là k )

a) Viết phương trình đường thẳng ( )d CMR: k∀ thì đường thẳng ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B

b) Gọi hoành độ của ,A B là x x CMR: 1, 2 x1−x2 ≥ 2

c) CMR: ∆OAB vuông

L ời giải

a) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0; 1− có hệ số góc là k có dạng: )

y=kx b+ (với k≠ ) 0Khi đó: 1− =k.0+ suy ra b b= − Vậy đường thẳng đó có phương trình là: 1 y=kx− 1Phương trình hoành độ giao điểm giữa ( )P và ( )d là:

D

O

A

C B

1

E