CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN BỘI

Ứng dụng của tích phân kép... Cách tính tích phân kép 3.1.. Áp dụng công thức Fubini và các tính chất tích phân để tính... Ứng dụng của tích phân kép 4.1.. Ứng dụng của tích phân kép 4.

TÍCH PHÂN BỘI

I Tích phân kép (Tích phân bội 2)

II Tích phân bội 3

1 Định nghĩa

2 Các tính chất

3 Cách tính tích kép

4 Ứng dụng của tích phân kép

Cho z f x y xác định trong miền đóng , bị ( , )

chặn D Ta chia miền D tùy ý thành n mảnh

nhỏ Di có diện tích là S ii, 1, n và đường

kính là di tương ứng Lấy tùy ý điểm Mi Di

Tích phân kép của hàm số z f x y theo ( , )

miền D là giới hạn của tổng tích phân khi

max di 0 và được kí hiệu là:

D

trong đó, D là miền lấy tích phân , f được gọi

là hàm dưới dấu tích phân , dS được gọi là yếu

tố diện tích

1 Định nghĩa tích phân kép

Chú ý 1

i) Nếu tích phân bên VT(*) tồn tại, thì ta nói hàm ( , )f x y khả tích trong D

ii) Nếu ( , )f x y liên tục trong miền đóng, bị chặn D thì giới hạn bên VP(*)

tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M i

iii) Nếu ( , )f x y = 1, ( , ) x y D thì diện tích của D cho bởi công thức

D

D

S dS

iv) Nếu ( , )f x y liên tục, không âm ( , ) x y D thì thể tích hình trụ xét

ở trên tính cho bởi công thức

( , )

D

D

V f x y dS

1 Định nghĩa tích phân kép

Chú thích.2.

Do tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau 1

khoảng x ) và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau 1 đoạn y ) Khi đó

dS dxdy Nên ta thường dùng ký hiệu:

6) Nếu ( , ) f x y liên tục trong miền bị chặn, đóng D thì trong D

có ít nhất một điểm ( , ) x y sao cho

( , ) ( , ) D

D

f x y dS f x y S

3 Cách tính tích phân kép

3.1 Trong hệ tọa độ Đề Các

Trường hợp 2 Nếu D = {( , ) :x y a x b y x, ( )1 y y x2( )}, thì

2 1

( ) ( )

y x b

f x y dxdy dx f x y dy

x y b

f x y dxdy dy f x y dx

Phương pháp tính:

B1 Vẽ miền lấy tích phân D

B2 Dựa vào miền D để xác định cận

Nếu miền D phức tạp thì ta chia miền D thành những miền nhỏ không có phần trong chung

B3 Áp dụng công thức Fubini và các

tính chất tích phân để tính

VÍ DỤ

1 1 0

x y

I dy e dx ,

Ví dụ 7. Tính

1 1

3 0

Ví dụ 8 Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau

ii) Các công thức (*) xác định một song ánh từ D lên D’

3i) Định thức Jacobi J =

( , )

0( , )

Chú ý 1. Ta chỉ đổi sang hệ tọa độ cực khi:

- Hàm dưới dấu tích phân có chứa x2 y , đồng 2

thời miền D giới hạn bởi các đường thẳng đi qua O

- Miền lấy tích phân D là hình tròn, hình tròn lệch, giới hạn của hai hình tròn, hoặc đường cong có chứa

x y

Chú ý 2.

- Với những miền lấy tích phân nào mà bạn có thể vẽ hình được thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dàng xác định cận lấy tích phân hơn

- Trước khi chuyển cận, bạn nên chú ý xem miền D

và hàm lấy tích phân có tính chất đối xứng không? Điều này sẽ giúp ta thu hẹp miền lấy tích phân:

- Để xác định chính xác cận tích phân, ta phải xét

trong tọa độ cực thông thường, không xét trong tọa

độ cực mở rộng Nghĩa là: r 0, 0 2 .

VÍ DỤ

Ví dụ 12. Tính ( )

D

x y dxdy , với D {x2 y2 1,  x2 y2 4,  y 0,  y x}

x a r

y b r 0 r R ,0 2

Khi đó, định thức Jacobi

cos sin sin cos

r r

r a

y

r b

0 r 1,0 2

Khi đó, định thức Jacobi

cos sin sin cos

r r

Ví dụ 22. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi phần hi ̀nh tru ̣

2 2  2

x y y nằm trong hi ̀nh cầu x2 y2 z2 4

4 Ứng dụng của tích phân kép

4.1 Ứng dụng hình học

c) Diện tích mặt cong

Mặt cong S trơn, có phương trình z f x y Hình chiếu vuông ( , )

góc của S trên Oxy là D Khi đó diện tích mặt S được tính theo công

4 Ứng dụng của tích phân kép

4.2 Ứng dụng cơ học

a) Tính khối lƣợng của một bản phẳng không đồng chất Cho một

bản phẳng chiếm miền D trong Oxy Hàm khối lượng riêng ( , ) x y Khối lượng m của bản phẳng cho bởi công thức:

( , )

D

b) Trọng tâm của bản phẳng Cho một bản phẳng chiếm miền D trong

Oxy Hàm khối lượng riêng là ( , ) x y Gọi G x y( ,G G)là trọng tâm của bản phẳng Khi đó

1 Định nghĩa tích phân bội 3

2 Các tính chất tích phân bội 3

3 Cách tính tích phân bội 3

4 Ứng dụng tích phân bội 3

1) Định nghĩa tích phân bội ba

Cho hàm số ( , , ) f x y z xác định trong một

miền đóng, bị chặn V 3 Chia miền V tùy ý

thành n miền nhỏ V và thể tích của chúng là i V i

(i = 1,…,n) và đường kính của miền là di Lấy tùy ý một điểm Mi( , , )i i i V Lập tổng i

1) Định nghĩa tích phân bội ba

Tích phân bội ba của hàm số ( , , ) f x y z theo

miền V là giới hạn của tổng tích phân khi

max di 0 và được kí hiệu là:

trong đó, V là miền lấy tích phân, ( , , ) f x y z được

gọi là hàm dưới dấu tích phân, dV được gọi là yếu

tố thể tích

1) Định nghĩa tích phân bội ba

Chú ý

i) Nếu hàm ( , , ) f x y z khả tích trên miền V , thì

tích phân bên vế trái tồn tại

ii) Nếu ( , , ) f x y z liên tục trong miền bị chặn, đóng

V thì giới hạn bên VP tồn tại và không phụ thuộc

vào cách chia miền V và cách chọn điểm Mi V i

iii) Nếu ( , , ) f x y z liên tục trong miền bị chặn, đóng

V thì nó khả tích trong miền ấy.

1) Định nghĩa tích phân bội ba

Chú ý

iv) Tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm M i nên có thể chia V bởi các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ Khi đó dV dxdydz , nên

2 Các tính chất của tích phân bội ba

Tương tự các tính chất của tích phân kép

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz

0 ( , , )

b) sang toạ độ trụ

Công thức đổi biến

Đặt

cos , 0, sin , [0,2 ] ,

c) sang toạ độ cầu

Công thức đổi biến

cos sin , 0, sin sin , [0,2 ], cos , [0, ].

r r r

4 Ứng dụng của tích phân bội 3

i) Thể tích của vật thể V cho bởi công thức

V

Chú ý Ta có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật V Như

trong một số trường hợp ta sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, vì tích phân bội ba có cách đổi biến sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu

ii) Nếu ( , , )f x y z là hàm khối lượng riêng của vật thể V , thì khối lượng của vật thể được cho bởi công thức:

( , , )

V

Hết chương 1