TÍCH PHÂN ĐƯỜNG.Giảng viên: ThS. Nguyễn Hải Sơn

MỤC TIEU BAI HOC Sau khi học xong bài này, sinh viên có thể: e Trinh bay được khái niệm tích phần đường loại I va loại II và các ứng dụng của nó.. e Ung dụng được các kĩ thuật tính tích

_ BÀI3 _ TICH PHAN DUONG

TINH HUONG KHOT DONG BAI

> Chu vi của đường tròn lớn có bằng đoạn AA'“ không? ¬

> Có người cho rằng quãng đường điểm A đi được khi chạm điểm A' bằng đoạn AA“

hay chu vi của đường tròn ngoài Theo bạn có đúng không?

> Gia sv lap luận ở câu 2 đúng Khi đó quãng đường điểm B đi được bằng BB' hay chu vi của đường tròn nhỏ Vì BB“ = AA“ nên ta sẽ có chu vi đường tròn lớn va

đường tròn nhỏ bằng nhau

e Van dé la 6 dau?

v1.0013110217

MỤC TIEU BAI HOC

Sau khi học xong bài này, sinh viên có thể:

e Trinh bay được khái niệm tích phần đường loại I va

loại II và các ứng dụng của nó

e Ung dụng được các kĩ thuật tính tích phân đường

e Lam được các bài tập liên quan đến tích phân đường

v1.0013110217

HƯỚNG DẪN HỌC

e Xem bài giảng đầy đủ và tóm tắt những nội

dung chính của từng bài

e _ Tích cực thảo luận trên diễn đàn và đặt câu hỏi

ngay nếu có thắc mắc

e Làm các bài tập và luyện thi trắc nghiệm theo

v1.0013110217

CẤU TRÚC NỘI DUNG

1 Tích phân đường loại I

2 Tích phân đường loại II

v1.0013110217

1 TICH PHAN DUONG LOẠI I

1.1 ĐINH NGHĨA — TINH CHAT

Định nghĩa

e Cho f = f(x,y) xác định trên đường cong C

e Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi

các điểm Aạ A; A, có độ dài tương ứng là Lạ,

Ly eel

¢ Trén moi cung AA,,, lay tuy y mét diém

e Lap tong tich phân: M(x, Y;)-

cách lấy điểm M, thi I được gọi là tích phân đường loại một của f = f(x,y)

trên cung C, kí hiệu là 1= |f(x,y)ds

C

Khi đó, f được gọi là khả tích trên C

v1.0013110217

5 Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiêu lẫy tích phần trên C

6 Nếu C được chia làm hai cung C, và C; không dẫm lên nhau:

[fds= [fds+ | fds

7 W(x,y)eC,f(x,y)<ø(x,y)— [fds< | gds

C C

8 Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L

Khi đó ton tại điểm Mạ thuộc cung C, sao cho

[fds=f(M,)-L

C

v1.0013110217

1.2 CÁCH TĨNH

Trường hợp 1:

[= jf(x,y)ds

C C: Ù -yœ) => ds = 1+(y') dx

Chú ý: Tương tự, ta có cách tính tích phân đường trong không gian

f(x,y,z) xác định trên đường cong C trong không gian C cho bởi phương trinh

2 TICH PHAN DUONG LOẠI II

2.5 Ung dung

v1.0013110217

15

2.1 ĐỊNH NGHĨA — TINH CHAT

Định nghĩa

P = P(x,y), Q = Q(x, y) xác định trên đường cong C

Chia C một cách tùy y ra n đường cong nhỏ bởi

2.1 ĐỊNH NGHĨA — TĨNH CHẤT (tiếp theo)

Tính chất

1 Tích phân đường loại II có các tính chất giống như tích phần xác định

2 Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiêu lấy tích phân trên C

y:(-l)>1

1 I= [2yGy' +1)dy = =0

|

v1.0013110217

2.2 CÁCH TĨNH (tiếp theo)

Chú ý: Tích phân đường loại hai trong không gian

Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn AB

2.3 CÔNG THỨC GREEN

e C la bién cua miên D (C là đường cong kín)

Chiều dương qui ước trên C là chiêu mà đi theo 2

e Mién D được gọi là miên đơn liên nếu các biên (

kín của D có thể co về một điểm P thuộc D mà

không bị các biên khác cản trở Ngược lại D Miền đơn liên

được gọi là miên đa liên

s« Chú ý: Trong đa số trường hợp, chiêu dương qui @ Uy

ước là ngược chiêu kim đồng hồ Trong trường

hợp tổng quát điều này không đúng Mien da lien

24

v1.0013110217

2.3 CÔNG THỨC GREEN

Công thức Green

D là miền đóng, bị chặn trong mặt phẳng Oxy vớibiên _

P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục

trong miên mở chứa D

2.3 CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo)

Ví dụ 1: Tính I= j (x? +3y)dx + 2ydy, trong đó C là biên tam giác OAB, với

C

O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiêu kim đồng hồ

Cung C kín, có chiêu dương

Q(x,y)=2y Q =0

P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục

trên miền D có biên C Áp dụng CT Green, ta có:

2.3 CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo)

z , ` 2

Vi du 2: Tinh I=fe* (—2xsin y.dx + cos y.dy) , trong do C:x +y =4

C

ngược chiêu kim đồng hồ

Bat P(x,y)= 2xe™ sin y

2.3 CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo)

Ví dụ 3: Tính I= [(x—y)“ˆdx+(x+y)“dy , trong đó C nửa trên đường tròn

2.4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHẦN ĐƯỜNG KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO

DUONG DI

Định lý 4 mệnh đề tương đương

Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các đhr cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở

đơn liên D chứa cung AB

Các mệnh đề sau đây là tương đương

1 OQ oP

Ox oy

2 Tich phanI= j Pdx+(Qdy không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc

noi cung AB nam trong D

3 Tích phân trên mọi đường cong kín C, trơn từng khúc trong D bang 0

2.4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHẦN ĐƯỜNG KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO

2.4 DIEU KIEN DE TINH TICH PHAN DUO'NG KHONG PHU THUOC

I= [ Pdx+Qdy= j đU=U@,y| 72 =U(2.3—UCI,2)=8

v1.0013110217

2.4 DIEU KIEN DE TINH TICH PHAN DUONG KHONG PHU THUOC

VÀO ĐƯỜNG ĐI

(6ð) xdx + ydy

Ví dụ 2: Tính I= ƒ —————

(1,0) x+y"

> tích phân không phụ thuộc đường đi

Tôn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần cua Pdx + Qdy

X

U, =P(x,y)= \x?+y2 (1) (I) > UG, y)= [P(x, y)dx + g(y)

iC yx+y? (2)=g(y)=0_ =g(y)=C

Vậy U(x,y)= fx? +yˆ +C

2.4 DIEU KIEN DE TINH TICH PHAN DUO'NG KHONG PHU THUOC

VAO DUONG DI

Vidu3: I= [(2ye” +e™ cos y)dx + (2xe” —e™ sin y)dy

a Tìm hằng số œ để tích phan I không phụ thuộc đường di

b Với œ ở câu a, tính TI biết C là cung tủy y nổi A(0,zx) và B(1,0)

a Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi

Chu y I khong pny thudc eng di

TOM LUOC CUOI BAI

Trong bài này chúng ta đã xem xét các nội dung

chính sau:

e Khai niệm tích phân đường loại I và loại II

e Cach tinh tích phân đường loại T và loại II

e« Ứng dụng tích phân đường vào việc tính độ dài

và diện tích