Slide 1 1 Chương 4 Tích phân số Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM

Slide 1 1 Chương 4 Tích phân số Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí IUH 2022 ThS Hồ Thị Bạch Phương Tích phân 2 Tích phân không xác định Tích phân không xác định khác nhau ở giá trị.

Chương 4: Tích phân số

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM

Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí

ThS Hồ Thị Bạch Phương

12

a bf(x)

3 2

1

x

L U 2

U L 2

1 1

1 4

3 2

1 4

1 0

• Ước tính dựa trên tổng hình chữ nhật thì dễ để đạt cho hàm

• Hàm không đơn điệu, tìm cực trị của hàm có thể khó khăn và

Tổng trên

Tổng dưới

Ước tính tích phân

Sai số

Phương pháp Newton-Cotes

 Phương pháp Newton-Cotes, hàm được xấp xỉ bởi 1 đa thức n

 Tính tích phân của đa thức thì dễ dàng

1

)

(

2

)

( )

( )

(

) (

1 1

2 2

1 0

1 0

a

b a

a b

a dx x

f

dx x

a x

a a

dx x

f

n n

n

b

a

b a

n n

b

a

 Phương pháp Trapezoid (Đa thức bậc 1 thì được dùng)

 Qui tắc 1/3 Simpson (Đa thức bậc 2 được dùng)

Phương pháp Trapezoid (Công thức hình thang)

) (

) ( )

( )

a b

a f b

(

)()

()

(

)(

)()

()

(

)(

2

a f b

f a b

x a

b

a f b

f

x a

b

a f b

f a a

f

dx a

x a

b

a f b

f a

f I

dx x f I

b a

b a

b a

b a

b a

Phương pháp Trapezoid

f(x)

3 2

Nếu khoảng được chia thành n phần (không cần thiết chia đều)

Trường hợp đặc biệt (Chia đều các khoảng)

Sai số trong ước tính tích phân

Giả định f”(x) là liên tục trên [a,b]

Các khoảng chia đều nhau: h

Nếu pp Trapezoid được dùng để xấp xỉ:

5 0

2

b aSai so h max f ''(x)

 

9 5

7 2 1

.

2 2

1 8

2 4

3 2

3 5

0

) (

)

( 2

1 )

( )

1 1

x f h

dx x

f

PP Trapezoid đệ quy

f(x)

h a

h a

Dựa trên ước tính trước

Dựa trên điểm mới

Ước tính trên 2 khoảng

b

Điểm giữa khoảng

Nếu Δx = h

( 2

1 )

( 2 1

) 3 (

) 2 (

)

( 4

f h

a f h R

R

b f a

f

h a

f h

a f h

a f

a b

h a

Dựa trên ước tính trước

b

h k

a f h

n R n

R

b f a

f

a b

n

2

) 1 2

( )

0 , 1

( 2

1 )

0 , (

) ( )

( 2

) 0 , 0 ( R

) 1 (

2 1

2 1 3

2 1 2

1 1

) 1 2

( )

0 , 1

( 2

1 )

0 , (

, 2

) 1 2

( )

0 , 2

( 2

1 )

0 , 3 (

, 2

) 1 2

( )

0 , 1

( 2

1 )

0 , 2 (

, 2

) 1 2

( )

0 , 0

( 2

1 )

0 , 1 (

, 2

) ( )

( 2

) 0 , 0 ( R ,

n

k n

k k k

h k

a f h

n R n

R

a

b h

h k

a f h

R R

a

b h

h k

a f h

R R

a

b h

h k

a f h

R R

a

b h

b f a

f

a

b a

b h

Dùng pp Trapezoid đệ quy để tính

/2

0 sin(x)dx

Tính đến R(3,0) và ước lượng sai số

Ưu điểm của pp Trapezoid đệ quy

 Cho kết quả như pp Trapezoid tiêu chuẩn

 Giảm thời gian tính toán từ các thông tin có sẵn.

 Hữu dụng nếu số lần lặp không biết trước.

Công thức tích phân tổng quát

n b

Tích phân Gauss

Công thức tích phân Gauss

Bằng cách giả định công thức biểu diễn chính xác cho tích phân tới đa thức bậc n

Trọng số (weight) c i

f  x 

3 / 1

 1 / 3

f  f 1 / 3

1 1

Công thức tích phân Gauss cho 2 điểm (chú ý c1 = c2 = 1)

Tính chính xác cho đa thức bậc 3 hoặc thấp hơn

Các trị số trong bảng tính Gauss cho tích phân trong khoảng [-1,1],

dx ) x ( f

x  mt  d

Nếu x  a , t  1

, b

có thể chuyển đổi thành tích phân xác định trong khoảng [-1,1]

t: như là biến mới ϵ [-1,1]

b a d

a

b t

b a

Dùng tích phân Gauss với 2 điểm để tính tích phân:

e  dt

1

Ví dụ 8:

Tính tích phân f(x) từ a = 0 tới b = 0.8 với tích phân Gauss 2 và 3 điểm

- Biến đổi từ [0, 0.8] tới [-1, 1]

2 1

I 0.4 f 0.4t 0.4 dt



Sai số: (|1.64053 – 1.82257|/1.64053)*100 = 11.096%

Công thức tp 3 điểm:

1 1

x w(x)dx dA A 60x dx 60

/2

0 (6  3cos x) dx



3 Dùng công thức hình thang tính tích phân

Với đoạn [0, π/2] chia thành 2 (n =2) và 4 (n =4) khoảng bằng nhau Tính sai số cho mỗi trường hợp biết giá trị chính xác 12.42478.

5 Dùng công thức tích phân Gauss 2 và 3 điểm để tích các tích phân sau

Và tính sai số mỗi trường hợp.

2 2

I   xe dx; chinh xac 41.17107

Đáp án : 2 điểm sai số 39.6075 3.7977%

3 điểm sai số 41.1313 0.09657%

6 Cho dầm chịu lực phân bố như trên hình, lực phân bố được thugọn thành một lực tổng và dùng tích phân Gauss 3 điểm để xácđịnh giá trị lực tổng (Các trọng số c1 = 0.5556, c2 = 0.8889, c3 =0.5556 và các điểm x1= - 0.7746, x2 = 0 , x3 = 0.7746 ) Tính vịtrí của lực tổng tính từ A.

7. Cho dầm chịu lực phân bố như trên hình, lực phân bố được thugọn thành một lực tổng và dùng tích phân Gauss 3 điểm để xácđịnh giá trị lực tổng (Các trọng số c1 = 0.5556, c2 = 0.8889, c3 =0.5556 và các điểm x1= - 0.7746, x2 = 0 , x3 = 0.7746 ) Tính vị trícủa lực tổng tính từ A.

Đáp án: Lực tổng ≈ 36kN, vị trí ≈ 2.16m

=