40 CÂU KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số... Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=0... Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; b... Mặt khác hàm số

40 CÂU KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= - x3 + 3x2 - 4

Lời giải

* Tập xác định : D= R

* Chiều biến thiên :

Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x( x- 2)

Xét phương trình y’= 0  - 3x ( x – 2) = 0  x= 0 hoặc x= 2

* Bảng biến thiên :

x  0 2 +

y'  0 + 0 

y + 0

4 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 0 và 2 ;  , đồng biến trên khoảng (0; 2) Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 0

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)=- 4

Giới hạn của hàm số tại vô cực :

xlim y ; lim yx

     

* Đồ thị :

Cho x= 1 => y =0

x= 3 => y= -4

* Điểm uốn:

y”= - 6x+ 6 =0  x= 1

=> y(1) = - 2

Đồ thị hàm số nhận điểm I( 1; -2)

làm điểm uốn

Câu 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =- x3 + 3x2

Lời giải

* Tập xác định : D= R

* Chiều biến thiên:

Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x( x- 2)

Xét phương trình y’= - 3x( x -2) = 0  x= 0 hoặc x= 2

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

* Chiều biến thiên:

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A( 3; 1)

Lời giải

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

 Tập xác định: D= R

 Chiều biến thiên :

Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y’= - 3x( x- 2) = 0  x=0 hoặc x= 2

o Giới hạn của hàm số tại vô cực :

xlim y ; lim yx

     

o Bảng biến thiên:

x  0 2 +

y'  0 + 0 

y + 5

1 

y  0 x 0 ; 2 ; y    0 x  ; 0  2 ;  

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 0 và 2 ;  , đồng biến trên khoảng (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2) = 5

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= 1

o Đồ thị :

Cho x = 1  y = 5;

x = 3  y = 1

+ Điểm uốn :

y”= -6x+ 6= 0

 x= 1 => y= 3 Do đó,điểm uốn I( 1; 3)

b.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(3; 1)

Ta có; y’( 3) = - 9 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y= y’(3) (x – 3) + 1 hay y= - 9( x- 3+ 1  y = - 9x + 28

Câu 4 Cho hàm số y= x3 + 3x2 – mx – 4, trong đó m là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=0

b Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 0

Lời giải

a Khi m= 0 thì hàm số là y= x3 + 3x2 – 4

 Tập xác định: D= R

 Chiều biến thiên:

o Giới hạn của hàm số tại vô cực:

xlim y ; lim yx

     

o Bảng biến thiên:

+ Ta có: y’= 3x2 + 6x = 3x( x+ 2)

Xét phương trình y’= 0  3x(x+ 2) = 0  x= 0 hoặc x= - 2

o Bảng biến thiên:

x  2 0 +

y' + 0  0 

y 0 +

 4 Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 và 0 ;  , nghịch biến trên khoảng (-2;0)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -2; giá trị cực đại của hàm số là y(-2)=0

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= - 4

 Đồ thị :

Cho x = -3 => y= - 4

x= 1 => y=0

* Điểm uốn

Y”= 6x+ 6 =0

x= - 1 => y(-1)= - 2 nên điểm uốn I( -1; -2)

b Hàm số y= x3 + 3x2 – mx – 4 đồng biến trên khoảng ; 0

2

y 3x 6x m 0 , x ; 0

g x 3x 6x m , x  ; 0

g x 6x 6 g x    0 x 1

Bảng biến thiên :

x  1 0

g'(x)  0 +

g(x) + m

3 – m

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:   2  

y' g x 3x 6x m 0 , x    ;0   3 m 0 m 3 Vậy khi m 3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn Câu 5 Cho hàm số y= 2x3 – 9x2 + 12x -4 có đồ thị (C) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; b Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x39x2 12 x m Lời giải +Tập xác định D= R + Đạo hàm y’= 6x2 – 18 x+ 12 = 0 2 1 x x       + Bảng biến thiên: x  1 2 +

y' + 0  0 +

y 1 +

 0 Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và 2;

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x= 1 và yCĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và yCT = 0

+ Đồ thị :

Điểm uốn:

y”= 12x- 18 = 0 3 1

Mặt khác hàm số của đồ thị (C’) là hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy là trục đối xứng

Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau:

o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được  C 1 

o Lấy đối xứng qua trục Oy phần C 1  , ta được C 2 

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Lời giải

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

* Hàm số đã cho xác định trên R

* Xét sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

xlim y

   và

xlim y

   Bảng biến thiên

Giao điểm của đồ thị với trục

Ox tại hai điểm B( -1; 0);

a Khảo sát sự biến thiên (C)

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3   x 2 m (1)

Lời giải

a Khảo sát và vẽ (C)

+ Hàm số có tập xác định là: D= R

+ Xét sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

xlim y

   và

xlim y

   Bảng biến thiên





 Điểm uốn: Ta có: y" 6xy" 0  x 0

Vì y” đổi dấu khi x đi qua điểm x= 0 nên U(0;2) là điểm uốn của đồ thị

 Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; 2)

Phương trình y= 0  x= 1

Nên đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1; 0)

Nhận xét: Đồ thị nhận U(0;1) làm tâm đối xứng

b Xét đồ thị (C') : y g(x)  x3  x 2 f(x) Khi đó số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng : y m

Cách vẽ y= g(x)

B1 : Giữ nguyên đồ thị (C) ứng với phần f(x) 0 (Phần đồ thị nằm trên Ox)

B2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị (3) phần f(x) < 0 (Phần nằm ph a dưới trục Ox)

Ta có đồ thị (C’)

Dựa vào đồ thị (C’) ta có :

 Nếu m 0   và (C’) không cắt nhau thì ( 1) vô nghiệm

 Nếu m 0  cắt (C’) tại một điểm thì (1) có một nghiệm

 Nếu m 0   cắt (C’) tại hai điểm thì ( 1) có hai nghiệm

Câu 8 Cho hàm số y= x3 – 3x2 + 2 có đồ thị là (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để phương trình x3 – 3x2 = m (1) có ba nghiệm phân biệt

* Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực :

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 0) và (2;), nghịch biến trên khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0; yCĐ = 2

và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 2; yCT = - 2

* Đồ thị

 Điểm uốn: Đạo hàm cấp hai của hàm số

là: y'' 6x 6  y" 0  x 1

Ta thấy y” đổi dấu khi x qua điểmx= 1

Vậy U(1; 0) là điểm uốn của đồ thị

 Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 2)

Mặt khác với x 0 3 2

g(x) x 3x 2

    (C) (C') Vậy dựa vào đồ thị (C), ta vẽ đồ thị (C’) như sau:

* Giữ nguyên phần bên phải trục Oy của đồ thị (C)

* Lấy đối xứng qua trục Oy phần vừa vẽ ở trên ta có được đồ thị của (C’)

  cắt (C’) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (2) có

hai nghiệm phân biệt

 m 2 2  m 4   cắt (C’) tại ba điểm phân biệt nên phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt

y

x

  2 m 2 2   0 m 4   cắt (C’) tại bốn điểm phân biệt nên phương trình (2)

có bốn nghiệm phân biệt

 x0= - 2 thì y0= - 27 nên phương trình tiếp tuyến y= 36x+ 45

 x0 = 3 thì y0 = 28 nên phương trình tiếp tuyến y = 36x+ 80

b Phương trình 2 x23x2  1 2m 1 ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm

Dựa vào đồ thị (C )1 suy ra :

 m<0 thì phương trình vô nghiệm

 m = 0 thì phương trình có một nghiệm (loại nghiệm x= 1)

0<m< 1 thì phương trình có đúng bốn nghiệm

m= 1 thì phương trình có đúng ba nghiệm

 m> 1 thì phương trình có đúng hai nghiệm

Câu 10 Cho hàm số y= x3 – 3mx2 (C), với tham số thực m Lấy 2 điểm A và B thuộc đồ thị.Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau

a Chứng minh rằng trung điểm I của AB nằm trên (C)

b Tìm giá trị của m để phương trình đường thẳng AB là y= -x- 1 Khi đó viết phương

trình tiếp tuyến của (C) tại A

Lời giải

a.Ta có: y’= 3x2 - 6mx

Lấy A( a; a3 – 3ma2); B( b; b3- 3mb2) ab

Tiếp tuyến tại A và B là song song nên:

3a2 – 6ma = 3b2 – 6mb  3(a2 – b2 ) - 6m(a- b)= 0

a.Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3

b Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Dấu “=” xảy ra khi x- 1= 0 hay x= 1

Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y= y’(1) (x- 1) + y(1) hay y= -3( x- 1)+ 2 = - 3x+ 5

Câu 12: Cho hàm số

3

2x

y 2(m 1)x 3(m 1)x 1 (1)3

       ( m là tham số )

a Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên R

b Tìm các giá trị của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) tồn tại một cặp điểm M , N

( M khác N) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O

Lời giải

a Đạo hàm y’= - x2 + 4(m+1) x - 3( m+ 1)

2 0

Cộng hai phương trình (2) và (3) ,vế với vế ta được :4(m 1)x 20 2 0 (4)

M , N tồn tại khi và chỉ khi (4) có nghiệm 4(m+1) < 0 hay m< - 1

Câu 13 Cho hàm số y= - x3 – 3x2 + mx+ 4, trong đó m là tham số

a Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; 

b Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một

Ta có f’(x)= 6x+ 6 > 0 với mọi x> 0 và f(0) = 0 Từ đó ta được : m 0

b Giả sử đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm có hoành độ x1; x2; x3 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng,

suy ra x1 + x3 = 2x2 và x1; x2; x3 là nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – mx – 4 =0 (*) Nên ta có: x3 + 3x2 – mx - 4= (x- x1) (x- x2) (x- x3)

b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực

tiểu có hoành độ lớn hơn 1

6 Lời giải

a Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d): y = 9x – 3 thì hệ số góc của

( x0 là hoành độ tiếp điểm của ∆ với (C) )

Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y= k(x- x0) + y0

* Khi x0= 1 thì phương trình của ∆ là y= 9(x- 1)+ 6 = 9x – 3 phương trình này bị loại vì khi đó d∆

a Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

b Tìm m để đường thẳng d : y= (2m- 1)x- 1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0 ; -1);

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;

b Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

o Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1và (0; 1), đồng biến trên các khoảng (-1; 0)

và 1;

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) = - 1

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1; giá trị cực tiểu của hàm số là y   1 2

Dựa vào đồ thị, ta thấy :

+ Khi m< -2 thì (*) vô nghiệm

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số m= 3

b Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

+ Tập xác định : D= R

+ Chiều biến thiên :

Ta có : y’= 2x3 – 6x = 2x (x2 – 3)

 

 



Giới hạn của hàm số tại vô cực :

xlim y ; limx y

     

Bảng biến thiên:

x   3 0 3 +

y'  0 + 0  0 +

y + 3

2 +

3 3

Hàm số đồng biến trên các khoảng  3 ; 0 và  3 ;  , nghịch biến trên các khoảng  ; 3 và 0 ; 3 

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 ; giá trị cực đại của hàm số là   3

y 0

2



Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x  3; giá trị cực tiểu của hàm số là

 

y  3  3

+ Đồ thị :

o Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của

nó nhận trục tung làm trục đối xứng

o Đồ thị (hình vẽ):

b Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y’ = 2x3 – 2mx = 2x( x2 – m)

2

'

;(*)

 

   

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại khi và chỉ khi y’ = 0 có một nghiệm duy nhất

và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó

 Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x= 0  m 0

Vậy giá trị cần tìm là:m0

Câu 18 Cho hàm số y= x4 – 2(m+ 1)x2 + m có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1;

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là

gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

Lời giải

a

+ Tập xác định D = R

+ Sự biến thiên :

Đạo hàm: y’ = 4x3 – 8x ; y’ = 0  x = 0 hoặc x =  2

Giới hạn:

xlim y xlim y

    

Bảng biến thiên:

x   2 0 2 +

y'  0 + 0  0 +

y + 1 +

3 3

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 2) và (0; 2) ; đồng biến trên các khoảng  2; 0 và  2; Hàm số đạt cực tiểu tại x =  2; yCT = 3, đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1 - Đồ thị:

b Xét y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (C)

 y’ = 4x3 – 4(m + 1)x

Đồ thị của hàm số (C) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có

ba nghiệm phân biệt

Ta có: y’ = 0  4x[x2 – m – 1] = 0  x  0 hoặc x 2  m 1 

Vì thế để thỏa mãn điều kiện trên thì phương trình x2 = m + 1

Cần có hai nghiệm phân biệt khác 0 Điều đó xảy ra khi và chỉ khi :

m + 1 > 0  m > 1 (1)

Kết luận thỏa mãn (1), (C) có ba cực trị tại các điểm A(0, m), B m 1; m  2 m 1 , C m 1; m  2m 1  Lúc đó: OA = OB  OA2 = BC2 (do OA > 0 ; BC > 0)  m2 = 4(m + 1)  m2 – 4m – 4 = 0  m = 2 2 2 Câu 19 Cho hàm số y= x4 – mx2 + m - 1 (1) có đồ thị (C) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 8; b Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Lời giải a Khi m= 8; hàm số đã cho trở thành: y=x4 – 8x2 + 7 + Tập xác định :D = R + Chiều biến thiên : Ta có : y’=4x3 -16 x= 4x( x2 – 4) y 0 x 0 x 2 '         Giới hạn của hàm số tại vô cực : xlim y ; lim yx       Bảng biến thiên : x  2 0 2 +

y'  0 + 0  0 +

y + 7 +

9 9 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2; 0) và 2 ; , nghịch biến trên các khoảng

 ; 2 và (0;2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y(0)= 7

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x 2; giá trị cực tiểu của hàm số là y  2  9.

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=1

b Tìm các giá trị của m để (C) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông

Lời giải

a Với m= 1, ta có (C) : y=x4 + 6x2 + 5

+ Hàm số có tập xác định là D= R

+ Xét sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

xlim y xlim y

     Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng 0;và nghịch biến trên ;0

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0 với giá trị cực tiểu y(0)= 5 Hàm số không có cực đại

* Đồ thị

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;5), đồ thị không cắt Ox Đồ thị đi qua các điểm (1;12) ; (-1; 12)

Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng

a Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+ 24y+ 10 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến: y= 24 ( x- 2) + 6 = 24x - 42

b Để (P) tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm

a.Khảo sát sự biến thiên đồ thị (C)

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn

c.Tìm m để phương trình (x2 5) x2 1 m có 6 nghiệm phân biệt

Lời giải

a

+ Hàm số có tập xác định là D= R

+ Xét sự biến thiên của hàm số

* Giới hạn của hàm số tại vô cực:

 -5 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 3) và (0; 3); nghịch biến trên mỗi

khoảng  3 0;  và  3;

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0; yCT = - 5

Hàm số đạt cực đại tại các điểm x  3, y  3 4

+ Đồ thị

 Điểm uốn: 2

y" 12x 12y" 0   x 1

Và y” đổi dấu khi x đi qua hai điểm x 1 nên (C) có hai điểm uốn I(1; 0) và U(-1;0)

 Giao của (C) với trục tọa độ: (C) cắt Oy tại điểm (0; -5) và (C) cắt Ox tại 4 điểm

(C') (C)  khi   1 x 1, (C ') đối xứng với (C) qua Ox khi x< -1 hoặc x> 1

Theo đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán  - 4< m< 0

Câu 23 Cho hàm số y=x4 – 2( m+ 1).x2 + 2m+1 có đồ thị là (C)

a Tìm giá trị của m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho