KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Quy trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Bước 1: Tìm tập xác đinh của hàm số.. Chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.. Trong trường hợp đồ thị
Trang 1VẤN ĐỀ 6 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Quy trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Bước 1: Tìm tập xác đinh của hàm số
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
a) – Tìm giới hạn: tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có)
– Tìm các đường tiệm cận (nếu có)
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
– Tìm đạo hàm của hàm số
– Xét dấu đạo hàm Suy ra chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có)
– Điền các kết quả vào bảng biến thiên
Bước 3: Tìm khoảng lồi, khoảng lõm, điểm uốn (đối với hàm đa thức)
Bước 4:
– Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
– Tìm một số điểm đặc biệt của đồ thị Chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ Trong trường hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này
– Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có, không yêu cầu chứng minh)
Dạng 1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số:
a) 1 3 3 2 9 5
y= x - x - x- b) y= - +x3 3x2-4x+2
Dạng 2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số:
2 3
2 3
y= - -x x +
Dạng 3 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất trên bậc nhất
3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số:
a) 2 1
1
x y
x
-=
1 2
x y
x
-= +
Dạng 4 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất
4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số:
a)
2
2 2 1
y
x
+ +
=
2
2 3 2
y x
-
-=
-Bài tập luyện tập
5 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 3 2
3 4
-b) Từ đồ thị ( )C của hàm số y=x3+3x2-4, biện luận số nghiệm của phương trình
Trang 2c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn
d) Chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị
6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y= -x3 3x2+ 1
b) Tuỳ theo m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x3-3x2+ + =m 2 0
7 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số y=x4-2x2+2
b) Từ đồ thị ( )C của hàm số 4 2
2 2,
y=x - x + biện luận số nghiệm của phương trình
x - x + =m theo tham số m
8 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 3 3
2
x y x
+
=
-b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O và tiếp xúc với ( )C
c) Tìm tất cả các điểm trên ( )C có tọa độ là các số nguyên
d) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
9 Cho hàm số 1
2
mx y
-= + a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
b) Tìm m để đường tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2 ) Đáp số: m=2
c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=2
10 Cho hàm số
2
2
y
mx
=
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm M(-1;1 ) Đáp số: m=1
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
11 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số
2
3 4
2 2
y
x
- +
=
-b) Gọi M là điểm bất kỳ trên ( )C Tiếp tuyến của ( )C tại M cắt tiệm cận đứng tại A, tiệm cận xiên tại B Chứng minh rằng
* M là trung điểm của AB
* Tam giác IAB có diện tích không đổi, với I là giao điểm của hai tiệm cận Hd: Gọi
( 0; 0) ( )
M x y Î C là tiếp điểm
Dạng 5 Tìm điểm cố định của họ đường cong
· Định nghĩa: Cho họ đường cong ( )C m :y= f x m( ; ) phụ thuộc tham số m Điểm
( 0; 0)
M x y gọi là điểm cố định của họ đường cong ( )C m nếu y0 = f x m( 0; )," m
· Cách giải: Để tìm điểm cố định của họ đường cong ( )C m :y= f x m( ; ) ta có
Bước 1: Gọi điểm cố định là M x y( 0; 0)Þ y0 = f x m( 0; )," m
Trang 3Bước 2: Sắp xếp y0 = f x m( 0; ) theo phaương trình ẩn m bậc giảm dần, chẳng hạn nếu là
bậc 2 thì có dạng Am2+Bm C+ =0
y = f x m " Ûm Am +Bm C+ = " Điều này chỉ xảy ra m Û tất cả
các hệ số ẩn m bằng 0
0
0 0
A B C
= ì ï
Ûí =
ï = î
Bước 4: Từ hệ trên giải được x y0; 0 và kết luận
12 Cho họ đường cong ( ) 3 ( ) 2 ( 2 ) 2
m
C y=x - m+ x - m - m+ x+ m - m Tìm các điểm
cố định của các họ đường cong ( )C m Đáp số: M( )2; 0
13 Cho họ đường cong ( ) 2 ( 2) 1
1
m
mx m
-=
+ - Tìm các điểm cố định của các họ đường
cong ( )C m Đáp số: 1( ) 2( ) 3( )
1 0;1 , 1; 2 , 2;1 , 1;
3
Bài tập luyện tập
14 Cho họ đường cong ( ) 3
m
C y= m+ x -mx- +m Tìm các điểm cố định của các họ đường cong ( )C m Đáp số: M( )1; 2
15 Cho họ đường cong ( ) 4
m
mx
x m
+
= + Tìm các điểm cố định của các họ đường cong ( )C m
Đáp số: M1( )2; 2 ,M2(- -2; 2 ,) m¹ ± 2
16 Chứng minh rằng" ¹ -m 1 đồ thị hàm số
2
2x (1 m x) 1 m y
x m
+ - + +
=
- luôn luôn tiếp xúc với
một đường thẳng cố định tại một điểm cố định Đáp số: (- -1; 2 ,) f '( 1) 1.- =
