ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 – NĂM HỌC 2009 Trường THPT Lê Quí Đôn – Quảng Nam ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KT HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12 – NĂM HỌC 2008 2009 A GIẢI TÍCH 1 Tính đơn điệu của hàm số Bài 1 Tìm các khoảng đồng biến , n[.]
Trang 1Trường THPT Lê Quí Đôn – Quảng Nam
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KT HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12 – NĂM HỌC 2008-2009
A GIẢI TÍCH
1.Tính đơn điệu của hàm số :
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của các hàm số :
7
y
x
−
2) 22x
9
y x
=
− 3)
1
x y
x
= +
=
+
4)
x
y
x
+
2
x y x
=
− 6) y = 3x
2 – 8x3 7) y = x3 – 6x2 + 9x 8) y = x4 + 8x2 + 5
Bài 2: Chứng minh rằng
1) Hàm số y = 3
2x 1
x
− + nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó;
2) Hàm số y =
2
2x 3x 2x 1
+ + đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ;
3) Hàm số y = − + x x2+ 8 nghịch biến trên R
2 Cực trị của hàm số :
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1) y = -2x2 + 7x – 5 2) y = x3 – 3x2 – 24x + 7 3) y = x4 – 5x2 + 4
4) y = (x + 2)2 (x – 3)3 5) y =
1
x x
− 6) y =
x 1
x + − x
+
7) y = x 3 − x 8) y = sin2x 9) y = cosx – sinx 10) y = sin2x
3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên đoạn [-4;3] 2) f(x) = 25 x − 2 trên đoạn [-4;4]
3) f(x) = x2−3x 2+ trên đoạn [-10;10] 4) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn 3
0;
2
π
Bài 2: Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất
Bài 3: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông
và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) y = cos3x – 6cos2x + 9cosx + 5 b) y = sin3x – cos2x + sinx + 2
Bài 5: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m Tính
góc α= góc DAB = góc CBA sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích
lớn nhất đó
Bài 6: Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm , hãy xác định
tam giác có diện tích lớn nhất
4 Đường tiệm cận của hàm số:
Bài 1: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
1) y = 2x 1
2
x
− + 2) y =
3 2x 3x 1
− + 3) y =
5
2 3x− 4) y =
4 1
x
− +
Bài 2: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:
1) y =
2 12x 27
2 2
2 ( 1)
x
− −
2 2
3x 4
x x
+
− 4) y = 2
2 4x 3
x x
−
− +
5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
Bài 1: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -x3 + 3x + 1 b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàm số y = (x + 1)3 – 3x – 4 c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm của phương trình (x + 1)3 = 3x + m d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C’), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
9
x
− +
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – (m + 4)x2 – 4x + m a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số đi qua với mọi giá trị của m
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0
d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 1 3 2
3x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Tìm điều kiện của k để phương trình : x3 + 3x2 – 9x + 1 = k có 3 nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : 2x3 – 6x2 + 5 – m = 0 c) Cho A(-3,-2) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua tâm đối xứng của đồ thị (1) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị kẻ từ A(-1,2)
Bài 5: Cho hàm số y = x3 + mx2 – 4 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Tìm m để phương trình : x3 + mx2 – 4 = 0 có nghiệm duy nhất
Bài 6: Cho hàm số f(x) = (x – 2) (x2 + mx + m2 – 3) (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = -1
b) Với giá trị nào của m , đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y =
4
2x
x − − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số y = k – 2x2
Bài 8: Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 5
Trang 2Trường THPT Lê Quí Đôn – Quảng Nam
a) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho có ba điểm cực trị
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C-2) (ứng với m = -2) song song với đường thẳng
y = 24x – 1
Bài 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2mx2 + m3 – m2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm
phân biệt
Bài 10: 1/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x+1)/(x-1)
2/ Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C)
3/ Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho k/c từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng
cách từ M đến tiệm cận ngang
4/ C/m rằng tiếp tuyến của (C) tại mọi điểm luôn tạo với hai tiệm cận của nó một tam
giác có diện tích không đổi
5/ Gọi M0(x0, y0) thuộc (C) Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M0 đến 2 tiệm cận là
một hằng số Tìm M0 nếu tổng các khoảng cách từ M0 đến 2 tiệm cận nhỏ nhất
6/ Tìm M0 thuộc (C) biết tổng các khoảng cách từ M0 đến 2 trục nhỏ nhất
7/ Chứng tỏ (C) nhận đường thẳng d: y = x + 2 làm trục đối xứng
8/ Tìm k để đường thẳng y = kx + 2 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)
6 Hàm số lũy thừa:
Bài 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x2 – 4x + 3)-2 b) y = ( x3 8 )3
π
− c) y =( x3− 3x2+ 2x )14 d) y = ( x2+ − x 6 )13
Bài 2 :Rút gọn biểu thức : M =
Bài 3 : Cho 3x + 3-x = 14 Tính 3x + 3−x
7 Lôgarit :
Bài 1: Tính :
a)
1
3
3 1
1
2 log 6 log 400 3log 45
2
1 log 36 log 14 3log 21
1 log 24 log 72
2 1 log 18 log 72
3
−
−
d) 2 2
log 4 log 10 log 20 3log 2
+ +
Bài 2: a) Cho log25 = a Hãy tính log41250 theo a
b) Cho log1218 = a, log2454 = b.Chứng minh rằng ab + 5(a – b) = 1
Bài 3: a) Cho a = log315 , b = log310 Hãy tính log 503 , theo a và b
b) Cho a = log23 , b = log35, c = log72 Hãy tính log14063 theo a, b, c
c) Biết log712 = a, log1224 = b.Tính log54168 theo a và b
d) Biết log615 = a, log1218 = b Tính log2524 theo a và b
e) Cho logab = 4 , logac = - 2 Tính logax với x = a bc53 2
Bài 4: Hãy so sánh mỗi cặp số sau:
a) 36 3 5 b)
log à log
5v 6 log 9 à log 1713 v 13
2
log e và 1
2
log π d) 2 5
log
2 và 2
3 log 2
Bài 5: Tìm giá trị của biểu thức:
log 2sin log os
log 7 − 3 + log 49 + 21 + 9
c) log10tan4 + log10cot4 d) log 5 2 6π( + ) + log 5 2 6π( − )
8 Hàm số mũ Hàm số logarit:
Bài 1 : Tìm tập xác định của các hàm số sau : 1/ y = 2 ( 1)(2 )
log
5
x
− 2/ y = 2
1 x − 1 x
Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau : 1/ y = lntanx , 2/ y = 1
ln 1
x x
e e
− + 3/ y =
2
log x +1.ln x 3 log (+ x x +4)
Bài 3 : 1/ Cho hàm số : y =
1
. x
x e
− Chứng minh : x y3. ,,+ = y y x ,
2/ Cho hàm số : y = cosex + sinex Chứng minh : y,,+ y e 2x = y,
Bài 4: Giải các phương trình sau :
1/ 4x – 1 – 5 2x – 1 – 24 = 0 2/ log2( 4x – 2x + 2) = x + 1 3/ log2 x2−2x 1 log (+ + 2 x−1)2 =6 4log (22 x + + 2) 2log2 x + − = 2 2 0
5/ 2x+4 + 2x+2 = 5x+1 + 3.5x 6/ 4.9x + 12x – 3.16x = 0
Bài 5: Giải các phương trình logarit sau :
1) logx4 + log4x = 2 + logx3 2) 4 ( )( ) 4
2
3
x
x
−
3) log2(2x + 1).log2(2x+1 + 2) = 2 4) xlog9 + 9logx = 6 5)
3 2
3 100 10
x
x − = 6) 1 + 2logx+25 = log5(x + 2)
Bài 5 : Giải các bất phương trình sau :
2 1/log (1/2 x +2x 8)− ≥ −4 2/ 2
3 1/2
log log (x − <1) 1
Trang 3Trường THPT Lê Quí Đôn – Quảng Nam
1
5 log x 1 log x + <
log log (x −1) >1
B.HÌNH HỌC:
1 Khối đa diện:
Bài 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các
cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Hãy tính thể tích của khối chóp đó
Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các
mặt bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó
Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh SA vuông
góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC
Biết rằng AB = 3, BC = 4, SA = 5
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)
Bài 4: Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 là tam giác đều Mặt phẳng (A1BC)
tạo với đáy một góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích khối lăng
trụ
Bài 5: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và góc BAD
= 450 Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Hãy tính
thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2
Bài 6: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2ϕ
Hãy tính thể tích khối chóp
Bài 7: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA ⊥(ABC) ,
SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn
nhất
Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a Gọi B’ , D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Bài 9: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm
của SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp
S.AB’C’D’ và S.ABCD
Bài 10: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD Một mặt phẳng (α) đi qua A, B và trung
điểm M của cạnh SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt
phẳng đó
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên SA vuông
góc với đáy Một mặt phẳng (α) đi qua A, vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần
lượt tại B’, C’, D’
a) Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện là góc vuông
b) Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) tại A thì mặt phẳng (AB’C’D’) luôn đi qua một đường thẳng cố định và các
điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi
c) Giả sử góc giữa cạnh SC và mặt bên (SAB) bằng x
Tính tỉ số giữa thể tích của hình chóp S.AB’C’D’ và thể tích của hình chóp S.ABCD theo x, biết rằng AB = BC
2 Mặt tròn xoay:
Bài 1:
Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó
b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Tính diện tích thiết diện được tạo nên
Bài 2: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và có góc giữa các
mặt bên và mặt phẳng đáy là α Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB = α(α>450) Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp
Bài 4: Cho khối nón có bán kính đáy r = 12cm và có góc ở đỉnh làα=1200 Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau
3 Mặt cầu:
Bài 1: Trong mặt phẳng (α) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên đường thẳng Ax vuông góc với (α) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng (β) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC Mặt phẳng (β) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định b)Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành
Bài 2: Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h Xác định
tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích của mặt cầu đó
Bài 3: Cho hình cầu tâm O bán kính r Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi (α) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (α) bằng 300
a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi (α) và hình cầu
b) Đường thẳng ∆đi qua A vuông góc với mặt phẳng (α) cắt mặt cầu tại B Tính độ dài đoạn AB
