bang tom tat cong thuc toan 12

2 Tính thể tích vật thể tròn xoay: -Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=f x, hai đường thẳng x=a;x= quanh trục hoành: b b 2 a V=p.. y dxò Chú ý: Đối với bà

TÓM TẮT KIẾN THỨC TOÁN 12

I.BẢNG ĐẠO HÀM

1) u v  '   u v ' ' 15) u v '   u v u v '  '

' '. '

u u v u v



 



 

4)( ) xn ' = n x n-1

18)( ) un ' = n u n- 1 ' u

'

æö ÷

ç ÷

=-ç ÷

'

æö ÷

ç ÷

=-ç ÷

çè ø

x

=

u

=

7) sin x  ' cos  x 21) sin u  '  u '.cos u

8) cos ' x   sin x 22) cos ' u   u '.sin u

9) tan  ' 12 1 tan2

cos

x

cos

u u

u



2

1

sin

x



sin

u u

u





11)  ex '  ex

25)  eu '  u e '. u

12)  ax '  ax.ln a

26)  au '  u a ' .lnu a

x



u



.ln

a x

x a



.ln

a

u u

u a



sin x  sin 2 x

cos x  sin 2 x

'

a x b a d b c

c x d  c x d



32)

'

ax bx c ab a b x ac a c x bc b c



Cách nhớ công thức 32 là : “anh ba, ăn cơm hai lần, ba chén”

II DẠNG TOÁN TÍNH GTLN, GTNN CỦA HS: yf x( ) TRÊN ĐOẠN a b; 

-Hàm số xác định và liên tục trên ;a b

-Tính y’, gpt y’= 0 Tìm các nghiệm x x1 2, , a b; 

-Tính f a f b f x f x( ), ( ), ( ), (1 2)… -Số nào lớn là GTLN, số nào nhỏ là GTNN

số trên khoảng đó rồi kết luận

2) Nếu đề bài không cho đoạn, khoảng thì ta tìm trên TXĐ

III Các hàm cơ bản và tính chất:

tren 0

tren 0

y a x b





b) Không cực trị, không tiệm cận

a) HSĐB trên R khi 2

0

3 0

a







 b) HSNB trên R khi 2

0

3 0

a









c) HS có 2 cực trị khi 2

0

3 0

a







 

 d) ĐTHS có 2 hoặc 0 cực trị, không có tiệm cận

3) Hàm bậc bốn

0

1 cuc tri khi 0

a b

y ax bx c a

a b





a) HS không bao giờ ĐB, NB trên R d) ĐTHS có 3 hoặc 1 cực trị, không có tiệm cận

a x b

c x d



D

c





, tính  2

' a d b c

y

cx d







b) Hàm số ĐB trên từng khoảng XĐ  y' 0  x D a d b c  0

c) Hàm số NB trên từng khoảng XĐ  y' 0  x D a d b c  0

d) ĐTHS có 2 đường tiệm cận TCN:

a y c

 ; TCĐ:

d x c



- Tính y ', Tính y '' Hs đạt cực trị tại x0

 

 

0

0

y' x 0 y'' x 0





 



 Giải tìm m

- Tính y', Tính y '' Hs đạt cực tiểu tại x0

 

 

0

0

y' x 0 y'' x 0





 



 Giải tìm m

7) DẠNG TOÁN Tìm m để hs đạt cực đại tại x 0

- Tính y ', Tính y '' Hs đạt cực đại tại x0

 

 

0

0

y' x 0 y'' x 0





 



 Giải tìm m

8) Cách tìm tiệm cận hàm số

TS y MS



a)

1 2

0

x x

x







   

 

 b)Nhập

1

2 kq 0

x

hoặc MR thì loại, còn lại là TCĐ

c)Nhập

10 10

10 cal

10

TS

kết quả bằng số thì y bằng số đó là TCN.

IV LŨY THỪA-MŨ-LOGA

m

m n

n

a a

a





n n

n

 

 

 

7)

n

n

1 a

a





8)





9)af ( x )   b f ( x ) log b  a 10)af ( x ) ag( x )  f ( x ) g( x )  11) 1

f ( x )

a

a











f ( x )

a

a







 



f ( x ) g( x )

a











f ( x ) g( x )

a







 



15)log b ba 1 2  log ba 1  log ba 2 16)

1

2

b

17)

m

1

a

a m

m



19)

m

a

a n

m

n



20)log b.log c log ca b  a

21)

c a

c

log b log b

log a



22)

1

a

b

log b

log a



23)log f ( x ) ba   f ( x ) a  b 24)

f ( x ) g( x ) log f ( x ) log g( x )

g( x ) hoac f ( x )













25) Nếu đề bài chưa cho đúng dạng CT nghiệm thì ta đặt điều kiện sau đó áp dụng các CT biến đổi pt về đúng dạng CT nghiệm

V BẢNG TÓM TẮT HÀM SỐ LŨY THỪA y=ua

nguyên duong TXD:

nguyên â TXD: u 0.

khô nguyên TXD: u 0.

u R

ng



BẢNG NGUYÊN HÀM

2)

1

x

x dx C ( -1)

1





 



1

1 (ax b) (ax b) dx C ( -1)



 



3)

1

dx ln | x | C

 ax bdx 1aln | ax b | C 





4)

e dx e C

 ; e dxx ex C ax b 1 ax b

e dx e C

a



x

; a dx C

ln a

ò

5)sin xdx cos x C sin(ax b)dx 1cos(ax b) C

a



6)cos xdx sin x C  cos(ax b)dx 1sin(ax b) C

a



7) 2

dx

cot x C sin x  

cot(ax b) C sin (ax b)  a  



8) 2

dx

tan x C cos x  

tan(ax b) C cos (ax b) a  



9)

dx

2 x C

 a.x bdx 1a2 a.x b C 





10) 2

x  x 

a a.x b a.x b   



11)òtan xdx=- ln cos x +C tan a.x( b dx) 1ln cos a.x( b) C

a

ò

12)òcot xdx =ln sin x +C co t a.x( b dx) 1ln sin a.x( b) C

a

ò

13)

( )

x x x 1 x

x e dx=x e - e + = -c x e +c

ò

ln = ln - +

VI Định nghĩa và tính chất:

1) Định nghĩa nguyên hàm:

F(x) =f (x) thì F(x) được gọi là một nguyên hàm của f (x)

2) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN:

-Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn[a;b ]

Khi đó hiệu số F(b) F(a)- được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f (x) , kí hiệu

b

a

f (x)dx

ò

b

b a a

f (x)dx F(x)= =F(b) F(a)

-ò

3)Các tính chất:

f x dx = f x

3.3)òk f x dx ( ) =k.òf x dx( ) (k là hằng số khác 0)

3.4)òéëf x( )±g x dx( )ùû =òf x dx( ) ±òg x dx( )

3.5) f a x b dx( ) 1.F a x b( ) c a( 0)

a

ò

3.6)

( ) ( )

k f x dx k= f x dx

(k là hằng số) Chỉ tính chất 3 và 6 giữa nguyên hàm và tích phân khác nhau, cá tính chất còn lại giống

nhau

3) Dạng 3: Vận dụng phương pháp tính NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN:

-Nếu hai hàm u=u(x);v=v(x) có đạo hàm liên tục, v (x)dx' =dv;u (x)dx' =du Ta có công thức tính tích phân từng phần:

b a

udv=uv - vdu

-Các bước tính nguyên hàm từng phần:

Đặt u = u(x) ¾¾® duDH =u (x)dx'

dv = phần còn lại ¾¾® v = v(x) NH Thế vào công thức

*Một số kỹ thuật khi tính NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN :

p(x).sin xdx

ò

p(x).cos xdx

ò

x

p(x).e dx

ò

p(x).ln xdx

ò

( p(x) là đa thức)

1

ln xdx

xa

ò

(a ¹ - 1)

Tóm lại: Đặt u theo thứ tự ln, đa, lượng = mũ

b

a

S=òf (x)dx

b

a

S=òf (x) f (x)dx

-*Để tính diện tích hình phẳng ta cần tìm đủ 4 đường; hai đường y , hai đường x Nếu thiếu

đương x ta tìm bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm

2) Tính thể tích vật thể tròn xoay:

-Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=f (x), hai đường thẳng

x=a;x= quanh trục hoành: b

b 2 a

V=p y dxò

Chú ý: Đối với bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay không giải phương trình hoành độ

giao điểm nếu tích phân đã có đủ hai cận

* công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox

tại các điểm x=a, x=b(a<b) có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x (a£ x b£ )

là S x( ) Thể tích là :

a

b

V = ò S x x

Phần 4: SỐ PHỨC

I Định nghĩa và các tính chất căn bản

-Số i: i2=- 1

-Với n=4q+ , ta có: r in =ir

-Số phức z= +a bi vớia,b R , a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo

-Môđun của số phức z  a bi  a2 b2

-Điểm biểu diễn của z= +a bilà M(a; b)

-Số phức z= +a bicó số phức liên hợp là: z a bi 

-Hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo

a b i c d i

b d











-Lưu ý 2 2

z z 2a

z.z a b

ìï + =

ïí

ï = +

ïî

-Số phức z= vớibi b R b 0    được gọi là số thuần ảo

-Cộng trừ hai số phức a bi   c di   a c   b d i 

-Phép nhân hai số phức thực hiện như nhân hai số thực với lưu ý i2 =- 1

-Phép chia số phức thực hiện bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp với mẫu

-Căn bậc hai của số thực a âm là i | a |

-Phương trình bậc hai ax2 bx c 0  với trường hợp

2

b 4ac 0

    thì pt có hai nghiệm phức xác định bởi công thức 1,2

b i | | x

2a

  



phức là hai số phức là hai số phức liên hợp.

Phần 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

I Lý thuyết căn bản

1) OM x i y j z k.  .  .  M x y z ; ; 

 B A; B A; B A

AB x  x y  y z  z



Cho aa a a1 ; ; 2 3 , bb b b1 ; ; 2 3,A x y z A; ;A A,B x y z B; ;B B,C x y z C; C; C

2) Độ dài vecto

2 2 2

1 2 3

a  a a a

AB  x  x  y  y  z  z



4) Góc giữa hai vecto:

cos

.

a b

a b

 

 

 

(tích vô hướng chia tich độ dài)

7) Tích vô hướng hai vecto: a b a b a b   1 1  2 2 a b3 3 Suy ra: a b  a b a b1 1  2 2 a b3 3  0

8) Tích có hướng hai vecto:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a b

 

r r r r r r

+Hai vecto a;b

r r

cùng phương a;b 0

é ù

Û ê úr r =r +Ba vecto u;v; w

r r ur

đồng phẳngÛ é ùu;v w =0

ê ú

r r ur

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

2

ABC

S AB AC



6

ABCD

V AB AC AD

                 

'

ABCD A B C D

 

12) Khoảng cách từ M x y z o o, ,o o đến mp  P Ax By Cz D:    0 là:

 

0 , Ax 2By 2Cz 2 D



Khoảng cách từ M x y z o o, ,o ođến () là:

 0  0

,

d M

u

 

 



14) Cho đường thẳng   1 qua M1, VTCP u 1

, 2 qua M2, VTCP u 2

1

 ,  2 chéo nhau u u1 , 2  M M1 2 0

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 1 2 1 2 1 2

1 2

,

,

u u M M d

u u

   

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

15) PTMC

  tâm  ; ;     : 2  2  2 2

I a b c

PT: x2 y2z2  2ax 2by 2cz d 0    là PTMC

  S tâm I a b c  2; ; 2 2

R  a  b  c  d

DK dê (S) là ptmc là : a2 b2 c2  d 0 

a) Mặt cầu tâm I và đi qua A

 

tâm I

S



(R bằng độ dài đoạn IA hay AI hay độ dài vecto IAuur

đều đúng)

b) Mặt cầu tâm I x y z  0; 0; 0

tiếp xúc mp(P):   P Ax By Cz D :     0

 

tâm I

S

R d I P



c) Mặt cầu (S) đường kính AB:

 

A B A B A B

I S

AB R



2

AB

R=IA=IB=

uur

đều đúng

d) Mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D

-Nêu dạng  S : x2 y2 z2  2ax 2by 2cz d 0    Thế tọa độ 4 điểm vào (S) được hệ 4 pt 4

ẩn Giải hệ tìm 4 ẩn a, b, c, d

16) Phương trình mặt phẳng

-Cần M o o o ox y z; ; (P) và một VTPT nA B C (P) có dạng: ; ; 

         0

A x x o B y y o C z z o , biến đổi về dạng: Ax + By + Cz + D = 0



n A B C và một điều kiện khác, suy ra (P): Ax By Cz D   0 Từ điều kiện khác giải tìm D

 AÎ (Oxy)Þ A(a ;a ;0)1 2 ;BÎ (Oxz)Þ B(b ;0;b )1 3 ;C (Oyz)Î Þ C(0;c ;c )2 3

 Ptmp qua A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c có dạng: ( ) ( ) ( )

x y z

1

a + + =b c (a¹ 0;b¹ 0;c¹ 0)

 (P) //(Q):Ax By Cz D 0     (P) có dạng: Ax+By Cz m+ + =0 m( ¹ D)

*VTCP là vecto khác 0 có giá song hoặc trùng ( )D Muốn viết pt đường thẳng cần

 ; ;  

M x y z o o o o ( )D và một VTCP u   a b c , , 

Pt tham số ( )D :

0 0 0















z z c t

-Nếu a¹ 0;b¹ 0;c¹ 0 thì pt chính tắc đt ( )D có dạng: x xa 0 y yb 0 z zc 0

18) Một số tình huống tìm VTPT của mp, VTCP của đường thẳng:

a) mp(P) vuông góc với AB VTPT là n P  AB hoac BA

b) (P) là mp trung trực đoạn AB:

 

: P hoac hoac

A B A B A B

qua I P





c) mp(P)tiếp xúc mc (S) tâm I bán kính R tại A S :

 

: P

qua A P

VTPT n AI





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d)   qua A, B Suy ra VTCP là AB

19) Sáu VTTĐ cần nhớ giúp ta tìm VTPT của mp, VTCP của đường thẳng

 

1) 2) / / chon

3) 4) / / chon

/ /( ) 5) chon = 6)

( )

P d

 



 

Nêu thì chon ;

d P

n a

n b



 









 

 

 

  

 

Phần 7: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I Công thức tính thể tích và cách tìm góc:

1)Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy

nhân với chiều cao

2)Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với

chiều cao

3)Tỉ số thể tích:

' ' '

' ' '

S A B C

S ABC

4)Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt

phẳng Để xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng ta cần một giao điểm và một điểm vuông góc

5)Góc giữa hai mặt phẳng: Cần một giao tuyến, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này

vuông góc giao tuyến, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia và vuông góc giao tuyến, góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng mới tìm

II Tam giác

a) Tam giác thường:

( )( )( )

1) sin

ABC

a b c

R

-2)

1 2

B A

C

S

C'

3)

;

(G là trọng tâm DABC)

4) Độ dài đường trung tuyến:

2

-5) Định lí cosin: BC2=AB2+AC2- 2.AB AC .cosA

6) Định lí sin: sin sin sin 2.

R

7) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A Ta có:

DC =AC Þ uuur=- AC uuur

8) Trực tâm tam giác là giao điểm ba đường cao

Trọng tâm tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến

Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm ba đường trung trực

Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác

b) Tam giác đều cạnh a

1)

( )2

3 4

ABC

canh

SD =

2)

3 2

canh

AH =

3)

;

(G là trọng tâm DABC)

4) Tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam

giác

c) Tam giác vuông tại A.

10) Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh

huyền

d) Tam giác vuông cân tại A

1) 2 2 2)

2

ABC

BC

III Tứ giác:

a) Hình bình hành:

ABCD

S =BC AH =AB AD A

b) Hình thoi:

1

.sin 2

ABCD

( )2

3 2

2

canh

Đường chéo:

( ) 2 2

AC=BD= canh =AB

d) Hình thang:

2

ABCD

AD BC AH

=

Đặc biệt: Nếu ABCD là hình thang cân thì:

2

AD=BC- BH

e) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích bằng một phần 2 tích độ dài hai đường

chéo

f) Tứ giác có hai đường chéo tạo nhau góc a : Diện tích bằng một phần 2 tích độ dài hai

đường chéo nhân sina

Phần 8: KIẾN THỨC TRỌNG TÂM PHẦN MẶT TRÒN XOAY

Hình

nón

tròn

xoay

Các yếu tố gồm:

Đường sinh: l = OM .

Chiều cao: h = OI.

Bán kính đường tròn đáy:

r = IM

Góc ở đỉnh mặt nón: 2.IOM ·

Diện tích xung quanh:

1 2

xq

S = p q

Trong đó: p là chu vi đáy của

hình chóp đều nội tiếp hình nón; q là khoảng

cách từ O tới một cạnh đáy của hình chóp đều

.

xq

S = p r l

Diện tích đáy:

2 .

d

S = p r

Diện tích toàn phần:

2

.

tp

tp

p

1 3

V = B h

Trong đó: B là

diện tích đáy;

h là chiều cao.

2

1 3

V = p r h

Hình

trụ

tròn

xoay

Các yếu tố gồm:

Đường sinh: l = CD.

Chiều cao: h = = l AB.

Bán kính đường tròn đáy:

Diện tích xung quanh:

.

xq

S = p h Trong đó:

p là chu vi đáy của

hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ; h là chiều

cao

2

xq

S = p r l

Diện tích 2 đáy:

2

2d 2 .

S = p r

Diện tích toàn phần:

2

2

2 2

2

tp tp

p

.

V = B h

Trong đó: B là

diện tích đáy;

h là chiều cao.

2 .

V = p r h

r = AD = BC.

Mặt

cầu

2

4

3

V = p R

1) Đối với hình chóp S.ABCD

hình vuông hoặc hình chữ nhật; hình chóp S.ABC có

SA ^ ABC , D ABC

vuông tại B Khi đó mặt cầu

( ) S có đường kính SC, tâm là

trung điểm SC, bán kính

2

SC

R =

2) Đối với hình chóp có chân đường cao trùng tâm mặt đáy thì bán kính ( ) S

2

bê

canh n

R

chi u cao



