2 Tính thể tích vật thể tròn xoay: -Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=f x, hai đường thẳng b 2 a V=p.. y dxò Chú ý: Đối với bài toán tính thể tích vật th
Trang 1TÓM TẮT KIẾN THỨC TOÁN 12
I.BẢNG ĐẠO HÀM
1) u v ' u v ' ' 15) u v ' u v u v ' '
'
3)( ) c ' 0 = 17)( ) x ' 1 =
4)( ) xn ' = n x n-1
18)( ) un ' = n u n-1 ' u
'
æö ÷
ç ÷
=-ç ÷
'
æö ÷
ç ÷
=-ç ÷
çè ø
6)( ) x ' 2. 1
x
=
20)( ) u ' 2. u '
u
=
9) tan ' 12 1 tan2
cos
x
23) tan ' 2'
cos
u u
u
2
1
sin
x
24) cot ' 2'
sin
u u
u
11) ex ' ex
25) eu ' u e '. u
12) ax ' ax.ln a
26) au ' u a ' .lnu a
13) ln x ' 1
x
27) ln u ' u '
u
14) log ' 1
.ln
a x
x a
28) log ' '
.ln
a
u u
u a
Trang 2
29) 2 '
30) 2 '
'
a x b a d b c
c x d c x d
32)
( ' ' ) 2( ' ' ) ( ' ' )
'
ax bx c ab a b x ac a c x bc b c
Cách nhớ công thức 32 là : “anh ba, ăn cơm hai lần, ba chén”
II DẠNG TOÁN TÍNH GTLN, GTNN CỦA HS: yf x( ) TRÊN ĐOẠN a b;
-Hàm số xác định và liên tục trên ;a b
-Tính y’, gpt y’= 0 Tìm các nghiệm x x1 2, , a b;
-Tính f a f b f x f x( ), ( ), ( ), (1 2)… -Số nào lớn là GTLN, số nào nhỏ là GTNN
Chú ý: 1) Nếu đề bài yêu cầu tính GTLN, GTNN trên khoảng a b; thì ta lập BBT của hàm
số trên khoảng đó rồi kết luận
2) Nếu đề bài không cho đoạn, khoảng thì ta tìm trên TXĐ
III Các hàm cơ bản và tính chất:
1) Hàm bậc nhất y a x b . a)
y a x b
b) Không cực trị, không tiệm cận
2) Hàm y a x 3 b x 2 c x d a 0
0
a
0
a
0
a
d) ĐTHS có 2 hoặc 0 cực trị, không có tiệm cận
3) Hàm bậc bốn
0
a b
a b
a) HS không bao giờ ĐB, NB trên R d) ĐTHS có 3 hoặc 1 cực trị, không có tiệm cận
Trang 3
a x b
c x d
\ d
D
c
' a d b c
y
cx d
c) Hàm số NB trên từng khoảng XĐ y' 0 x D a d b c 0
d) ĐTHS có 2 đường tiệm cận TCN:
a y c
; TCĐ:
d x c
5) DẠNG TOÁN Tìm m để hs đạt cực trị tại x 0
- Tính y', Tính y '' Hs đạt cực trị tại x0
0 0
6) DẠNG TOÁN Tìm m để hs đạt cực tiểu tại x 0
- Tính y', Tính y '' Hs đạt cực tiểu tại x0
0 0
- Tính y', Tính y '' Hs đạt cực đại tại x0
0 0
8) Cách tìm tiệm cận hàm số
TS y MS
a)
1 2
0
x x
x
1
x
hoặc MR thì loại, còn lại là TCĐ
c)Nhập
10 10
10 cal
10
TS
MS kết quả bằng số thì y bằng số đó là TCN.
IV LŨY THỪA-MŨ-LOGA
1)am n a am n
m
m n
n
a a
a
3) am n am.n
4)a bn n a.b n 5)amn nam 6)
n n
n
Trang 4
n
n
1 a
a
8)
9)af ( x ) b f ( x ) log b a 10)af ( x ) ag( x ) f ( x ) g( x ) 11)
1
f ( x )
a
a
12) 0 1
f ( x )
a
a
13) 1
f ( x ) g( x )
a
14) 0 1
f ( x ) g( x )
a
15)log b ba 1 2 log ba 1 log ba 2 16)
1
2
b
17)
m
1
a
a m
log b log b
m
19)
m
a
a n
m
n
20)log b.log c log ca b a
21)
c a
c
log b log b
log a
22)
1
a
b
log b
log a
23)log f ( x ) ba f ( x ) a b 24)
f ( x ) g( x ) log f ( x ) log g( x )
g( x ) hoac f ( x )
25) Nếu đề bài chưa cho đúng dạng CT nghiệm thì ta đặt điều kiện sau đó áp dụng các CT biến đổi pt về đúng dạng CT nghiệm
V BẢNG TÓM TẮT HÀM SỐ LŨY THỪA y=ua
nguyên â TXD: u 0.
khô nguyên TXD: u 0.
u R
ng
Trang 5
BẢNG NGUYÊN HÀM
2)
1
x
1
1
1 (ax b)
3)
1
dx ln | x | C
4)
; e dxx ex C ax b 1 ax b
a
x
ln a
ò
a
a
dx
cot x C
cot(ax b) C
dx
tan x C
tan(ax b) C
9)
dx
2 x C
a a.x b
Trang 6
11)òtan xdx=- ln cos x +C tan a.x( b dx) 1ln cos a.x( b) C
a
ò
a
ò
13)
x e dx=x e - e + = -c x e +c
ò
VI Định nghĩa và tính chất:
1) Định nghĩa nguyên hàm:
Nếu ( )'
2) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN:
-Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn[a;b ]
Khi đó hiệu số F(b) F(a)- được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f (x) , kí hiệu
b
a
f (x)dx
ò
b
b a a
-ò
3)Các tính chất:
3.1) ( ( ) ) , ( )
f x dx = f x
ò 3.2)òf x dx'( ) = f x( )+c
3.3)òk f x dx ( ) =k.ò f x dx( ) (k là hằng số khác 0)
3.4)òéëf x( )±g x dx( )ùû =òf x dx( ) ±òg x dx( )
3.5) f a x b dx( ) 1.F a x b( ) c a( 0)
a
ò
3.6)
k f x dx k= f x dx
(k là hằng số) Chỉ tính chất 3 và 6 giữa nguyên hàm và tích phân khác nhau, cá tính chất còn lại giống
nhau
3) Dạng 3: Vận dụng phương pháp tính NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN:
Trang 7
-Nếu hai hàm u=u(x);v=v(x) có đạo hàm liên tục, v (x)dx' =dv;u (x)dx' =du Ta có công
thức tính tích phân từng phần:
b a
-Các bước tính nguyên hàm từng phần:
*Một số kỹ thuật khi tính NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN :
p(x).sin xdx
ò
p(x).cos xdx
ò
x
p(x).e dx
ò
p(x).ln xdx
ò
( p(x) là đa thức)
1
ln xdx
xa
ò
(a ¹ - 1)
u= p(x) ln x
dv= Phần còn lại
Tóm lại: Đặt u theo thứ tự ln, đa, lượng = mũ
-Hình phẳng giới hạn bởi y=f (x), trục hoành Ox, x=a, x= được tính b
b
a
-Hình phẳng giới hạn bởi y=f (x), y1 =f (x)2 , x=a, x= được tính b
b
a
-*Để tính diện tích hình phẳng ta cần tìm đủ 4 đường; hai đường y , hai đường x Nếu thiếu
đương x ta tìm bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay:
-Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=f (x), hai đường thẳng
b 2 a
V=p y dxò
Chú ý: Đối với bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay không giải phương trình hoành độ
giao điểm nếu tích phân đã có đủ hai cận
* công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox
tại các điểm x=a, x=b(a<b) có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Trang 8
Ox tại điểm có hoành độ x (a£ £x b)
là S x( ) Thể tích là :
a
b
V = ò S x x
Phần 4: SỐ PHỨC
I Định nghĩa và các tính chất căn bản
-Số i: i2=- 1
-Với n=4q+ , ta có: r in =ir
-Số phức z= +a bi vớia,b R , a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo
-Điểm biểu diễn của z= +a bilà M(a; b)
-Số phức z= +a bicó số phức liên hợp là: z a bi
-Hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo
a b i c d i
b d
ìï + =
ïí
ïî
-Số phức z= vớibi b R b 0 được gọi là số thuần ảo
-Cộng trừ hai số phức a bi c di a c b d i
-Phép nhân hai số phức thực hiện như nhân hai số thực với lưu ý i2 =- 1
-Phép chia số phức thực hiện bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp với mẫu
-Căn bậc hai của số thực a âm là i | a |
-Phương trình bậc hai ax2 bx c 0 với trường hợp
2
b i | | x
2a
*Chú ý: Phương trình bậc hai ax2 bx c 0 với trường hợp b2 4ac 0 có hai nghiệm
phức là hai số phức là hai số phức liên hợp.
I Lý thuyết căn bản
Trang 9
1) OM x i y j z k. . . M x y z ; ;
B A; B A; B A
AB x x y y z z
Cho aa a a1 ; ; 2 3 , bb b b1 ; ; 2 3,A x y z A; ;A A,B x y z B; ;B B,C x y z C; C; C
2) Độ dài vecto a a12a22a32
3) Độ dài đoạn AB: AB=
AB x x y y z z
4) Góc giữa hai vecto:
cos
.
a b
a b
(tích vô hướng chia tich độ dài)
5) Gọi I là trung điểm AB: 2 , 2 , 2
x y z
6) Gọi G là trọng tâm ABC : 3 , 3 , 3
x y z
7) Tích vô hướng hai vecto: a b a b a b 1 1 2 2 a b3 3 Suy ra: a b a b a b1 1 2 2 a b3 3 0
8) Tích có hướng hai vecto:
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, a a ;a a a; a
a b
b b b b b b
-Chú ý: +Tích có hướng của 2 vecto vuông góc cả hai vecto đó.(é ùa;b a=0; a;b bé ù =0)
+Hai vecto a;b
r r
cùng phương Û é ùa;b =0
ê ú
+Ba vecto u;v; w
r r ur
đồng phẳngÛ é ùu;v w =0
ê ú
r r ur
9) A, B, C là 3 đỉnh tam giác (không thẳng hàng) AB AC, 0
2
ABC
S AB AC
10) A, B, C, D là 4 đỉnh tứ diện AB AC AD, . 0
6
ABCD
V AB AC AD
11) Thể tích hình hộpABCD A B C D ' ' ' ' bằng: ' ' ' '
'
ABCD A B C D
V AB AD AA
12) Khoảng cách từ M x y z o o, ,o o đến mp P Ax By Cz D: 0 là:
0 , Ax 2By 2Cz 2 D
d M P
A B C
13) Cho đường thẳng () qua Mvà có VTCP u
Trang 10
Khoảng cách từ M x y z o o, ,o ođến () là:
0 0
, , M M u
d M
u
14) Cho đường thẳng 1 qua M1, VTCP u 1
, 2 qua M2, VTCP u 2
1
, 2 chéo nhau u u1 , 2 M M1 2 0
1 2 1 2 1 2
1 2
, ,
,
u u M M d
u u
15) PTMC
I a b c
PT: x2 y2z2 2ax 2by 2cz d 0 là PTMC
S tâm I a b c 2; ; 2 2
R a b c d
DK dê (S) là ptmc là : a2 b2 c2 d 0
Muốn viết PTMC cần biết tâm và bán kính
a) Mặt cầu tâm I và đi qua A
tâm I
S
(R bằng độ dài đoạn IA hay AI hay độ dài vecto IAuur
đều đúng) b) Mặt cầu tâm I x y z 0; 0; 0
tâm I
S
R d I P
c) Mặt cầu (S) đường kính AB:
I S
AB R
2
AB
R=IA=IB=
uur
đều đúng
d) Mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D
Trang 11
-Nêu dạng S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 Thế tọa độ 4 điểm vào (S) được hệ 4 pt 4
ẩn Giải hệ tìm 4 ẩn a, b, c, d
16) Phương trình mặt phẳng
*VTPT là vecto khác 0có giá vuông góc với mp Muốn viết ptmp:
-Cần M o o o ox y z; ; (P) và một VTPT ; ;
n A B C (P) có dạng:
0
A x x o B y y o C z z o , biến đổi về dạng: Ax + By + Cz + D = 0
Hoặc cần một VTPT ; ;
n A B C và một điều kiện khác, suy ra (P): Ax By Cz D 0 Từ điều kiện khác giải tìm D
Đặc biệt: Mp (Oxy : z) =0 (Oyz : x) =0 (Oxz : y) =0
AÎ (Oxy)Þ A(a ;a ;0)1 2 ;BÎ (Oxz)Þ B(b ;0;b )1 3 ;C (Oyz)Î Þ C(0;c ;c )2 3
Ptmp qua A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c có dạng: ( ) ( ) ( )
1
17) Phương trình đường thẳng( )D :
*VTCP là vecto khác 0 có giá song hoặc trùng ( )D Muốn viết pt đường thẳng cần
; ;
M x y z o o o o ( )D và một VTCP u a b c , ,
Pt tham số ( )D :
0 0 0
x x a t
y y b t
z z c t
-Nếu a¹ 0;b 0;c 0¹ ¹ thì pt chính tắc đt ( )D có dạng: x xa 0 y yb 0 z zc 0
Đặc biệt: A OxÎ Þ A(a;0;0) ;B OyÎ Þ B(0;b;0) ;C OzÎ Þ C(0;0;c)
18) Một số tình huống tìm VTPT của mp, VTCP của đường thẳng:
a) mp(P) vuông góc với AB VTPT là n P AB hoac BA
b) (P) là mp trung trực đoạn AB:
qua I P
Trang 12
c) mp(P)tiếp xúc mc (S) tâm I bán kính R tại A S :
: P
qua A P
VTPT n AI
d) qua A, B Suy ra VTCP là AB
19) Sáu VTTĐ cần nhớ giúp ta tìm VTPT của mp, VTCP của đường thẳng
/ /( )
( )
n a
n a b
n b
I Công thức tính thể tích và cách tìm góc:
1)Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy
nhân với chiều cao
2)Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với
chiều cao
3)Tỉ số thể tích:
' ' '
S A B C
S ABC
4)Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt
phẳng Để xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng ta cần một giao điểm và một điểm vuông góc
5)Góc giữa hai mặt phẳng: Cần một giao tuyến, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này
vuông góc giao tuyến, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia và vuông góc giao tuyến, góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng mới tìm
II Tam giác
a) Tam giác thường:
ABC
a b c
R
-2)
1 2
ABM ACM ABC
SD =S = SD
B A
C
S
C'
Trang 133)
;
4) Độ dài đường trung tuyến:
2
-5) Định lí cosin: BC2=AB2+AC2- 2.AB AC .cosA
R
7) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A Ta có:
DC =AC Þ uuur=- AC uuur
8) Trực tâm tam giác là giao điểm ba đường cao
Trọng tâm tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến
Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm ba đường trung trực
Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác
b) Tam giác đều cạnh a
1)
3 4
ABC
canh
2)
3 2
canh
AH =
3)
;
4) Tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam
giác
c) Tam giác vuông tại A.
10) Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh
huyền
d) Tam giác vuông cân tại A
Trang 14
( )2 2
2
ABC
BC
III Tứ giác:
a) Hình bình hành:
ABCD
b) Hình thoi:
1
2
ABCD
Đặc biệt: Nếu ·ABC=600 thì DABC, DADC đều.
3 2
2
ABCD ABC
canh
c) Hình chữ nhật: S ABCD=AB AD.
d) Hình vuông: S ABCD =AB2
Đường chéo:
AC=BD= canh =AB
d) Hình thang:
2
ABCD
=
Đặc biệt: Nếu ABCD là hình thang cân thì:
2
AD=BC- BH
e) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích bằng một phần 2 tích độ dài hai đường
chéo
f) Tứ giác có hai đường chéo tạo nhau góc a : Diện tích bằng một phần 2 tích độ dài hai
đường chéo nhân sin a
Phần 8: KIẾN THỨC TRỌNG TÂM PHẦN MẶT TRÒN XOAY
Trang 15
Hình
nón
tròn
xoay
Các yếu tố gồm:
Bán kính đường tròn đáy:
r = IM .
Diện tích xung quanh:
1 2
xq
S = p q
Trong đó: p là chu vi đáy của
hình chóp đều nội tiếp hình nón; q là khoảng
cách từ O tới một cạnh đáy của hình chóp đều
.
xq
S = p r l
Diện tích đáy:
2
.
d
S = p r
Diện tích toàn phần:
2
.
tp tp
p
1 3
V = B h
Trong đó: B là
diện tích đáy;
h là chiều cao.
2
1 3
V = p r h
Hình
trụ
tròn
xoay
Các yếu tố gồm:
Bán kính đường tròn đáy:
Diện tích xung quanh:
.
xq
p là chu vi đáy của
hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ; h là chiều
cao
2
xq
S = p r l
Diện tích 2 đáy:
2
2d 2 .
S = p r
Diện tích toàn phần:
2
2
2
tp tp
p
.
V = B h
Trong đó: B là
diện tích đáy;
h là chiều cao.
2 .
V = p r h
Trang 16
r = AD = BC.
Mặt
cầu
2
4
3
V = p R
Đặc biệt: Một số cách xác định tâm bán kính mặt cầu ( ) S ngoại tiếp hình chóp:
1) Đối với hình chóp S.ABCD
có SA ^ ( ABCD ), ABCD là
hình vuông hoặc hình chữ nhật; hình chóp S.ABC có
SA ^ ABC , D ABC
vuông tại B Khi đó mặt cầu
( ) S có đường kính SC, tâm là
trung điểm SC, bán kính
2
SC
R =
2) Đối với hình chóp có chân đường cao trùng tâm mặt đáy thì bán kính ( ) S
2
bê
canh n
R
chi u cao
