BẢNG tóm tắt CÔNG THỨC TOÁN 12

Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện tích S x là hàm liên tục trên [a;b].. Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy..

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12

CÔNG THỨC LŨY THỪA

Cho các số dương a b, và m n,  Ta có:

 0

1

n thừa số

a a a a với *

n

a a

 

 ( am n)  amn  ( an m)  a am n am n 

m

m n n

a a a





 a bn n  ( ab )n 

n n

n

 

1 2 1

n



CÔNG THỨC LOGARIT

Cho các số a b, 0, a1 Ta có:

 logab    a  b  lg b  log b  log10b  ln b  logeb

 logamb 1logab

m

n

a a

n

m



 log (a bc )  logab  logac  loga b logab logac

c

 

log

a

b







 logab logbc  logac  log log

log

a

b a

c

c

log a

b

b

a



HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT

HÀM LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

 Dạng: y x







 với u là đa

thức đại số

 Tập xác định:

Nếu ĐK u

Nếu ĐK u 0

Nếu ĐK u 0

 Đạo hàm:

1

1 .











 Dạng: y a x u

y a với 0

1

a a

 Tập xác định: D

 Đạo hàm:

ln

ln

Đặc biệt: ( )

( )

x x

u u

e e u

 Sự biến thiên: x

y a Nếu a 1 thì hàm đồng biến trên Nếu 0 a 1 thì hàm nghịch biến trên

 Dạng: log

log

a

a

y u với 0

1

a a

 Đặc biệt: a e y ln ;x

 Điều kiện xác định: u 0

 Đạo hàm:

1 log

ln log

ln

a

a

x a u

u a

Đặc biệt:

1 (ln )

(ln )

x x u u u

 Sự biến thiên: y loga x

Nếu a 1 : hàm đồng biến trên (0; ) Nếu 0 a 1: hàm nghịch biến trên (0; )

ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

 Ta thấy: x 0 1; x 0 1

 Ta thấy: x 1; x 1

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ trái sang phải, trúng a x trước nên a b

 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ trái sang phải, trúng c x trước nên c d

 Vậy 0 b a 1 d c

 Ta thấy: loga x 0 a 1; logb x 0 b 1

 Ta thấy: logc x c 1; logd x d 1

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ phải sang trái, trúng logb x trước: b a

 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ phải sang trái, trúng logd x trước: d c

 Vậy 0 a b 1 c d

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Phương trình mũ Phương trình Logarit

 Dạng cơ bản: ( ) ( )

a  a  f x  g x  Dạng cơ bản: log ( ) log g( ) ( ) ( ) 0

 Dạng logarit hóa:

( )

f x

a

a

 Dạng mũ hóa: loga f x ( )   b f x ( )  ab

(không cần điều kiện)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit

 Dạng cơ bản:

1

a

a



 

 Dạng cơ bản:

1

log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0 log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )

a

a



 

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

 k  0

Với k là hằng số

( x)    x

1 ( u)   u u 

2

x

x

 

 

2

u u

u







   

 

2

 

   

  x x

e   e

  eu  e uu 

  x xln

a   a a

  au  au.ln a u 

 sinx cosx

sinu ucosu

 cosx  sinx

cosu usinu

   2

2

1

cos

x

2

cos

u

u



2

1

sin

x

     

2

sin

u

u



CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

f x dx  F x   C F x   f x



  k f x dx ( )  k  f x dx ( )    f x ( )  g x dx ( )    f x dx ( )   g x dx ( )   kdx  kx C 

2)

1

1

x











1

1

a















4 3

4

x

3

3

x





3) 1dx ln x C MR 1 dx 1ln ax b C



1 3xdx 3  xC

MR









3 2

2

3

x

4

ln 5

a

1

e dx  e    C e C



6)

ln

x

a

1 ln

bx c





ln 5

x x

ln 9

x



x

2

e   e dx e   e dx e   e C

x

7)  sin xdx   cos x C 

1

MR

a



4;

2

1



 

8)  cos xdx  sin x C 

1

MR

a



1;

3

1



 

(hạ bậc)

2

1

cos xdx  x dx x C

2

tan cos

MR





2

x

 12 1tan 3 cos 3xdx3 x C

   

MR

a

2;

1

2



 

2

1

sin xdx  x dx  x C

2

cot sin

MR





MR

a



cot

sin 8xdx 8 x C

3



DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x ( ),

trục Ox, x  a x ,  b thì có diện tích:

( )

b a

S f x dx

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x ( ),

( )

y  g x , x  a x ,  b thì có diện tích:

( ) ( )

b a

S f x g x dx

 Khi xoay hình phẳng ( )

,





 quanh Ox,

ta được khối trụ tròn có thể tích

2

( )

b

a

V  f x dx

 Khi xoay hình phẳng

( ) ( ) ,





 





quanh Ox,

ta được khối trụ tròn có thể tích

( ) ( )

b a

V  f x g x dx

 Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng xa x, b Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện tích S x ( ) (là hàm liên tục trên [a;b]) Thể tích khối này trên   a b ; là: b ( )

a

V S x dx

CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG

Xét hàm quảng đường S t( ), hàm vận tốc v t( ) và hàm gia tốc a t( ) Ba hàm này sẽ biến thiên theo t

 S t ( )   v t dt ( )  v t ( )  S t  ( )  v t ( )   a t dt ( )  a t ( )  v t  ( )

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hệ thức cơ bản:

sin cos1  tan sin

cos







sin







1

1 tan

cos





2

1

1 cot

sin





k k



k k



2 Cung liên kết:

Đối:  và   Bù:  và    Phụ:  và

2

  Khác pi:    ;  Khác : ;

Pi   

sin()  sin sin(  )  sin sin     2     cos 

2

2

2

tan()  tan tan(  ) tan tan cot

2

2

cot()  cot cot(  ) cot cot tan

2

2

Tang, Cotang

Khác pi chia 2 Sin bạn cos

3 Công thức cộng:

tan tan tan( )

1 tan tan

a b



 



tan tan tan( )

1 tan tan

a b



 



4 Công thức nhân đôi, nhân ba:

sin 2   2sin cos  

cos 2 cos sin

2 cos 1 1 2sin

2 tan tan 2

1 tan











3

1 3 tan











5 Công thức hạ bậc

2 1 cos 2

sin

2



cos

2



tan

1 cos 2













6 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2 cos cos

sin sin 2sin cos

sin sin 2 cos sin

sin( ) tan tan

cos cos

a b



cos cos

a b



                 

7 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1

cos cos cos( ) cos( )

2

sin sin cos( ) cos( )

2

sin cos sin( ) sin( )

2

a b a b  a b Cos.Cos thì Cos cộng cộng Cos trừ Sin.Sin thì Cos trừ trừ Cos cộng Sin.Cos thì Sin cộng cộng Sin trừ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2



 



2





 



Đặc biệt:

2

2



   

     

  

 k   Đặc biệt:

cos 0

2



  

    

   

 k  

 tan u  tan v    u v k   k    cot u  cot v    u v k   k  

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN

Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp,

ta sẽ cộng các kết quả lại

Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai

đoạn ấy

 Sắp xếp (đổi chỗ) của n phần

tử khác nhau, ta có số cách

xếp là Pn  n ! với n 

 Cách tính:

! 1.2 1

 Quy ước sốc: 0! 1 

 Chọn k phần tử từ n phần tử (không sắp xếp thứ tự), ta có số cách chọn là k

n

C

 Cách tính:  !  ! !

k n

n C

n k k





với , 0

n k

 Chọn k phần tử từ n phần tử (có sắp xếp thứ tự), ta được số cách chọn là k

n

A

 Cách tính:  !  !

k n

n A

n k



với , 0

n k

XÁC SUẤT

 Công thức: ( ) ( )

( )

n X

P X

n



 Trong đó: n X( ) : số phần tử của tập biến cố X; n( ) : số phần tử không gian mẫu P X( ) là xác suất để biến cố X xảy ra với X 

 Tính chất:

0P X( ) 1

( ) 1 ( )

P X  P X với X là biến cố đối của X

KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN

Khai triển dạng liệt kê:

Trong các công thức bên,

ta luôn có n , n2.

ab C a C a b C a  b  C ab  C b

 Đặc biệt:   0 1 2 2 1 1

1x n Cn C x C xn  n  Cnn xn C xnn n (*)

 Hệ quả 1: 0 1 2 1

n n 2n

C C C  C  C  (tức là thay x  1 vào (*))

 Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x   1 vào (*), ta có:

Khai triển tổng quát:

Trong các công thức bên,

ta luôn có n , n2.

 Khai triển:  

0

n

n k



   Số hạng tổng quát: 1 k n k k

T C a  b

 Phân biệt hệ số và số hạng: k( 1)k n k k

n HỆ SỐ SỐ HẠNG

Nhớ rằng số hạng không chứa x ứng với 0

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN

1 Định nghĩa:

 Dãy số   un được gọi là cấp số cộng khi và

chỉ khi un1und với *

n

 Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u1,

công sai d

2 Số hạng tổng quát:

 un   u1 (n 1)d với *

n

3 Tính chất các số hạng:

 uk1uk1 2uk vớik  và k  2

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

2

n

1 Định nghĩa:

 Dãy số   un được gọi là cấp số nhân khi và

chỉ khi un1u qn với *

n

 Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u1,

công bội q

2 Số hạng tổng quát:

1 n

n

u u q  với *

n

3 Tính chất các số hạng:

1 1

u  u  u với k  và k  2

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

1

n

q



 với q  1.

KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN

XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM BẬC BA 3 2

y  ax  bx   cx d (a 0)

HÀM NHẤT BIẾN

ax b

cx d



 Bước 1: Tìm tập xác định D

 Bước 2: Tính y f x( ) ; cho

0

y Tìm nghiệm x x1, 2

 Bước 3: Lập bảng biến thiên

(Nên chọn giá trị x đại diện cho

từng khoảng thay vào y để tìm

dấu của y trên khoảng đó).

 Bước 4: Dựa vào bảng biến

thiên để kết luận về sự đồng

biến, nghịch biến của hàm số

 Đạo hàm 2

y   ax  bx c 

 Hàm số đồng biến trên tập

xác định     y  0, x

0 0

a 



   

 Hàm số nghịch biến trên

tập xác định     y  0, x

0 0

a 



   

 Đạo hàm 2

y

cx d



 

 Hàm số đồng biến trên

từng khoảng xác định

0.

 Hàm số nghịch biến

trên từng khoảng xác định ad  bc  0.

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA3 2

y  ax  bx   cx d (a0)

CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN

y  ax  bx  c (a 0)

 Hàm số có điểm cực trị là

( )

y x



(giả thiết là hàm số liên tục

tại x0)

 Đạo hàm 2

y   ax  bx c 

 Hàm số có hai cực trị

0 (*) 0 y

a







 Để tìm điều kiện cho hàm số không có cực trị: Bước 1:

làm theo công thức (*)

Bước 2: phủ định kết quả

 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

( ) ( ) ( )

18

f x f x

y f x

a

 Đạo hàm 3

y   ax  bx

 Điều kiện cực trị

Ba cực trị ab  0

Một cực trị 2 2

0 0

ab







Có cực trị 2 2

0

a b 

 ChoA B C, , là ba điểm cực trị, ta có:

3 3

8 cos

8

BAC







5 3 32 ABC

b S

a

 

0

( ) 0

( ) 0

f x

( )

f x đạt cực đại tại x x0.

0

( ) 0

( ) 0

f x

( )

f x đạt cực tiểu tại x x0

TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN

Tìm Max-Min của f x( ) trên đoạn   a b ;

TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG

Tìm Max-Min của f x( ) trên khoảng ( ; )a b

 Bước 1: Tính y f x( )

Tìm các nghiệm x i ( ; )a b khi cho f x( ) 0

 Bước 2: Tính các giá trị ( ), ( )f a f b và f x( ), i

(nếu có)

 Bước 3: So sanh tất cả giá trị trong bước 2 để

kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

 Bước 1: Tính y f x ( ) Tìm các nghiệm x i ( ; )a b khi cho f x( ) 0

 Bước 2: Cần tính lim , lim

x a x b

y y (Nếu thay ( ; ) a b

bằng ( ; ) thì ta tính thêm lim

 )

 Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng

ĐẶC

BIỆT

 Nếu hàm ( )f x đồng biến trên [ ; ] a b thì

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ) min ( ) ( )

x a b

x a b

f x f b

f x f a

 Nếu hàm ( )f x nghịch biến trên [ ; ] a b thì [ ; ]

[ ; ]

max ( ) ( ) min ( ) ( )

x a b

x a b

f x f a

f x f b

TIỆM CẬN ĐỨNG TIỆM CẬN NGANG

 Định nghĩa: x x0

y (x hữu hạn, y vô hạn),

ta có tiệm cận đứng x x0 Lưu ý: điều kiện

0

x x có thể được thay bằng x x (giới 0

hạn bên trái) hoặc x x0 (giới hạn bên

phải)

 Cách tìm TCĐ: Nếu x x0 là một nghiệm

của mẫu số mà không phải là nghiệm của

tử số thì x x0 chính là một TCĐ của đồ thị

 Định nghĩa:

0

x

y y (x vô hạn, y hữu hạn),

ta có tiệm cận ngang y y0

 Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO

Bước 1: Nhập hàm số vào máy

Bước 2: CALC NEXT X 10 ^ 10 NEXT

10 ^ 10

Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức

là y0) thì ta kết luận TCN: y y0

 Đồ thị hàm số y ax b

cx d với (c 0,ad bc 0) có một TCĐ: x d

c , một TCN: y a

c

 Nên nhớ, đồ thị có thể có nhiều tiệm cận đứng, nhưng chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang

TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ

Xét hai đồ thị( C1) : y f x ( ) và( C2) : y g x ( )

 Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm

của ( C1) & ( C2): ( )f x g x( ) (*)

 Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các

nghiệm x x1, 2, (nếu có), suy ra y y1, 2

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG 1

Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị ( ) :C y f x( ) tại

điểm M x y ( ;0 0) ( )  C

DẠNG 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y f x( ) biết tiếp

tuyến có hệ số góc k

DẠNG 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y f x( ) biết tiếp tuyến đi qua A x y ( A; A)

 Bước 1: Tính đạo hàm y , từ

đó có hệ số góc k y x( ).0

 Bước 2 : Viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị dạng

y k x x y

 Bước 1: Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp

điểm và tính đạo hàm y

 Bước 2: Cho y x( )0 k, từ đó tìm được tiếp điểm ( ; ).x y0 0

 Bước 3: Viết phương trình

tiếp tuyến :

 Bước 1: Tiếp tuyến có dạng :

( )( )

y y x x x y (*) với

 Bước 2: Thay tọa độ điểm A

vào (*) để tìm được x0

 Bước 3: Thay x0 tìm được vào

0 0

y k x x y (*) để viết phương trình tiếp

tuyến

SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN

Số phức có dạng: z a bi với

2

, 1

a b

i (i: là đơn vị ảo) Ký hiệu tập số phức:

Thành phần Hình học Minh họa

 Phần thực: a

Nếu a 0 thì z bi được gọi là

số thuần ảo

 Phần ảo: b

Nếu b 0 thì z a là số thực

 Khi a b 0 thì z 0 vừa là số

thuần ảo vừa là số thực

 Điểm ( ; )M a b biểu diễn

cho z trên hệ trục Oxy

 Mô-đun:

2 2

Số phức liên hợp – Số phức

nghịch đảo Căn bậc hai Phương trình bậc hai

Cho z a bi Khi đó:

 Số phức liên hợp của nó

là z a bi

 Số phức nghịch đảo là

z

z a bi

i

 Căn bậc hai của a 0 là a

 Căn bậc hai của a 0 là

i a

 Căn bậc hai của số phức

z a bi là hai số phức dạng

w x yi với

2 2 2

xy b

 Phương trình z2 a 0 có hai nghiệm phức z a

 Phương trình 2

0

z a có

hai nghiệm phức z i a

 Phương trình az2 bz c 0 với 0 sẽ có hai nghiệm phức là: 1,2

2

b i z

a

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

I MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN:

AB AC BC AB2 BH BC

AC CH BC AH2 BH CH

AB AC AH

B

BC (đối/huyền) cosB AB

BC (kề/huyền) tan AC

B

AB (đối/kề) cot AB

B

AC (kề/đối)

2 Tam giác đều: Giả sử tam giác ABC đều có cạnh ; a trọng tâm ;G các đường

cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK

Diện tích:

ABC

3 Tam giác thường: Giả sử tam giác ABC có a BC b, AC c, AB; các đường

cao h h h a, ,b c lần lượt ứng với cạnh , , a b c Ký hiệu ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆

A

C

a

a a

G K

H

A

sin sin sin

R

Định lí Cô-sin: a2 b2 c2 2 cosbc A ;

2 2 2 2 cos ; 2 2 2 2 cos

ABC

4

ABC

abc

2

ABC

Công thức Hê Rông

a b c

S p p a p b p b với p (nửa chu vi)

4 Hình vuông: Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M N lần lượt là ,

trung điểm của CD AD , ; I là tâm hình vuông

Đường chéo:

2 2

a

IA IB IC ID nên I là tâm đường tròn đi qua

bốn đỉnh hình vuông

Diện tích: S ABCD (cạnh)2 a ; chu vi: 2 p 4 a

Vì ABN ADM, ta chứng minh được: AM BN

5 Hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB a AD, b

2 2 1

2

IA IB IC ID a b nên I là tâm đường tròn đi

qua bốn điểm , , , A B C D

Diện tích: S ABCD a b ; chu vi: p 2(a b)

6 Hình thoi: Cho hình thoi ABCD có tâm , I cạnh bằng a

2

ABCD

S AC BD; S ABCD 2S ABC 2S ACD 2S ABD

Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 (A C 1200) thì

ta chia hình thoi ra làm hai tam giác đều: ABC ACD

AC a và

2 3

; 4

ABC ACD

a

2 3

2

ABCD ABC

a

II THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

7 Hình chóp:

1

3 đ

7.1 Hình chóp tam giác đều Tất cả cạnh bên bằng nhau

Đáy là tam giác đều cạnh a

SH ABC với H là trọng tâm

∆ABC

2

2

4 Thể tích 3 4

đ

SH h

Góc giữa cạnh bên và mặt Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

Sđ

h

A

D S

H