tom tat cong thuc toan da so 12

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số để tính tích phân:.. Lập bảng biến thiên để kiểm lại.[r]

ÔN TẬP TOÁN 12

I.Các công thức đạo hàm:

1) (c ) '=0 (C là hằng số)

2) (x α)'=α x α −1

3) (1x)'=− 1

x2 (x ≠ 0)

4) (√x)'= 1

2√x (x >0 )

5) (sin x )' =cos x

6) (cos x ) '=− sin x

7) ( tgx )' = 1

cos x2

8) (cot gx )' =− 1

sin x2

9) (ex)'=e x

10) (a x)'=a x ln x

11) (ln|x|)'=1

x

12) (loga|x|)'= x ln a1

1) (uα)'=α x α− 1 u

2) (1u)'=− u'

u2 (x ≠ 0)

3) (√u)'= u '

2√u (x >0 )

4) (sin u) ' =u' cos u

5) (cos u )' =−sin u u '

6) ( tgu )' = u'

cosu2

7) (cot gu )' =− u '

sinu2

8) (eu)'=e u u'

9) (au)'=a u ln x u '

10) (loga|u|)'= u ln a u '

II/Các quy tắc tính đạo hàm:

1) (u ± v ± w)'=u ' ± v ' ± w ' 2) (k.u)’ =k.u’

3) (u.v)’ =u’.v + u.v’ 4) (u v)'= u ' v −u v '

v2 (v0) 5) (1v)'= − v '

v2 (v0) 6) y '= y ' u u ' x

7) (ax +b cx +d )'

=a d −b c

¿¿

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Một điểm M0(x0,y0)(C): y=f (x ).Ta có f’(x0)=k:là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M0

III/ Nguyên hàm:

1) Định nghĩa:F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên (a;b) F’(x) =f(x) ,

∀ x ∈(a , b).

2) Bảng các nguyên hàm:

3)

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp

1) ∫dx=x +c

2) ∫x αdx=x

α+1

α+ 1

3) ∫1xdx=ln|x|+c

4) ∫cos x dx=sin x+c

5) ∫sin x dx=− cos x +c

6) ∫cos12

x dx=tgx+ c

7) ∫sin12

x .dx=− cot gx+c

8) ∫e x dx=e x+c

9) ∫a xdx= a

x

ln a+c

1) ∫(ax +b)dx=1

a¿ ¿ ¿

2) ∫ax+b1 dx=1

aln|ax +b|+c

3) ∫cos(ax +b)dx=1

a sin (ax+ b)+ c

4) ∫sin (ax +b)dx=−1

a cos (ax +b)+c

5) ∫cos2 (ax +b)1 dx=

1

a tg(ax +b)+c

sin2(ax+b)dx=−

1

a cot g x+ c

7) ∫e ax+bdx=1

a e

ax+b

+c

8) ∫a mx+ndx= 1

m

a mx+n

ln a +c

3)Các phương pháp tích phân:

Dạng 1:

Tích phân của tích , thương phải đưa về tích phân của 1 tổng hoặc 1 hiệu bằng cách

nhân phân phối hoặc chia đa thức

*Chú ý: n

√a m

=a

m n

Dạng 2:Phương pháp tính tích phân từng phần:

a/ Loại 1 : Có dạng: A=∫

a

b

P(x ).[sin x e x

cos x

e ax+b]dx

Phương pháp:

Đặt u=P(x) ⇒du=P '( x) dx

dv = [sin x e x

cos x

e ax+b]dx⇒V =¿

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần

A=[u v]a

b

−∫

a

b

v du

b/Loại 2:có dạng : B=∫

a

b

P(x ) ln (ax+b) dx

Phương pháp :

Đặt u = ln(ax+b) => du = a

ax +b dx

dv = P(x)dx => V =

Áp dụng công thức B =[u v]a

b

−∫

a

b

v du

Dạng 3:Phương pháp đổi biến số để tính tích phân:

A=∫

a

b

f[ϕ( x )] ϕ' (x ) dx

Phương pháp :

Đặt t = ϕ (x)=> dt=ϕ' (x).dx

Đổi cận:{x=b => t=ϕ(b) x=a => t=ϕ(a)

Do đó A =ϕ (b)

F(t).dt=[F (t)]ϕ (a) ϕ (b)

Dạng 4:Các dạng đặc biệt cơ bản:

a/Loại 1: I=∫

0

a

dx

a2+x2

Phương pháp:Đặt x=a.tgt (− π

2<t<

π

2)

cos 2x dt=a(1+tg

2t)dt Đổi cận:

b/Loại 2: J=∫

0

a

√a2− x2 dx

Phương pháp: Đặt x=asint (− π

2≤ t ≤

π

2)

=> dx = acost.dt

Đổi cận

Dạng 5: I = ∫

a

b

dx

ax+bx+c

Nếu Δ>0 :ax2

+bx +c=a(x − x1)(x − x2)

Do đó : 1

ax2+bx+c =

1

a(x − x1)[x1− x1 2−

1

x1− x2]

Nếu Δ=0 :

1

ax 2

+bx+c =

1

a[ (x + b

2 a)2− Δ

4 a2]

Để tính I=∫

a

b

❑

1

a[ (x+ b

2 a)2− Δ

4 a2]

Phương pháp : Đặt x+ b

2 a=

2a tgt (làm giống dạng 4)

*Dùng phương pháp đồng nhất thức để tính tích phân hàm số hữu tỉ:

1)Trường hợp 1:Mẫu số có nghiệm đơn

P(x )

(x − a)(x − b)(x − c)=

A

x − a+

B

x −b+

C

x − c 2)Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm

P(x )

(x − a)(ax2+bx+c )=

A

x −a+

Bx+C

ax2+bx+c

3)Trường hợp 3: Mẫu số có nghiệm bội

P (x)

¿ ¿

VD:Tính các tích phân sau:

A=∫

2

3

dx

3 x2−2 x+1 ; B=∫

2

3

dx

x2− 6 x +9 ; C=∫

2

3

dx

x2+x +1

Dạng 6: A=∫sinn x dx hay∫cosn x dx

Nếu n chẵn :

Áp dụng công thức Sin2a=1− cos2 a2 Cos2a=1+ cos2 a2 Nếu n lẽ:

A=∫sinn −1 x sin x

Đặt t= cosx (biến đổi sinx thành cosx)

Dạng 7: A=∫tgm x dx hay B=∫cot g m x dx

Đặt tg2x làm thừa số Thay tg2x = 1

cos 2x −1

4.Các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng

1) Cos2a=1+ cos 2 a2 1.1) Sin2a=1− cos 2 a2 2) 2sina.cosa = sin2a 2.1) Cosa.cosb =

1

2[cos(a+b)+cos(a − b)]

3) Sina.sinb = −1

2[cos (a+b )− cos(a− b)] 3.1) Sina.cosb =

1

2[sin (a+b )+sin(a− b)]

*Các công thức lượng giác cần nhớ:

1) Sin2a+cos2a = 1 1.1) 1+tg2a = 1

cos 2a

2) 1+cotg2a = 1

sin 2a 2.1) Cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a -1 = 1- 2sin2a

3) Tg2a = 2 tga

1− tg2a 3.1) Sin 3a = 3sina – 4sin3a 4) Cos 3a = 4cos3a – 3cosa

*Các giá trị lựơng giác của góc đặc biệt:

IV: Diện tích hình phẳng.

1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c ): y =f ( x)và hai đường thẳng x=a; x=b

Phương pháp:

+ dthp cần tìm là:S=∫

a

b

|f ( x)|.dx (a<b)

+ Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:

 Nếu phương trình f(x) = o vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [a;b] thì

S=| ∫

a

b

f ( x) dx|

 Nếu f(x) = 0 có nghiệm thuộc [a;b] Giả sử x=α ; x=β thì

S=∫

a

α

|f ( x)|dx+∫

α

β

|f (x )|dx+ ¿∫

β

b

|f (x )|dx ¿S=| ∫

a

α

|f ( x)| dx|+| ∫

α

β

|f (x )|.dx|+| ∫

β

b

|f (x )|.dx|

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c ): y =f ( x)và trục hoành

Phương pháp:

 Hđgđ của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình : f(x) = 0

⇔¿

S=∫

a

b

|f ( x)|.dx=| ∫

a

b

f (x ) dx|

x=a; x=b

Phương pháp:

 Dthp cần tìm là:S=∫

a

b

|f ( x)− g(x )|dx

 Hđgđ của 2 đường (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình

 f(x) – g(x) = 0

 Lập luận giống phần số 1

0

1

1

2 1

2 / 3

1 / 2

2 / 2

2 3

2 2

si n

co s

3

1

2 /



 -1

-1

2 3

co st

V) Thể tích vật thể

1) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục ox và y=f(x) liên tục trên [a;b] Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:

V =π∫

a

b

[f (x)]2dx

2) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục oy và x=g(y) liên tục trên [a;b] Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: V =π∫

a

b

[g( y )]2dy

VI) Đại số tổ hợp

1) Giai thừa

n! = 1.2.3.4… n

2) Ngắt giai thừa

n!=(n-3)!(n-2).(n-1).n

7!=1.2.3.4.5.6.7

7!=5!.6.7

K!K=(K+1)!

Qui ước:

0!=1

1!=1

3) Số hoán vị của n phần tử

Pn! = n! n ≥ 1, n ∈ N

4) Số chỉnh hợp chập K của n phần tử

A n k= n !

(n − k)! 1 ≤ k ≤n❑

❑

,n∈ N

5) Số tổ hợp chập K của n phần tử

C n k= n !

k !(n− k )! 0 ≤ k ≤ n❑

❑

;n ∈ N

* Tính chất của Tổ Hợp:

 C n0

=C n n=1

 C n10

=n

 C n k=C n n −k

 C n k+C n k +1=C n+1 k+1

6) Nhị thức Newtơn

¿

Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a+b)x là Tk+1=C n k a n − k b k

(k =o , 1, , n)

7) Khai triển theo tam giác Pascal

VII) Các vấn đề có liên quan đến bài toán

Vấn đề 1: Đường lối chung khảo sát hàm số

Phương pháp:

1) Tập xác định

2) Tính y’

y '=0⇔¿

3) Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu là hàm số hữu tỷ)

4) Bảng biến thiên

5) Tính y’’ Lập bảng xét dấu y’’

6) Điểm đặc biệt

7) Vẽ đồ thị

Vấn đề 2: Biện luận phương trình f(x,m)=0 (1) bằng đồ thị (C)

Phương pháp:

 Chuyển m sang 1vế để đưa về dạng : f(x)=m

 Đặt y=f(x) có đồ thị (C)

 y=m là đường thẳng d cùng phương với trục ox

 Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d

 Dựa vào đồ thị kết luận

Phương pháp:

+ Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)là nghiệm của phương trình:

f (x)=g (x) ⇔ f (x)− g( x)=0 (1)

+ Biện luận:

 Nếu (1) có n nghiệm =>(C1) và (C2) có n điểm chung (Hay n giao điểm)

 Nếu (1) vô nghiệm => (C1) và (C2) không có điểm chung (Hay không có giao điểm)

Chú ý:

Nếu pt (1) có dạng ax + b = 0 chỉ khi biện luận phải xét 2 trường hợp

1) Nếu a=0

2) Nếu a ≠ 0

Nếu pt (1) có dạng ax2 + bx + c = 0 xét 2 trường hợp

1) Nếu a=0

2) Nếu a ≠ 0 Tính Δ Xét dấu Δ Dựa vào Δ lập luận

Nếu pt (1): ax3 + bx2 + cx + d = 0 Ta đưa về dạng :

(x − α)(a' x2+b ' x +c ')=0

⇔¿

Thế x=α vào (1) Tìm m Xét pt(2) Tính Δ

Đưa vàoΔbiện luận theo m để tìm số nghiệm của (1) => Số giao điểm của 2 đường (C1) và (C2)

Vấn đề 4: Tiếp tuyến với (C); y = f(x)

1) Trường hợp 1: Tại tiếp điểm M0(x0,y0)

Phương pháp:

+ Tính y’ => y’(x0)

+ phương trình tiếp tuyến với (C) Tại M0 có dạng: y – y0 = y’(x0).(x-x0)

2) Trường hợp 2: Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b (d)

Phương pháp:

+ Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm

+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0 có dạng y – y0 = y’(x0).(x-x0)

+ Vì tiếp tuyến song song với d nên: y’(x0).= a (1)

+ Giải (1) tìm x0 => y0

+ Kết luận

* Chú ý:

Biết tiếp tuyến vuông góc Vuông góc với đường thẳng d: y=ax + b thì

⇔

y ' (x0).a=−1

y ' (x0)=−1

a

3) Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA,yA)

Phương pháp:

+ Gọi Δ là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k có phương trình:

y - yA = k(x – xA)

<=> y = kx – kxA + yA.

+ Δ tiếp xúc với đường cong (C) <=> Hệ phương trình sau có nghiệm

f (x)=kx − kx A+y A(1 ¿ )

f ' (x )=k (2)

+ Thế (1) vào giải tìm x

+ Thế x vừa tìm được vào (2) Suy ra k

+ Kết luận

Vấn đề 5: Tìm m để Hàm số có cực đại và cực tiểu.

Phương pháp.

+ Tập xác định : D = R

+ Tính y’ Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔{a ≠ 0 Δ>0

2

+bx+c

a ' x +b '

Phương pháp:

+ Tập xác định D = R\{-b’/a’)

+ Tính y '= g(x )¿ ¿

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔{g(− Δ' g>0 b'

a')≠ 0

Phương pháp:

+ Tập xác định

+ Tính y’

Thuận: Hàm số đạt cực đại tại x0⇒ f ' (x0)=0⇔¿

Đảo: Thế m vào y’ Lập bảng biến thiên để kiểm lại.

+ Kết luận

Chú ý:

Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y’ chỉ cần đổi dấu khi x đi qua x0

uốn

Phương pháp:

3) Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Logarit

- Công Thức.

 LogaN=b (A>0; A ≠ 1 ;N >0)

 aloga N

=N

 loga a=1

 loga1=0

 loga(A B)=log a A+log a B

 loga(A

B)=loga A − log a B

 loga b α

=α log a b.log a α b=1

α loga b

 loga α b β=β

α loga b

 loga b= 1

logb a

 loga b log b c=log a c

loga b=logc b

log a

- Phương Trình – Bất Phương Trình Cơ Bản

 loga α1=loga α2⇔{ a>0 a≠ 1

α1=α2>0

 Nếu a > 1

loga α1≥ log a α2⇔α1≥ α2>0

 Nếu 0 < a < 1

loga x1≥ log a x2⇔ a<x1<x2

- Cách Giải:

 Đưa về cùnng cơ số

 Đưa về pt và bpt cơ bản

 Đặt ẩn số phụ

 Phân khoảng

 Giải pp đặt biệt

Hàm Số Lượng Giác

¿

¿

 Cos đối [−α]: đối của α

 Sin bù ( π − α ): Bù của α

 Khác πtg hoặc cotg ( π +α )

Lưu ý:

 Hàm số lượng giác (α +k 2 π )= hslg α



tg

cot g(α+kπ)=tg cot g(α)

hs lg(a− b)→ hslg(b − a)

 Hàm cos không đổi dấu giá trị

 Hàm sin, tg, cotg đổi

(α + β ): bù nhau

⇔ α+β=1800

(π )

⇒sin β=sin α

cos β=− cosα

tg β=− tg α

cot gβ=−cot gα

Δ ABC=A +B+C=π

⇒sin( A+B)=sin C

cos( A+B)=−cos C

tg(A +B)=− tgC

cot g( A+B)=− cot gC

 α và β :phụ nhau

α+β= π

2

⇔ sin(này )=cos(kia)

tg(này )=cot g(kia)

sin2α+ sin2β =cos2α+ cos2β

tgα tg β=cot gα cot gβ

+ tg(π

2+α )=−cot gα +cot g(π

2+α)=− tg α

Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Căn

 Các tính chất:

- −√A , đk a ≥0 ⇔¿

 Phương trình chứa căn bậc 2

 Phương trình chứa căn bậc 3:

 Cách giải