huyên đề góc trong HHKG

Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60.. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; biết AB B

GÓC TRONG KHÔNG GIAN Câu 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' '  Gọi M là trung điểm của BB Tính cosin của góc giữa

AK  KD Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD

tại H lấy điểm S sao cho

Câu 4. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

SA a Gọi M là trung điểm của SB Góc giữa AM bằng BD bằng?

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3, SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA2a Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng

Câu 6. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB4 2, cạnh

bênSCABC và SC Gọi 2 M là trung điểm AC , N là trung điểm AB Tính góc giữahai đường thẳng SM và CN

Câu 7. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB2a, BC a Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng đáy bằng 60 Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

Câu 8. Cho S ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật SAABCD Gọi Knằm trên cạnh

BCsao cho KC  2 KB, Q nằm trên cạnh CD sao cho QD  3 QC và M là trung điểm của

cạnh SD Biết AB a AD  ,  2 a và KM  a 667 Tính cosin góc giữa KM và SQ

Câu 9. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; biết AB BC 4a.

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD

Gọi H là

trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng SHD

bằng a 10 Tính cosin gócgiữa hai đường thẳng SC và HD.

Câu 10. Cho hình hộp ABCD A B C D.     , A B C D    là hình chữ nhật tâm H, A D  2a, A B  2 3a,

H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng A B C D   , AH 2 3a Gọi  là góc giữahai đường thẳng AD và DB Tính cos.

A

1cos

2

 

3cos

4

 

3cos

2

 

6cos

8

 

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và cạnh bên bằng 2a Góc giữa

đường thẳng SB với mặt phẳng SAC

AD AB BC a, SA2a và SA vuông góc với ABC Gọi D M là trung điểm của SB

và  là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng SCD

Câu 14. Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, SA a 2, ABCD là hình thang vuông tại , A B

và 2AB2BC AD2a Gọi O AC BD, M là trung điểm SB Tính sin góc giữa OM

Câu 15 Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với

nhau Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD

Câu 16 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có cạnh đáy bằng a , cạnh bên AA  Gọi a M ,

N lần lượt là trung điểm của BB , B C  Lấy điểm P thuộc A B  sao cho 4

a PB 

Tính tangócgiữa đường thẳng AP và mặt phẳng MNP

Câu 17. Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm BC Gọi  góc hợp bởi đường thẳng SA vàmặt phẳng SDM Tính .

Câu 18. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng 1 Điểm M và N lần lượt là trung

điểm các đoạn AC , BB Côsin góc giữa đường thẳng MN và BA C  bằng

4

a

AA 

, AC a 2, BC a , ·ACB1350 Hình

chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB Tính góc tạo

bởi đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A 

Câu 20.Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC cân đỉnhA ABC,·  ,  BC' tạo đáy góc Gọi I

là trung điểm củaAA’, biết·BIC900 Tính tan2tan2

A

1

Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' '

có đáy là tam giác vuông cân tại A , AC= , các cạnhb

bên có độ dài bằng b Tính góc giữa đường thẳng ABvà mặt phẳng (AB C' ' )

Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a ACB ,·   , 30 M

là trung điểm cạnh AC Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60 Hình chiếuvuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BM Gọi  là góc tạobởi A H với A ACC   Tính sin?

Câu 24. Cho hình lập phương ABCD A B C D     Tính góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng



Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a và I AC BD Gọi M N, lần lượt là

trung điểm của C D , AA Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng IN và mặt phẳng ACM

Tínhsin.

a

SA SB SC  

.Góc giữa đường thẳng SA và ABC

bằng

Câu 28. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và ABCD

Giá trịcủa tan bằng:

Câu 29. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; SAB là tam giác cân

tại S ; AD3BC3AB3a Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD3MD Biết rằngSCM là tam giác đều Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAD Khi đócos nhận giá trị là

Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a Gọi M là trung điểm

của SC Tính góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD .

Câu 32: Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Góc giữa SB và

Câu 34. Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng DAB và DBC Tính giá trị cos .



35



Câu 35. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA^(ABCD) Góc giữa SB

và mặt phẳng (SAD) là 30° Gọi các điểm E F, lần lượt đối xứng với B C, qua A D, Tínhsingóc giữa hai mặt phẳng (SCF)

Câu 36. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật,AB2 ,a AD2a 3 Mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAD

Câu 37. Trong mặt phẳng  P , cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các đường thẳng vuông góc với

 P tại B và C , lấy về cùng phía với mp  P các điểm D, E sao cho

33

a

BD

,3

CE a Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P

và ADE

Tính cos 

A

37cos

37

 

2 259cos

37

 

C

14 7cos

3

 

D

3 37cos

a

Góc giữa hai mặtphẳng AB C  và A BC  bằng

Câu 39. Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D.     có đáy ABCD là hình thoi, AB a ,

32

6

6

Câu 42. Cho hình hộp ABCD.A B C D    có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , cạnh bên bằng

a 5 Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABCD là trùng với giao điểm của haiđường chéo AC và BD Góc giữa mặt phẳng ABB A   và mặt đáy của hình hộp bằng

Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB2a, AD3a, AA 4a Gọi  là góc

giữa hai mặt phẳng AB D  và A C D   Giá trị của cos  bằng.

Câu 44. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều, cạnh bên AA 2a Hình chiếu vuông

góc của A lên mặt phẳng ABC

trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam

giác ABC) Biết khoảng cách giữa AB và A I bằng

312

95

 

1cos

165

 

C

1cos

134

 

D

1cos

126

 

Câu 45. Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh bên 2a và hình chiếu A' lên mặt đáy là điểm I sao

cho 3BIuur uurID; đáy là hình chữ nhật ABCD có tâm O và AB a AD a ,  3 Tính cosin củagóc  giữa hai mặt phẳng ABCD và CDD C' '

A

1cos

3

 

165cos

55

 

C

2 165cos

55

 

D

1cos

Câu 47. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA a và SAABC,

AB BC a  Góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng?

3





Câu 49. Cho hình chóp S ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA BC a  , M là trung điểm

của AC Gọi N là hình chiếu của S trên ABC

sao cho uuuurBM 3MNuuuur và SB a Tính giá trịlượng giác sincủa góc giữa hai mặt phẳng SBN

Câu 50. Cho hình chóp S ABCD. với ABCD là hình thang vuông tại A và D có AD CD 2a,AB 4a

và SB2 5a Gọi M là trung điểm của CD Biết hình chiếu H của đỉnh S xuống (ABCD)nằm trên AD và BC vuông góc với SM, tính sin của góc giữa 2 mặt phẳng (SHB) và (SBC)

BẢNG ĐÁP ÁN

D

11B 12 C

13 A

14 D

15 C 16

A

17 D

18 B

19 D

20 D

21 D

22 D

23 A

24 D

25 A

26 A

27 A

28 B

29 D

30 D 31

C

32 C

33 D

34 B

35 A

36 C

37 D

38 A

39 A

40 C

41 B

42 B

43 A

44 B

45 B 46

D

47 C

48 A

49 D

50 D

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' '  Gọi M là trung điểm của BB Tính cosin của góc giữa

+ Ta có ' '/ /A C AC nên góc giữa AM và A C   là góc giữa AC và AM

+ Xét tam giác AMC có:

AK  KD Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD

tại H lấy điểm S sao cho

· 30

SBH   Gọi E là giao điểm của CH và BK Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

SE và BC

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a.

Vì M là trung điểm của CD Nên AM là đường cao trong  ACD đều Do đó:

32

.2

Câu 4. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

SA a  Gọi M là trung điểm của SB Góc giữa AM bằng BD bằng?

Xét  SAB vuông cân tại A, ta có:

SB

Vì M là trung điểm của SB nên: 2AMuuuur uuur uuur AS AB .

Ta có:2uuuur uuurAM BD uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuurAS AB BD   AS BD AB BD  AB BD

(Do uuur uuurAS BD, nên uuuruuurAS BD 0)

Suy ra:

.cos , 2.cos 135

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3, SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA2a Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng

Xét tam giác MAO vuông tại O , ta có: MO AO2MA2  a2a2 a 2.

Do MO SC/ / nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và

BD.

Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng góc MOB· 69o.

Câu 6. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB4 2, cạnh

bênSCABC và SC  Gọi 2 M là trung điểm AC , N là trung điểm AB Tính góc giữahai đường thẳng SM và CN

Đặt CA xuuur r , CBuuur ur y , CSuuur rz.

Do tam giác vuông cân ABC tại C có AB4 2 suy ra:

x y z

Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:

8 2

uuur uuur

Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng 60o

Câu 7. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2 a, BC a  Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng đáy bằng 60  Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

Câu 8. Cho S ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật SAABCD Gọi Knằm trên cạnh

BCsao cho KC  2 KB, Q nằm trên cạnh CD sao cho QD  3 QC và M là trung điểm của

cạnh SD Biết AB a AD  ,  2 a và KM  a 667 Tính cosin góc giữa KM và SQ

Lời giải

Tác giả: Phan Lê Thanh Quang ; Fb: Pike Man

Gọi Nlà trung điểm AD Như vậy MNlà đường trung bình của  SAD nên MN SA / / .Vậy MN  ABCD

SQ AQ AS  AD AB ASuuur uuur uuur uuur uuur uuur

Câu 9. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; biết AB BC   4 a.

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD

Gọi H là

trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng SHD

bằng a 10 Tính cosin gócgiữa hai đường thẳng SC và HD.

Do đó tam giác CHK vuông cân tại K  ·KHC 45  ·DHC 45 tan·DHC 1

Tam giác BHCvuông tại Bnên tanBHC· BC 2

Gọi M E, lần lượt là giao điểm của HD với AC và BC

Khi đó AEBD là hình bình hành nên EB AD    4 a EC  10 a.

Câu 10. Cho hình hộp ABCD A B C D.     , A B C D    là hình chữ nhật tâm H, A D  2a, A B  2 3a,

H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng A B C D    , AH 2 3a Gọi  là góc giữahai đường thẳng AD và DB Tính cos.

A

1cos

2

 

3cos

4

 

3cos

2

 

6cos

Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD, cắt A D  tại E

Suy ra  ·AD DB,  ·DE DB, .

Kẻ đường thẳng  qua H, song song với A D , cắt A B  tại F.

Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.

Suy ra

6cos

8

 

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và cạnh bên bằng 2a Góc giữa

đường thẳng SB với mặt phẳng SAC

à

O AC

ô O

suy ra BSO 30 0.

Câu 12. Cho hình chóp S ABCD có SAABCDvà SA a 3 Đáy ABCD là hình chữ nhật có

a 2

AD AB BC a, SA2a và SA vuông góc với ABC Gọi D M là trung điểm của SB

và  là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng SCD

Câu 14. Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, SA a 2, ABCD là hình thang vuông tại , A B

và 2AB2BC AD2a Gọi OACBD , M là trung điểm SB Tính sin góc giữa OM

Trong SBD

, gọi I OM SDOM SCD I .

Ta có BC AD , áp dụng định lý Ta – let ta được://

12

Xét tam giác DIO có:

2

cos cos

2024

.2

2 6 5 2.2 6. 5

3236

98

Câu 15 Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với

nhau Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD

Gọi I là trung điểm của AB Khi đó SI ABCD.

  ADSAB mà ADSAD suy ra SAD  SAB.

Dựng BH SA tại H suy ra SH SAD

Trong mặt phẳng SAD kẻ Hx AD Trong mặt phẳng / / BC Hx,  qua C kẻ đường thẳng

song song với BH cắt Hx tại K thì CK SAD Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của

SC trên mặt phẳng SAD nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD là góc ·CSK

Ta có

32

sin

42

a CK CSK

SC a

Câu 16 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có cạnh đáy bằng a , cạnh bên AA a  Gọi M ,

N lần lượt là trung điểm của BB , B C  Lấy điểm P thuộc A B  sao cho 4

a

PB 

Tính tangócgiữa đường thẳng AP và mặt phẳng MNP

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của A B 

Suy ra

·tanAPM AM 2

PM

Câu 17. Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm BC Gọi  góc hợp bởi đường thẳng SA vàmặt phẳng SDM Tính .

h SA

Câu 18. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng 1 Điểm M và N lần lượt là trung

điểm các đoạn AC , BB Côsin góc giữa đường thẳng MN và BA C  bằng

a

AA 

, AC a 2, BC a  , ·ACB1350 Hình

chiếu vuông góc của C  lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB Tính góc tạo

bởi đường thẳng C M  với mặt phẳng ACC A 

Lời giải

Tác giả: Dương Việt Hùng ; Fb: Hung Duong

Chọn D

Trong (ABC), kẻ MN ACACMNC( điểm N thuộc cạnh AC)

Vậy NC  là hinh chiếu của MC  trên mpACC A 

Tam giác CMC  vuông tại M , nên 2 2 46

Câu 20.Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC cân đỉnhA ABC,·  ,  BC ' tạo đáy góc  Gọi I

là trung điểm củaAA’, biếtBIC· 900 Tính tan2 tan2

Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' '

có đáy là tam giác vuông cân tại A , AC= , các cạnhb

bên có độ dài bằng b Tính góc giữa đường thẳng ABvà mặt phẳng (AB C' ' )

 là hình chiếu vuông góc của Blên mặt phẳng  AB C  (2)

Từ (1) và (2)  AK là hình chiếu vuông góc của ABlên mặt phẳng AB C 

Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a ACB ,·   , 30 M

là trung điểm cạnh AC Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60  Hình chiếuvuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng  ABC

là trung điểm H của BM Gọi  là góc tạobởi A H với A ACC   Tính sin ?

K

x

+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A A và mặt đáy bằng ·A AH   (theo giả thiết) 60

Và BM  AM  AB a    AMB là tam giác đều cạnh a

2

a a

Ta có CBAA B B   tại B Khi đó A B là hình chiếu của A C  lên mặt phẳng  AA B B  .Vậy góc tạo bởi đường thẳng A C  và mặt phẳng AA B B   là góc ·CA B .