(SKKN mới NHẤT) góp PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG lực GIẢI QUYẾT vấn đề và NĂNG lực SÁNG tạo CHO học SINH lớp 11 THÔNG QUA dạy học CHỦ đề góc TRONG KHÔNG GIAN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ : “GÓC TRONG KHÔNG GIAN" MÔN : TOÁN..

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ :

“GÓC TRONG KHÔNG GIAN"

MÔN : TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NAM YÊN THÀNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ :

“GÓC TRONG KHÔNG GIAN"

Môn: Toán

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bảo

Thời gian thực hiện: Năm 2022

Số điện thoại: 0396 806 139

MỤC LỤC

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài………

2 Mục đích của đề tài………

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………

4 Giới hạn của đề tài………

5 Tính mới của đề tài ………

6 Phương pháp nghiên cứu………

PHẦN II NỘI DUNG………

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn………

1.1 Cơ sở lý luận………

1.1.1 Khái niệm ………

1.1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực………

1.1.3 Nội dung chủ đề “ góc trong không gian” trong chương trình 1.2 Cơ sở thực tiễn ………

2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong không gian 2.1 Một số kiến thức cơ bản ………

2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian………

2.1.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………

2.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng………

2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo 2.2.1 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạng toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng 2.2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạng toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 2.2.3 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạocho học sinh thông qua dạng toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng 2.2.4 Bài tập tự luyện………

3 Kết quả thực nghiệm sư phạm………

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

6

7

8

8

14

26

35

37

3.1 Mục đích thực nghiệm………

3.2 Nội dung thực nghiệm………

3.3 Kết quả thực nghiệm………

III KẾT LUẬN………

1 Kết luận………

2 Kiến nghị………

TÀI LIỆU THAM KHẢO………

37

37

38

39

39

39

40

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1.Lý do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành

Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thông, trong đó có mục tiêu: phát triển năng lực công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng

lực giải quyết vấn đề toán học,…” Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng

chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn

có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Để góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THPT, hoạt động dạy giải bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ môn Toán ở bậc THPT Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

Hình học không gian là nội dung trong chương trình học của các lớp ở trường phổ thông, được giới thiệu trong hình học lớp 5, lớp 8, lớp 9 và đi sâu nghiên cứu ở các lớp 11 và 12 Đây là phần kiến thức rất quan trọng đối với con người trong cuộc sống thực tế

Vì sự quan trọng như vậy nên trong chương trình học dành khá nhiều thời gian cho việc dạy và học hình học không gian Tuy nhiên, việc dạy và học hình học không gian gặp rất nhiều khó khăn; khó khăn không chỉ đối với học sinh mà cả với giáo viên Có nhiều điều làm cho việc dạy và học hình học không gian chưa đạt kết quả cao, và có lẽ điều khó khăn nhất trong việc dạy và học nội dung này là việc chúng ta phải biểu diễn và hình dung một vật thể thực trong không gian ba chiều lên trên giấy ( tức là trên không gian hai chiều), do đó việc tưởng tượng và nhìn nhận hình cho đúng với thực tế là rất khó khăn

Trong đề THPT Quốc Gia nay là TN THPT và các đề Đánh giá năng lực của các trường Đại học thường có câu về hình học không gian liên quan đến “góc trong không gian” Với tâm lý chung của nhiều học sinh là sợ học hình không gian

thì những bài toán dạng này bị các em bỏ qua vì nghĩ nó quá khó để có thể hiểu Là một giáo viên giảng dạy bộ môn Toán tôi luôn băn khoăn, trăn trở trong việc tìm các giải pháp để các em với học lực môn Toán khác nhau xoá đi suy nghĩ sợ học

hình không gian nói chung và các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải

các bài toán liên quan đến “ góc trong không gian”, góp phần phát triển năng lực

giải quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn

Toán,hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh

Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển

năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề : góc trong không gian ”

1.2 Mục đích của đề tài

Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh các bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài toán khó và phức tạp Từ đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho cho học sinh

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 11 và giáo viên THPT

Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung chương trình Hình Học 11, mở rộng

phù hợp với nội dung thi ĐH, HSG

1.4 Giới hạn của đề tài

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh

khi dạy chủ đề “góc trong không gian” qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11

ơ

1.5 Tính mới của đề tài

- Đề tài xây dựng được hệ thống bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng với nhiều phương pháp giải quyết khác nhau

- Đề tài có đưa vào các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian liên quan đến góc với các hướng giải quyết khác nhau

1.6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra quan sát

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

PHẦN II NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Khái niệm

- Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”

- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học

+ Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,

+ Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn

1.1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực

- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:

+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm

mĩ, năng lực thể chất

- Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.1.3 Nội dung chủ đề “góc trong không gian” trong chương trình môn toán lớp 11

Phần này được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 11 với các nội dung Mục III: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian - bài 2 - chương III Mục V.3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - bài 3 - chương III

Mục I : Góc giữa hai mặt phẳng - bài 4 - chương III

1.2 Cơ sở thực tiễn

Có thể nói chủ đề góc trong không gian là một chủ đề hay trong chương trình môn Toán lớp 11, nó liên quan đến nhiều bài toán hình học không gian trong các đề thi TNTHPT, đề đánh giá năng lực của các trường Đại học, đề thi học sinh giỏi Kiến thức cơ bản về nội dung này được đề cập trong sách giáo khoa nhưng vẫn còn một số tồn tại:

- Bài tập về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hầu như là không được đề cập trong sách giáo khoa Bài tập góc giữa hai mặt phẳng được đề cập nhưng rất ít

- Khi giảng dạy giáo viên ít chú trọng đến đến việc xác định góc và tính góc, dẫn đến nhiều học sinh lúng túng khi gặp dạng toán này

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Nam Yên Thành nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo (nhiều em có điểm môn Toán tuyển sinh vào 10 chưa đạt 2,0 điểm) Các bài toán thuộc chủ đề góc trong không gian trong các đề thi thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp, tôi thấy rằng khi ra những bài tập

dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải

2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong không gian

2.1 Một số kiến thức cơ bản

2.1.1.Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

a Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng avà btrong không gian là góc giữa 2 đường thẳng avà

bcùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b Kí hiệu: a b;

b' a' O

+) Nếu u,v lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b và u v;  thì :

c) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b

Cách 1: Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a, b lần lượt song

song với a và b Khi đó a b; a b'; '

Cách 2: Từ điểm O thuộc đường thẳng a hoặc b, vẽ đường thẳng đi qua O

và song song với đường thẳng còn lại Khi đó : a b; a b; ' a b';

a

b

b' O

d) Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Phương pháp 1: Xác định góc , sau đó tính góc (dùng định lý cosin hoặc hệ

thức lượng trong tam giác vuông )

Phương pháp 2: Tính góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng,

từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa a

và hình chiếu a của nó trên   được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt

phẳng  

Kí hiệu : a;  





c) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau

Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

+) Nếu a  thì     0

+) Nếu a không vuông góc với   thì ta tìm hình chiếu a’ của a lên  

Cách tìm hình chiếu a của a trên mặt phẳng   ta có thể làm như sau

d) Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau

Phương pháp 1 : Dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( mục 2.1.2 c)

sau đó tính góc ( sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Phương pháp 2 : Không xác định góc mà sử dụng khoảng cách :

Theo cách xác định góc ở mục 2.1.2 c ta suy ra sin AH d A,

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai

đường thẳng lần lượt vuông góc với hai

d) Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

Phương pháp 1 : Dựng góc giữa hai mặt phẳng ( mục c ), sau đó tính góc Phương pháp 2: Dựng hai đường thẳng a b, lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng  ,  Tính góc giữa hai đường thẳng a b, đó

Phương pháp 3: Sử dụng công thức hình chiếu S' S c os cos S'

,

d A AH

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b) Gọi I J, lần lượt là các điểm thuộc SB SD, sao cho IJ/ /BD Chứng minh góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J

Phân tích bài toán :

Ta thấy AD//BC và SA vuông góc với BC nên SA vuông góc với AD Đáy ABCD là hình thoi mà SA=AB

nên SA=AB=AD=BC=CD

a) Cách 1: Ta thấy góc giữa hai đường thẳng SD và BC chính là góc giữa hai

đường thẳng SD và AD Ta tính góc SDA để suy ra góc giữa hai đường thẳng SD

và BC

Cách 2: Ta tính tích vô hướng SD BC. để suy ra góc giữa hai véctơ SD BC,

Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b) Vì IJ// BD nên góc giữa IJ và AC là góc giữa BD và AC

Lời giải

a) Cách 1: Ta thấy AD//BC và SA vuông góc với BC nên SA vuông góc với

AD Đáy ABCD là hình thoi mà SA=AB nên SA =AD Vậy tam giác SAD vuông tại cân tại A

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy ABCD

là hình vuông Gọi N là trung điểm của SB

a) Chứng minh các tam giác SAB, SCD là các tam giác vuông

b) Tính góc giữa hai đường thẳng : AN và CN; AN và ND; AN và SD

Phân tích bài toán :

a) Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng a, AC và BD là hai đường chéo của

hình vuông nên ta sẽ tính được độ dài theo a Từ đó áp dụng định lý Py-ta-go đảo

để chứng minh tam giác vuông

b) Các tam giác CAN và AND có thể tính được độ dài ba cạnh của chúng Ta

sẽ sử dụng định lý Cosin tính ANC và AND , từ đó suy ra góc giữa hai đường

Do đáy ABCD là hình vuông cạnh a AC BD a 2

2

đảo ta có tam giác SAC vuông tại S

Chứng minh tương tự ta có tam giácSBD vuông tại S

b) Tam giác SAB và SBC là các tam giác đều cạnh a, AN và CN là các trung

Áp dụng định lý Cosin vào tam giác AND, ta có :

2

2 1

Phân tích bài toán : Bài toán yêu cầu tính cosin của góc giữa hai đường

thẳng AN và CM , ở đây yếu tố song song chưa có sẵn nên chắc chắn việc xác định góc để tính sẽ gặp nhiều khó khăn hơn so với việc tính góc giữa hai véc tơ chỉ phương

M

B S

Do ABCđều nên CM AM AMCElà hình chữ nhật

Khi đó CEAE mà CESACESAECESE

2

a

SC a

AN a CM c

a a

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D

b) Tính góc giữa AC’ với B’D

' ' ' ' 3 2 1 cos ' '

Nhận xét: Bài toán này sử dụng ưu thế của phương pháp véc tơ Nếu không

sử dụng phương pháp véctơ thì việc tính độ dài các đoạn thẳng AC’, DB’ sẽ gặp nhiều khó khăn

Ví dụ 5 (Trích đề thi hsg tỉnh Sơn La lớp 11 năm học 2020-2021)

Cho hình chóp tam giác S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a Đường thẳng

SAvuông góc với mặt phẳng ABC Gọi M là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuông góc của C lên SB và góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng

Ta có

2

3 3 2

a a

Vì SAABCnên hình chiếu của SB,SC

lên (ABC) lần lượt là AB, AC

Phân tích bài toán :

Giả thiết cho SC tạo với đáy một góc 60  nên đầu tiên ta phải đi xác định góc 60 

là góc nào.Vì có SA vuông góc với đáy nên chỉ cần dựng CH AB ta sẽ suy ra được H là hình chiếu của C lên SAB

A

D S

B

60

Mặt khác SAABCDSC ABCD;  SA AC; SCA  60

Nhận xét: Ví dụ 1,2 xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

định nghĩa Việc xác định hình góc và tính góc không gây ra nhiều khó khăn

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi  là góc tạo bởi SD và mặt

phẳng (SAC) Tính sin

Phân tích bài toán :

Việc xác định hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (SAC) ở đây không dễ, ta sẽ nghĩ đến việc tính góc dựa vào khoảng cách Khoảng cách từ điểm D đến SAC

được tính thông qua khoảng cách từ điểm B đến SAC

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của B trên AC , K là hình chiếu của B trên SH Khi đó

Câu 4 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lạng Sơn lớp 12 năm học 2021-2022)

Cho tứ diện ABCD với AB BCD và AB 2 2 Tam giác ACD có ba góc

nhọn, đường cao AK 2 6và AC 5,AD 7 Gọi L là trung điểm của BC Tính góc tạo bởi đường thẳng KL và mặt phẳng ACD

Phân tích bài toán: Việc dựng góc ở bài toán này cũng gây ra nhiều khó

khăn trong khi đưa về khoảng cách lại là bài toán quen thuộc Vậy nên ta chọn phương pháp sử dụng khoảng cách để giải quyết bài toán này

Lời giải

Tam giác ABKvuông, đường cao BT nên

d L ACD KL

Gọi O là trung điểm của BD ta có:

AD a AB BC a , các cạnh bên bằng 2a Hai mặt phẳng SAD và ABCD

vuông góc với nhau Gọi G là trọng tâm tam giác ACD Trên cạnh AB lấy điểm M

sao cho AM x 0 x a Tìm x để góc giữa SC và SMG lớn nhất

Phân tích bài toán:

Mặt phẳng (SMG) chứa đường thẳng SG cố định, áp dụng Tính chất (*) ta có

SC SMG SC SG Từ đó suy ra góc SC SMG; lớn nhất khi (SMG) vuông góc với (SCG) Phát hiện rằng BD SCH nên (SMG) song song BD Vận dụng điều này ta dựng được điểm M

Lời giải: