Chuyên đề đường thẳng trong không gian Oxyz

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 và có vec tơ chỉ phương

 1; 2; 3, 0

a a a a a :

x x a t

y y a t

z z a t



  



  



Nếu a a a đều khác không Phương trình đường thẳng 1; 2; 3  viết dưới dạng chính tắc như sau:

Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: 1 1 1 1

0 0

A x B y C z D

A x B y C z D



với A B C A B C1, 1, 1, 2, 2, 2 thỏa A12B12C12 0,A22B22C22 0

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

' ' '

' ' '

d y y a t d y y a t

Vtcp u đi qua M0 và 'd có vtcp ' u đi qua M0'

 u u, ' cùng phương:

 u u, ' không cùng phương:

 

' ' ' ' ' ' ' ' '

x a t x a t

y a t y a t I

z a t y a t



   



   



 d chéo d’  hệ phương trình  1 vô nghiệm

 d cắt d’  hệ phương trình  1 có 1 nghiệm

1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

' ' '

' ' '

d y y a t d y y a t

Vtcp u đi qua M0 và 'd có vtcp ' u đi qua M0'

0

, ' 0 / / '

'

u u

  

 



0

, ' 0 '

'

u u

  



0

, ' 0

at '

, ' 0

u u

u u MM

  

 

 

 



  d cheo d ' u u, '  MM0 0

3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp 1 Phương pháp 2

Trong không gian Oxyz cho:

  :Ax+By+Cz+D=0 và

:

x x a t

d y y a t

z z a t



  



  



Pt: A x 0a t1 B y 0a t2 C z 0a t3  D 0 1 

 Phương trình  1 vô nghiệm thì d/ / 

 Phương trình  1 có 1 nghiệm thì d cắt  

 Phương trình  1 có vô số nghiệm thì d 

Đặc biệt: d   a n, cùng phương

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua

 0; 0; 0

M x y z có vtcp: aa a a1; 2; 3 và

  :Ax+By+Cz+D=0 có vtpt nA B C; ; 

  d cắt   a n 0

 

d

M







 



  d nằm trên mp  

 

a n



 



4 Khoảng cách

Khoảng cách từ M x y z 0; 0; 0 đến mặt phẳng   :Ax+By+Cz+D=0cho bởi công thức

Ax

d M

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d

Phương pháp 1:

 Lập ptmp   đi qua M và vuông góc với d

 Tìm tọa độ giao điểm H của mp   và d

 d M d , MH

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp 1:

d đi qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt aa a a1; 2; 3

'

d đi qua M'x0';y0';z0'; vtpt a'a1';a2';a3'

Lập phương trình mp   chứa d và song song với

d’: d d d , 'd M ',  

 Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d

Phương pháp 2:

(d đi qua M0 có vtcp u )

,

M M u

d M

u

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp 2:

d đi qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt aa a a1; 2; 3 '

d đi qua M'x0';y0';z0'; vtpt a'a1';a2';a3'

 , ' , ' '

, '

hop day

a a MM V d

S

a a

5 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

  đi qua M x y z 0; 0; 0có VTCP aa a a1; 2; 3

 ' đi qua M'x0';y0';z0'có VTCP a'a1';a2';a3'

' ' ' ' cos cos , '

a a

6 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng   đi qua M0 có VTCP a , mặt phẳng   có VTPT

n A B C

Gọi  là góc hợp bởi   và mặt phẳng     1 2 3

Aa : sin cos ,

Ba Ca

a n

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2 2

  và mặt phẳng

 P :x2y  z 3 0 Viết phương trình đường thẳng  nằm trong  P sao cho  vuông góc với d và

khoảng cách giữa hai đường thẳng  và d bằng 2

A

:

3 :





:

3 :





C

:

3 :







:

:



Lời giải

Đường thẳng d có VTCP u d 2;1;1  Mặt phẳng  P có VTPT n p 1; 2; 1 ,  ta có

n u

P d VTPT u u u 

Khi đó, phương trình mặt phẳng  Q :y  z m 0

Chọn A1; 2;0 d, ta có:

 

0 2

m m

m



Với m 4  Q :y  z 4 0

7; 0; 4 :

 

Với m 0  Q :y z 0

3; 0; 0 :

Chọn A

7 Bài tập

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  Q chứa đường thẳng

:

  và tạo với mặt phẳng  P :x2y  z 5 0 một góc nhỏ nhất

A  Q :y  z 4 0 B  Q :y  z 6 0

C  Q :y2z 4 0 D  Q : 2y  z 4 0

Lời giải

+ d có vtcp u2;1;1 ,  P có vtpt m1; 2; 1  ,  Q có vtpt    2 2 2 

n a b c a b c  + do  Q chứa d nên ta có: n u n u  0 2a b c        0 c 2a b n a b, , 2 a b

+ Góc hợp bởi  P và  Q là 

 

2

0

os = cos ;

2

c



Vậy min 30 0 Dấu bằng xảy ra khi và chi khi a0 lúc đó ta chọn b1;c   1 n 0;1; 1 

: 1; 1;3 :

: 0;1; 1

qua A Q

vtpt n





 từ đó  Q :y  z 4 0

Chọn A

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2 1

  và mặt phẳng

 P :x   y z 3 0 Gọi I là giao điểm của d P Tìm ,  M P sao cho MI vuông góc với d và

4 14

MI 

5;9; 11 3; 7;13

M

M







 

5; 7; 11 3; 7;13

M M







 

C  

5;9; 11 3; 7;13

M

M







5; 7;11 3; 7; 13

M M









Lời giải

Vì Id nên I2  t; 1 2 ;t t

Hơn nữa I P          2 t 1 2t 3 0 t 1 I1;1;1

Gọi M a b c Do:  ; ;    3





 IM a1;b1;c1 , u d 1; 2; 1   

Khi đó ta có hệ phương trình:

Với a b c; ;   5;9; 11 M5;9; 11 

Với a b c; ;    3; 7;13M 3; 7;13

Chọn A

Bài 3: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng  P :x2y2z0, Q : 2x2y  z 1 0 Viết

phương trình của đường thẳng d đi qua A0;0;1 , nằm trong mặt phẳng  Q và tạo với mặt phẳng  P

một góc bằng 0

45

A 1: ; 2:

3

1 4

Lời giải

Ta có n2; 2;1 là vecto pháp tuyến của  Q b, 1; 2; 2  là vec tơ pháp tuyến của  P

a a b c a b c  là một vecto chỉ phương của d

Vì đường thẳng d đi qua A0;0;1 mà A0;0;1 , A Q

Do đó d Q   a n a n  0 2a2b c     0 c 2a 2b

Góc hợp bởi d và  P bằng 0

45 :

2

 

      

là các đường thẳng cần tìm

Chọn A

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, thỏa mãn 2

CD AB và diện tích bằng 27; đỉnh A 1; 1;0 ; phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là

x  y  z

Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A

A D 2; 5;1 B D 3; 5;1 C D2; 5;1  D D3; 5;1 

Lời giải

Đường thẳng CD qua M2; 1;3  có vec tơ chỉ phương u2; 2;1

Gọi H2 2 ; 1 2 ;3 t   t t là hình chiếu của A lên CD, ta có:

AH u  t t     t t H  d A CD  AH

Từ giả thiết ta có:

2

AH

Đặt AB tu 2 ; 2 ;t t t t 0x B x A t AB 2 AB4; 4; 2 B3;3; 2

u

9

6; 6;3 6;3;5 6

3

2; 2; 1 2; 5;1 6

        

Chọn A

Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 5x  z 4 0 và hai đường thẳng d d lần lượt có 1; 2

x  y  z x  y  z

 Viết phương trình của mặt phẳng    Q / / P theo , thứ tự cắt d d tại 1, 2 A B, sao cho 4 5

3

B  Q1 : 5x  z 2 0; Q2 : 55x11z140

C  Q1 : 5   x z 2 0; Q2 : 55 x11z140

D  Q1 : 5x  z 4 0; Q2 : 55x11z 7 0

Lời giải

 

Do

25 331

7

d

d













Vậy, tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn:

Chọn A

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng 1: 1 2 ;

2

:

và mặt phẳng  P :x y 2z 5 0 Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng  P và cắt d d lần lượt tại 1, 2 A B, sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Vì A d B 1;  d2 A   1 a; 2 2 ;a a B , 2 2 ;1 b b;1b

Ta có AB   a 2b      3; 2a b 3; a b 1

 P có vec tơ pháp tuyến n 1;1; 2 , AB/ / P AB  n





AB n AB n   a b  a b   a b     b a AB a   a

minAB 3 3

  khi a 2 A1; 2; 2

 3; 3; 3 , 1; 2; 2  

Vậy phương trình đường thẳng : 1 2 2

Chọn A

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng : 3 2 1

 và mặt phẳng

 P :x   y z 2 0 Gọi M là giao điểm giữa d và  P Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến  bằng 42

A

:

:





:

:





C

:

:





:

:







Lời giải

Phương trình tham số của

3 2

1

 



   



   



Mặt phẳng  P có VTPT n P 1;1;1 , d có VTCP u d 2;1; 1 

Vì M  d  P M1; 3;0 

Vì  nằm trong  P và vuông góc với d nên: VTCP u u n d; P2; 3;1 

Gọi N x y z là hình chiếu vuông góc của  ; ;  M trên  , khi đó: MN x1;y3;z

Ta có:  

2 0

5; 2; 5

3; 4;5

42

N

N

MN

 

 





 



5; 2; 5 :

N         

3; 4;5 :

Chọn A

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2;3 , đường thẳng : 1

phẳng  P :x2y  z 1 0 Gọi d là đường thẳng đối xứng với d qua '  P Tìm tọa độ điểm B trên '

d sao cho AB9

A

62 16 151 26 2 151 31 8 151

62 16 151 26 2 151 31 8 151

B

B



62 151 26 151 31 151

62 151 26 151 31 151

B

B



C

16 151 2 151 8 151

16 151 2 151 8 151

B

B



62 4 151 26 2 151 31 8 151

62 4 151 26 2 151 31 8 151

B

B



Lời giải

Có d cắt  P tại I2; 1;1   Chọn M0;0; 1  d và M' là điểm đối xứng của M qua  P Khi đó

 

' '

M  d Ta tìm M '

Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  P

1; 2 1 :

P

 Gọi H là trung điểm MM' thì tọa độ H định:

1

x y z

x y z



  

    



3 3 3

Suy ra d’ là đường thẳng đi qua I2; 1;1  nhận VTCP:

B d B  t  t  t

27

62 16 151 26 2 151 31 8 151

62 16 151 26 2 151 31 8 151

B

B



Chọn A

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí