Định lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học.. Hamlbarani [7]...Bài báo này đưa ra kết quả kh[r]
Trang 1ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐÔI CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN
Vũ Hồng Quân *
Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp- ĐH Thái Nguyên
TÓM TẮT
Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí
thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí Các định lý điểm
bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại
không gian khác nhau Trong bài viết này, tác giả đề cập đến khái niệm không gian mê tric nón,
điểm bất động đôi, và một vài định nghĩa về hội tụ dãy Cauchy Sau đó tác giả trình bày định lý về
điểm bất động đôi của ánh xạ trong không gian metric nón Tác giả chứng minh định lý tổng quát
và từ đó rút ra những hệ quả quan trọng Những kết quả này giúp sinh viên và giảng viên nghiên
cứu điểm bất động toán học hệ thống, logic hơn
Từ khóa: Ánh xạ, điểm bất động, metric, Mohamed A Khamsi, nón
GIỚI THIỆU
Định lý điểm bất động của Banach đối với các
ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ là
một kết quả kinh điển của toán học Sau khi
được Banach chứng minh, định lý điểm bất
động đối với các ánh xạ co trở thành một
trong những vấn đề thu hút được rất nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định
lý điểm bất động đối với ánh xạ co được
nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ,
trên nhiều loại không gian khác nhau Cho
đến nay có khoảng 10000 công trình về định
lý điểm bất động, được công bố trên các tạp
chí toán học Năm 2007, L-G Huang and
X.Zang [3] với bài báo “cone metric spaces
and fixed poin theorems of contractive
mapping’’ đưa ra khái niệm không gian
metric nón và đã đặt nền móng cho điểm*bất
động trong không gian mới-không gian metric
nón Bài báo đã vận dụng sáng tạo, đưa định
lý ánh xạ co d Tx Ty , kd x y , , k0,1
từ không gian metric thông thường sang
không gian metric nón, và khẳng định sự tồn
tại và duy nhất của điểm bất động của ánh xạ
đó Không những thế các tác giả còn mở rộng
kết quả sang các ánh xạ dạng co kiểu
d Tx Ty k d Tx x d Ty y ,
*
Tel: 0974 902509, Email: vuhongquan.cb@gmail.com
1 0, 2
k
Từ đó rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm như Bhaskar, T.G, Lakshmikanthan [1], D Ilíc and V Racocevi [2], Mohamed A Khamsi [4], M Abbas and
G Jungck [5], Nguyen Huu Dien [6], S.Rezapour and R Hamlbarani [7] Bài báo này đưa ra kết quả khác về điểm bất động ánh
xạ 2 biến trên không gian metric nón
KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN
Định lý 1 Cho X ,d là không gian metric
nón đầy đủ Giả sử ánh xạ F X: X X
thỏa mãn điều kiện sau với x y u v , , , X và 1
0, 2
: d F x y F u v( ( , ), ( , ))0
(1) 0d x u d y v d F x y x( , ), ( , ), ( ( , ), ),
d F u v u d F x y u d F u v x( ( , ), ), ( ( , ), ), ( ( , ), )
Khi đó F có điểm bất động đôi duy nhất
Định nghĩa 2 [3] Cho X là tập khác và E
là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự
bộ phận đối với nón P Giả sử rằng :
d X X E thỏa mãn:
i) 0d x y , x y, X
ii) d x y , 0 x y
iii) d x y , d x z , d z y,
Khi đó d gọi là tựa metric nón trên X Cặp
X ,d gọi là không gian tựa metric nón
Trang 2Hơn nữa nếu d thỏa mãn
iv) d (x, y)=d (y, x) x y , X thì d gọi
là metric nón trên X và cặp X ,d gọi là
không gian metric nón
Định nghĩa 3 [3] Cho X ,d là không gian
metric nón, xXvà x n n1 là dãy trong X
Thế thì
i) x n hội tụ tới x nếu c E, c0,
0
n
: n n0, d x x n, c
Kí hiệu lim n
n x x
hoặc x nx
ii) xn là dãy Cauchy nếu c E, c0,
0
n
: m n, n0:d x m,x nc
iii) X ,dlà không gian metric đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy trong X hội tụ trong X
Bổ đề 4 [3] Cho X ,d là không gian metric
nón, lấy P là nón chuẩn tắc với hằng số K và
x n n1X
i) x nx d x x n, 0
( tương đương d x x n, 0)
ii) x n là dãy Cauchy d x x n, m0
iii) x nx , y ny thì d x y n, nd x y ,
Định nghĩa 5.[1] Cho X ,d là không gian
metric nón Phần tử ( , )x y X X gọi là
điểm bất động đôi của ánh xạ
:
F X X Xnếu F x y( , )x ,
( , )
F y x y
Chứng minh định lý 1
Chọn x y0, 0 X và tậpx1 F x y ( ,0 0),
1 ( 0, 0)
y F y x , ,x n1F x y( ,n n),
1 ( , )
n n n
y F y x
Bởi (1) ta có:
d x x d F x y F x y
{ (d x n ,x n), (d y n ,y n), ( (d F x n ,y n ),x n ),
( ( ,n n), n), ( ( n , n ), n), ( ( ,n n), n )}
d F x y x d F x y x d F x y x
{ (d x n ,x n), (d y n ,y n),
d x( n1,x n), (d x n1,x n1)}
(2)
Tương tự:
d y y d y y d x x
d y( n1,y n), (d y n1,y n1)
(3)
Từ (2) xảy ra các khả năng sau:
0
(1 ).d x x n, n d x x n, n
Hay 1 1
1
2
n n n n
d x x d x x
0
1
2
n n n n
d x x d x x
0
(3 ) d x x n, n d x n,x n
d x n1,x nd x x n, n1
Hay , 1 1,
1
Vì 0,1
2
nên 0,1
1
(40) d x x n, n1d y n1,y n
Theo (3) ta xét các trường hợp sau:
i)
d x x d y y d x x
0 1
1
1 2
, , 2
, , 2 1
n
n
d x x n m
d x x n m
, 0,1
2
m
d x x d y y d y y
0 1
1 , , 0,
2
n
d y y
iii) d x x n, n1d y n1,y n
2
1
2
iv) d x x n, n1d y n1,y n
0 1
1
2
n n
d y y
Trang 3Từ (10
), (20), (30), (40),và kết hợp với (i), (ii),
(iii), (iv) ta suy ra xn là dãy Cauchy trong
X Tương tự: yn cũng là dãy Cauchy trong
X
Vì (X,d) là không gian đầy đủ nên nên
* *
x , y X
n
x
n
0,
suy ra c N0
0
: : ( , x ) , ( , )
Ta sẽ chứng minh x y, là điểm bất động
đôi của F
Thật vậy, ta có:
( ( , ), ) ( ( , ), N ) ( N , )
1 ( ( , ), ( N, N)) ( N , )
* 1
( N , )
d x x
{ ( ,d x x N), (d y y, N), ( ( ,d F x y),x),
( ( N, N), N),
d F x y x d F x( ( N,y N),x , *)
* *
( ( , ), N),
d F x y x }
Hay: * * *
( ( , ), )
d F x y x + (d x N1,x*)
* * * 1
{ ( , ), ( , ), ( ( , ), ),
( , ), ( ( , ), )
N N
d x x d y y d F x y x
d x x d F x y x
d x x( ,* N), (d x N1,x*)}
Suy ra:
( ( , ), ) ( ( , ), )
d F x y x d F x y x
2 2
Hay: ( ( ,* *), *) 1
1 2
c
d F x y x
m
Vì m Ntùy ý nên:
d F x y( ( ,* *),x*)0 * * *
( , )
F x y x
Tương tự F y x( *, *)y* Từ đó ( ,x y là * *)
cặp điểm bất động của F
Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất
Giả sử ( ', ') x y là cặp điểm bất động khác của
F Theo (1):
( ', ) ( ( ', '), ( , )
d x x d F x y F x y
{ ( ',d x x ), ( ',d y y ), ( ( ', '),d F x y x ),
( ( , ), ), ( ( ', '), ), ( ( , ), ')}
d F x y x d F x y x d F x y x Hay d x x ( ', *) với
{ ( ',d x x*), ( ',d y y*)} (4) Tương tự: *
( ', )
d y y với *
{ ( ',d x x ), ( ,d y y )}
(5)
Từ (4) và (5) ta có:
*
* *
*
( ', ) 0
( ', ') ( , )
( ', ) 0
d x x
x y x y
d y y
Từ định lý trên ta có các kết quả sau:
Hệ quả 6 Cho X ,d là không gian metric
nón đầy đủ Giả sử hàm : F X X X thỏa mãn điều kiện sau với x y u v , , , Xvà
1 0, 2
: d F x y F u v( ( , ), ( , ))0
0 d x u d y v( , ), ( , ),
( ( , ), ) ( ( , ), )
, 2
d F x y x d F u v u
( ( , ), ) ( ( , ), )
2
d F x y u d F u v x
(6)
Khi đó F có điểm bất động đôi duy nhất
Chứng minh:
Không giảm tổng quát giả sử ( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F x y x( ( , ), ) Tráo vai trò x y, và u v, ta được:
( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F u v u( ( , ), )
Từ đó:
d F x y F u v , , , ( ( , ), ) ( ( , ), )
2
d F x y x d F u v u
Tương tự, nếu:
( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F x y u( ( , ), ) thì ta cũng có:
( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F u v x( ( , ), )
Từ đó:
d F x y F u v , , , ( ( , ), ) ( ( , ), )
2
d F x y u d F u v x
Nên (6) là trường hợp riêng của (1) Từ đó áp dụng định lý (1) ta có điều phải chứng minh
Trang 4KẾT LUẬN
Tác giả chứng minh một kết quả về điểm bất
đôi của ánh xạ trong không gian mê tric nón
Từ đó rút ra các hệ quả quan trọng Từ định lý
này ta có thể phát triển kết quả lên không gian
b mêtríc
LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu này được tài trợ bởi trường Đại
học Kỹ thuật công nghiệp- Đại học Thái
Nguyên trong đề tài cấp cơ sở năm 2017-2018
mã số T2017-B17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Bhaskar, T.G, Lakshmikanthan, V (2006),
Fixed poin theory in partially ordered metric
spaces anh applications, NonlinearAnal,
65:1379-1393
2 D Ilíc and V Racocevi ( 2008), Common fixed
points for maps on the cone metric space, Journal
of Mathematical Analysis and Applications, vol
341, no.2, pp.876-882
3 L-G Huang and X.Zang (2007), Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, vol 332, no.2, pp.1468-1476
4 Mohamed A Khamsi (2010), Remarks on cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mappings, fixed point theory and
Applications, vol.2010, Article ID 315398, 7 pages, doi: 10.1155/ 315398
5 M Abbas and G Jungck (2008), Common fixed poin results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spaces, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol 341, no.1, pp.416-420
6 Nguyen Huu Dien (1994), Some remarks on common fixed poin theorems, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol 187, no.1, october 1
7 S.Rezapour and R Hamlbarani (2008), Some notes on the paper: Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol 345, no.2, pp.719-724
SUMMARY
COUPLED FIXED POINT OF MAPPING IN THE CONE METRIC SPACE
Vu Hong Quan *
University of Technology – TNU
The Fixed point theory is a growing and exciting branch of mathematics with a variety of wide applications in optimal theory, game theory, differential formulations, and in physics sciences The fixed point theorems for spatial mapping are extensively studied for many types of mappings, on a variety of different types of spaces In this article, the author mentions the concept of the cone metric space, coupled fixed point and several definitions of Cauchy sequence converges The author then demonstrates the theorem about coupled fixed point of mapping in the cone metric space The author also proves the general theorem and obtains important corollaries of theorem These results help students and lectures study fixed point more systematically and logically
Key words: Mapping, fixed point, metric, Mohamed A Khamsi, cone…
Ngày nhận bài: 01/11/2017; Ngày phản biện: 24/11/2017; Ngày duyệt đăng: 05/01/2018
*
Tel: 0974 902509, Email: vuhongquan.cb@gmail.com