(SKKN 2022) một số kĩ thuật giải bài toán cực trị về mặt cầu trong không gian oxyz

Với những lí do nêu trên tôi chọn và nghiên cứu đề tài " một số kĩ thuật giải bài toán cực trị về mặt cầu trong không gian Oxyz " nhằm giúp học sinh ôn tập tốt hơn và đạt kết quả cao tro

1.Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Qua thực tế giảng dạy môn hình học không gian trong chương trình trung họcphổ thông cho thấy, những bài toán về cực trị hình học không gian thường rấthay và gây ra nhiều khó khăn cho học sinh Chính vì vậy mà nếu không cónhững bài giảng hay và phương pháp phù hợp với từng chủ đề thì dễ làm chohọc sinh thụ động trong học tập

Trong năm học 2021, để chuẩn bị cho kỳ thi quốc gia Bộ giáo dục và đào tạo

đã đưa ra đề minh họa và trong đề có xuất hiện bài toán cực trị về mặt cầu trongkhông gian Oxyz ở câu 50 Cũng từ đề minh họa này thì các sở giáo dục cũngđưa ra các đề kiểm tra chất lượng có liên quan đến bài toán cực trị về mặt cầukhá là nhiều và khai thác sâu về nhiều hướng Ví dụ đề của Sở giáo dục ThanhHóa, sở giáo dục Hà Nội,…Ngoài ra các trường THPT trên khắp cả nước cũnggiới thiệu các đề minh họa đề tốt nghiệp THPT quốc gia có đề cập sâu các dạngtoán về cực trị liên quan đến mặt cầu trong không gian Oxyz

Bên cạnh đó thì các tài liệu học tập về chủ đề này chưa nhiều, chưa phong phú

và chưa theo kịp về xu thế ra đề thi THPT quốc gia

Do đó, khi học sinh bắt gặp các bài toán dạng này đều rất khó khăn trong việctìm ý tưởng giải, cách giải và thực hành áp dụng giải trong các đề kiểm tra Dẫnđến kết quả đạt được chưa cao

Chính vì vậy mà mà tôi đã tìm tòi, học hỏi thông qua các tài liệu, trao đổi vớicác đồng nghiệp trên các diễn đàn và tìm ra các phương pháp giảng dạy phù hợpgiúp các em học sinh giải quyết hiểu quả một số dạng toán cực trị về mặt cầutrong không gian Oxyz

Với những lí do nêu trên tôi chọn và nghiên cứu đề tài " một số kĩ thuật giải bài toán cực trị về mặt cầu trong không gian Oxyz " nhằm giúp học sinh ôn

tập tốt hơn và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Các vấn đề trình bày trong sáng kiến này nhằm mục đích cung cấp cho họcsinh lớp 12 các phương pháp giải các bài toán cực trị về mặt cầu trong khônggian Oxyz, trên cơ sở sử dụng các kĩ thuật cơ bản về các bất đẳng thức hình học,bất đẳng thức đại số, đạo hàm và các tính chất về mặt cầu được trình bày trongsách giáo khoa

- Giúp học sinh nhận dạng và phân loại và tìm ra phương pháp giải cho các dạngtoán cực trị về mặt cầu trong không gian Oxyz

- Nâng cao khả năng tư duy độc lập, sáng tạo, tự học, tự bồi dưỡng và khả nănggiải quyết những dạng toán mới trong kì thi, để từ đó thu được kết quả cao nhấttrong kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu:

- Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về cực trị về mặt cầu trong khônggian Oxyz

- Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy Cụ thể là lớp 12

tôi đã và đang trực tiếp giảng dạy

b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này thuộc chương trình hình học của bậc trunghọc phổ thông.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã

sử dụng các phương pháp sau:

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử THPT

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 10, 11, 12 (phần bất

đẳng thức hình học, bất đẳng thức đại số, ứng dụng đạo hàm trong các bài toáncực trị hình học…)

- Kết hợp với điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, trò chuyện, điều traphỏng vấn học sinh, đồng nghiệp Rút kinh nghiệm trong thực tiễn giáo dục, tiếpthu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm cơ sở cho việc nghiêncứu đề tài

- Thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, giao nhiệm vụ, làm việc theonhóm, củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra,đánh giá

- Thống kê, xử lí số liệu: So sánh, phân tích, rút kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đưa ra tập tài liệu chính thống và cụ thể giúp học sinh nhận dạng, phân loại vàgiải được các bài toán cực trị về mặt cầu trong các kì thi THPT quốc gia

- Vận dụng vào học tập chương trình hình học lớp 12, ôn tập thi THPT quốc gia

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận.

a Lí luận chung:

Chủ trương của ngành giáo dục phổ thông là phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiệncủa từng lớp, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lạiniềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh

b Kiến thức vận dụng:

Kiến thức cơ bản về mặt cầu được trình bày trong sách giáo khoa hình học lớp

12 như: các định nghĩa, vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng và mặtphẳng, phương trình mặt cầu, phương trình đường thẳng, phương trình mặtphẳng, thể tích khối chóp

Các bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức đại số, đạo hàm…được trình bàytrong sách giáo khoa đại số, sách giải tích

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Trong qua trình học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy các bài toán cực trị về mặtcầu trong hệ tọa độ Oxyz xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp quốc gia là rất đadạng và phong phú Đề thi khai thác rất sâu về đề tài này, xuất hiện nhiều dạngtoán mới như câu 50 đề minh họa của bộ Khi gặp các dạng toán mới này tôi bắtgặp sự lúng túng, mất phương hướng trong việc tìm ra cách giải của học sinh vànếu chỉ vận dụng các kiến thức cơ bản thì thực sự rất khó để tìm ra lời giải

- Trong khi đó các tài liệu và chuyên đề viết về vấn đề này còn chưa nhiều, chưaphổ biến và chưa cập nhật cùng với các chuyển động của mùa thi.

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Để giải quyết vấn đề này thì đầu tiên tôi hệ thống lại cho học sinh những kiếnthức cơ bản về mặt cầu được trình bày trong sách giáo khoa hình học lớp 12, cácbất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đại sô, đạo hàm…đã được học trongchương trình Từ những kiến thức về mặt cầu tôi kết hợp với các bất đẳng thứchình học, bất đẳng thức đại số, với đạo hàm…và khai thác các tính chất của mặtcầu tạo ra hệ thống các phương pháp giải các bài toán cực trị về mặt cầu trongkhông gian Oxyz như sau:

+ Giải pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác bằng cách quy về các bài toánhình học phẳng

+ Giải pháp 2: Sử dụng phương pháp véc tơ

+ Giải pháp 3: Sử dụng đạo hàm và các bất đẳng thức đại số

+ Giải pháp 4: Khai thác tính chất tiếp tuyến của mặt cầu

+ Giải pháp 5: Sử dụng đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu

+ Giải pháp 6: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu

+ Giải pháp 7: Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện

Thông qua các ví dụ được sắp xếp theo chuỗi tư duy giúp học sinh lĩnh hội hệthống phương pháp giải một cách tự nhiên, nhẹ nhàng

2.3.1 Giải pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác

Bước 1: Giáo viên giới thiệu về bất đẳng thức tam giác

Bước 2: Hướng dẫn học sinh chuyển bài toán cực trị về mặt cầu trong khônggian, khó tưởng tượng, khó định hướng về cách giải về bài toán áp dụng bấtđẳng thức tam giác quen thuộc

Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm ra đặc trưng của dạng toán và đưa racách giải chung

Bước 4: Giáo viên chính xác hóa, khắc sâu kiến thức và mở rộng bài toán

Bước 5: Học sinh thực hành giải theo phương pháp đã tìm ra

Bất đẳng thức tam giác: Cho 3 điểm A,B,C bất kì, ta luôn có: AB BC AC

Dấu đẳng thức xảy ra khi A, B, C thẳng hàng

Với 3 điểm A,B,C: AB BC AC Dấu đẳng thức xảy ra khi A, B, C thẳng hàng.Giáo viên dụ minh họa bằng ví dụ 1

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;3;5,B5; 7; 2 và điểmM diđộng trên mặt cầu    2  2 2

S x  y  z  Giá trị nhỏ nhất của MA MB

bằng.[1]

A. 39 B. 37 C. 29 D. 19.Giáo viên minh họa bằng phần mềm vẽ hình

Dẫn dắt học sinh thiết lập các bước giải

Xác định tâm, bán kính ?

Mặt cầu( )S có tâm I1; 2;3 , bán kính R 6.

Vị trí tương đối của hai điểm A, B và mặt cầu?

Nhận thấy: IA 3 R IB;  42R nên A nằm trong mặt cầu, B nằm ngoài mặt

cầu Áp dụng bất đẳng thức tam giác ?

Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho 3 điểm A, B, M ta có:

29

MA MB AB   Vậy giá trị nhỏ nhất MA MB là 29

Sau ví dụ khởi động có phần dễ dàng giáo viên tạo ra tình huống có vấn đề đặt

ra là cả hai điểm cho trước đều nằm ngoài mặt cầu bằng ví dụ 2

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A9;6;11,B5;7; 2 và điểmM diđộng trên mặt cầu     2  2 2

Học sinh sẽ phát hiện ra hai điểm A, B sẽ nằm ngoài mặt cầu và đến đây xuất hiện vấn đề mới nảy sinh Giáo viên dẫn dắt học sinh giải quyết vấn đề mới.Gọi (P) là mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, I ( ) ( ) ( )P  S  C

Đường tròn ( )C có tâm I1; 2;3 bán kính R 6 A, B nằm ngoài đường tròn( )C -Giáo viên gợi động cơ để học sinh bài toán về bài toán 1

-Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm điểm đặc biệt để đưa về bài toán 1

Lấy điểm K trên đoạn IA sao cho:

1 4

-Giáo viên củng cố bằng các ví dụ tương tự

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, Cho mặt cầu  S :x2 y2  z2 2x 8y  9 0,

5;10;0 , 4;2;1

A B Tìm giá trị nhỏ nhất của T MA 3MB với M ( )S ? [3]

A.T  11 2 B.T  12 2 C.T  2 D.T  5.

Giáo viên gợi động cơ để học sinh tìm ra lời giải

Ta đi tìm điểm đặc biệt C:

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu     2 2 2

Lúc này ta cũng đi tìm điểm đặc biệt K

Cách giải: Tìm điểm đặc biệt và sử dụng bất đẳng thức tam giác

Bên cạnh phương pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác thì phương pháp sử dụngvéc tơ cho thấy sự hiệu quả cao ở nhiều dạng toán

2.3.2 Giải pháp 2: Sử phương pháp véc tơ

Sử dụng véc tơ để giải các các bài toán cực trị hình học là một trong các phươngpháp khá là hiệu quả, được áp dụng cả trong hình học phẳng và hình học khônggian Trong đó điển hình có 3 cách tôi áp dụng vào bài toán mặt cầu như sau.Cách 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài véc tơ

Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S : (x 2) 2  (y 4) 2   (z 1) 2  9và

ba điểm A(8;5; 11), (5;3; 4), (1;2;3) B  C Gọi M a b c( ; ; )là điểm trên mặt cầu ( )S saocho biểu thức MA MB MC 

uuur uuur uuuur

uuur uuur uuuur

đạt giá trị nhỏ nhất khi chỉ khi MD đạt giá trị nhỏ nhất.Khi chỉ khi D là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (ABC)

Cách thứ hai mà ta sử dụng rất hiệu quả là sử

dụng bình phương vô hướng của véc tơ

Cách 2: Tìm cực trị nhờ bình phương vô hướng.

Minh họa bằng ví dụ 1

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :x2 y2 z2  11và cho tứ diện

ABCD nội tiếp mặt cầu Giá trị nhỏ nhất củaT AB2BC2CA2DA2BD2CD2

bằng? [6]

A.T 99 B T  176. C T  132 D T  66.

Giáo viên dẫn dắt học sinh tạo ra biểu thức bình phương vô hướng

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, khi đó :

Hướng dẫn học sinh liên hệ với đề bài để học sinh có thể tìm ra cách giải nhanh

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp giải trên vào thực hành giải

Ví dụ 3 Trong không gian với Oxyz cho ba điểm A1;0;0 , B 0; 2;1 ,   C   2; 1;3

và mặt cầu   2 2 2

S x y  z x y z  Điểm M di động trên  S Gọi  ,

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T  2MA2MB2MC2  2   2? [6]

A 396 13 B 648 13 C 792 13 D 648 13

Ta thấy: mặt cầu  S có tâm J1;2;1 và bán kính R 3 Giả sử điểm I x y z 0 ; ; 0 0thỏa mãn điều kiện: 2uur uur uur rIA IB IC   0 Từ hệ thức này dễ dàng tìm được

1 0; ;1 2

Cách 3: Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của véc tơ

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2; 3; 2 ,   B  2;1; 4 và mặt cầu

   2 2  2

S x y  z  Điểm M a b c( ; ; ) thuộc mặt cầu ( )S sao cho MA MBuuur uuur

đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức T a b c   .[7]

Gọi C là trung điểm của A, B C(0; 1;3) Áp dụng công thức tích vô hướng.

Ta phân tích: MAMBuuuruuur(IA IMuur uuur uur uuur ).(IB IM )uur uur uuurIA IB IM.  2IM IA IBuuur uur uur(  )

IA IB R.  22IM IC. IA IB R.  22 R IC cos IM IC( , ).

uur uur uuur uur uur uur uuur uur

Vì A,C,B,I cố định, R không đổi nên MA MBuuur uuur

đạt giá trị nhỏ nhấtcos IM IC(uuur uur, ) 1

hay hai véc tơ IM IC,

       Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hành giải.

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2   2 2

uur uuur uur uur uur uuur uur uuruuuur uur uuuur

Dấu bằng xảy ra khi OIuur

và NMuuuur

ngược hướng Giáo viên tạo tình huống ở ví dụ

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu lần lượt có phương trình là

A B là hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai mặt cầu   S1 , S2 ,M là một điểm tùy ý.Đặt

2 1

8

P MA MBuuur uuur AB

Tìm giá trị nhỏ nhất của P [9]

A 88 B 98 C.90 D.100.Gọi H là trung điểm ABHA HBuuur uuur r  0 Phân tích các véc tơ bằng cách chèn H

Bên cạnh hai phương pháp chủ đạo ở trên thì sử dụng các bất đẳng thức đại số

và đạo hàm cũng là phương pháp hữu hiệu khi giải bài toán cực trị hình học

2.3.3 Giải pháp 3: Sử dụng đạo hàm và bất đẳng thức.

Sử dụng đạo hàm để giải các bài toán cực trị là kĩ năng cơ bản trong chươngtrình toán giải tích lớp 12, và các bài toán cực trị về mặt cầu cũng không phải làngoại lệ Vấn đề ở chỗ là ta tìm cách dẫn dắt học sinh chuyển đổi các bài toán

cực trị hình học về bài toán cực trị trong giải tích Để hình thành cho các emphương pháp chuyển đổi bài toán thì ta thực hiện các bước như sau.

Bước 1: Hướng dẫn cho học sinh biết thiết lập ra hàm số liên quan đến bài toán Bước 2: Hướng dẫn học sinh tìm ra điều kiện với biến số để sử dụng đạo hàmgiải quyết bài toán theo hướng quen thuộc theo môn giải tích

Bước 3: Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi bài toán cực trị trong hình học sang bàitoán cực trị trong giải tích thông qua các ví dụ

Minh họa cho phương này ta xét ví dụ 1

Vídụ 1 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : x2 y2  z2 4x 2y 2z  3 0 và

điểm A5;3; 2   Một đường thẳng (d) thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầutại hai điểm phân biệt M N, Tính giá trị nhỏ nhất của S  AM 4AN [10]

A Smin  30 B Smin  20 C Smin  34 3  D Smin  5 34 9 

Giáo viên sử dụng phần mềm vẽ hính giúp học sinh hiểu sâu đề bài , từ đó định hướng giải

Từ yêu cầu của bài toán là : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  AM 4AN

Ta hướng dẫn học sinh chuyển đổi từ bài toán hình học sang bài toán giải tíchthuần túy, bằng những định hướng sau: nếu đặt IH h AM ? ;h AMN ?h

đến lúc này thì rất nhiều em sẽ tìm ra hướng giải Giáo viên chỉ cần khắc sâuđiều kiện của h thì học sinh sẽ tìm được đáp án

Ví dụ 2:Trong không gian Oxyz, cho   2   2 2



215 3



Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm hướng giải bằng những gợi mở

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) và bán kính R 4 3.

Gọi ( ) :P ax by cz d   0 ( , , ,a b c d¡ ;a2 b2 c2 0)là mặt

Do 0  x 3 f x    0 x  0;3

2 (48 )

phẳng P x y z:    0 và Xét một điểm M thay đổi trên  P Gọi khối nón  N

có đỉnh là M và có đường tròn đáy là tập hợp tất cả các tiếp điểm vẽ từ M đếnmặt cầu  S Khi khối nón  N có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường trònđáy của  N có phương trình x ay bz c   0 Tính a b c  ? [12]

A  2 B 0 C 3 D 2.Với ví dụ này, ta cho học sinh tự tìm lời giải, giáo viên cho các học sinh khác nhận xét, sau đó tổng kết và tìm ra phương pháp chung

Gọi Hlà hình chiếu của I

lên  P , ABlà đường kính của đường tròn đáy của  N ,

J là tâm đường tròn đáy của  N Suy ra: JA r là bán

kính đáy của  N , JM h là đường cao của  N

Đặt:IM x x  3

Xét AIJ đồng dạng MIA , ta có: 2 2

1 1

, đạt được khi IM  x 3 Khi đó M H

Ngoài phương pháp chuyển đổi về bài toán giải tích thì ta còn sử dụng phươngpháp đại số để giải các bài toán cực trị về mặt cầu, bằng cách áp dụng các bấtđẳng thức đại số

Bước 1 : Hướng dẫn các em sử dụng giải thiết để đưa bài toán cực trị hình học

về bài toán cực trị đại số bằng các biểu thức đại số

Bước 2: Hướng dẫn các em áp dụng các bất đẳng thức đại số để giải

Bước 3: Học sinh thực hành áp dụng

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, cho hai điểmA( 1;2;0), (2; 3;2) B  và mặt cầu

 S có đường kính AB Ax và By lần lượt là tiếp tuyến của mặt cầu  S tại A và

B (Ax By ) Hai điểm M,N lần lượt di động trên Ax và By sao cho MN là tiếp

tuyến  S Tứ diện ABCD có diện tích toàn phần nhỏ nhất bằng bao nhiêu? [13]

A 19 3 B 19( 2 3) C 19(2  3) D 19(6  3).

Đây là bài toán khá là khó Không dễ gì học sinh định được hướng giải, chính vìvậy mà việc dẫn dắt các em khai thác giả thiết để định hướng được cách giải hếtsức quan trọng

Giáo viên: Minh họa bằng hình vẽ 3d, hướng dẫn học sinh thiết lập biểu thức.Giả sử mặt cầu  S tiếp xúc với MN tại điểm C

Theo tính chất tiếp tuyến ta có:x AM MC y BN NC;   .

tp

S  x y x y y x  

Ngoài những phương pháp chính ở trên thì việc khai thác các tính chất tiếptuyến, mặt phẳng tiếp diện, cách tính chất của đường tròn giao tuyến của mặtcầu và mặt phẳng cũng cho ta các phương pháp giải hiệu quả các bài toán cực trị

về mặt cầu Sau đây là các phương pháp giải dựa trên sự khai thác các tính chất

2.3.4 Giải pháp 4: Khai thác tính chất tiếp tuyến của mặt cầu.

Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến với (S) Các tiếptuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A

đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

Bây giờ ta sẽ áp khai thác tính chất này trong bài toán sau

Ví dụ 1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A8;9;3 , B 11;3;3 và mặt cầu

    2  2 2

S x  y  z  Gọi K là điểm thuộc đoạn thẳng AB Tập hợp

các tiếp tuyến với  S kẻ từ K là mặt nón tròn xoay có đáy là đường tròn tạo bởicác tiếp điểm Thể tích nhỏ nhất của một khối nón trong tập hợp các khối nónđỉnh K là [14]

Ta cho học sinh xác định tâm và bán kính mặt cầu S : tâm I 1; 2;3 , R5.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và tâm I Khi đó (P) cắt theo một đường tròn lớn với hai tiếp tuyến của (S) cũng là hai tiếp tuyến của (C)

Giáo viên minh họa

Theo tính chất tiếp tuyến ta có:

  nên điểm M luôn nằm ngoài mặt cầu  S

Do đó qua M luôn kẻ được các tiếp truyến với mặt cầu (S)

Gọi H là giao điểm của đường thẳng IM và mặt phẳng ABC, ta có AH IM

Xét tam giác MAI vuông tại A ta có 2    12

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2 y2  z2 2x 4y 6z  13 0

nên MA MB MC x   Theo bài ra:AC x 3, AB x ,

2

BCx  AC2 AB2 BC2  ABC vuông tại B

Gọi J là trung điểm của AC, khi đó J là tâm đường tròn

ngoại tiếp ABC và I J M, , thẳng hàng và:

Ta có d I( , ) 3  R Gọi các điểm như hình vẽ.

Gọi H là tâm của đường tròn( )C , K là tiếp điểm của ( )S và tiếp tuyến  kẻ từ M.