chuyen de luong giac trong thi dai hoc

Thay * vào ** không thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm.... Vậy nghiẹm của phương trình là :..[r]

I,Công thức lượng giác

√3 2

2

√2 2

1

√2 2

–

√3 2

Công thức cơ bản:

CT 1: cos2xsin2x  1 x R

CT 2: cos(a + b) = cosacosb – sinasinb

CT 3: cos(a – b) = cosacosb + sinasinb

CT 4: sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

CT 5: sin(a - b) = sinacosb – sinbcosaCông thức biến đổi:

CT 6: cos 2x cos2x sin2x

CT 7: cos 2x 2cos2x 1

CT 8: cos 2x  1 2sin2x

CT 9: sin2x = 2sinxcosx

CT 10: cos3x 4cos3x 3cosx

CT 11: sin 3x 3sinx 4sin3x

CT 12: cos x2 = cos 2 x+12

CT 13: sin x2 = 1 −cos 2 x2

CT 14: cosa b cosa b  2cos cosa b

CT 15: cosa b  cosa b  2sin sina b

CT 16: sina b sina b  2sin cosa b

CT 17: sina b  sina b  2sin cosb a

II Phương trình lượng giác:

1,Phương cơ bản:

Sinx = m

-nếu |m| >1 ⇒ phương trình vô nghiệm -nếu |m| <1 ⇒ phương trình có nghiệm.-sin α =m hoặc arcsinm = α ⇒ sinx = sin α

⇔ x= k2 hoặc x=   k2 với k ∈ z Cosx = m

-nếu |m| >1 ⇒ phương trình vô nghiệm -nếu |m| <1 ⇒ phương trình có nghiệm.-cos α =m hoặc arccosm = α ⇒ cosx = cos α

-cot α =m hoặc arccotm = α ⇒ cotx = cot α

⇔ x= α+k¿∏❑

¿

với k ∈ z Phương trình lượng giác dạng 1:

F(sinx) = 0 t=sinx đk: |t| 1F(cosx) = 0 t=cosx đk: |t| 1 F(tanx) = 0 t=tanx

F(cotx) = 0 t=cotxKhi đó phương trình có dạng F(t)= 0

Phương trình lượng giác dạng 2: acosx +bsinx=c.(1)

(1) ⇔ a

√a2

+b2 cos x + b

√a2 +b2sin x=¿ c

√a2 +b2

√a2+b2

⇔ cos(x- α )= c

√a2+b2 Điều kiện có nghiệm : |c|

+b2

⇔ c ❑2 a ❑2 +b ❑2 Nếu c2 a2b2.thì phương trình vô nghiệm

Phương trình lượng giác dạng 3

III Bài tập :

Câu 1. ĐH Tây Nguyên

Giải phương trình sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x

Câu 2.ĐH Công Đoàn

Giải phương trình 2sinx1 3cos4  x2sinx 4 4cos2x3

Câu 7.ĐH Sân Khấu ĐA

Giải phương trình 4cos2 x2sinx 1 2sin 2  x1 3

Câu 8.ĐH SPTPHCM

Giải phương trình 4 sin 4xcos4x 3 sin 4x2

Câu 9.Học viên nghân hàng

Giải phương trình cos3xcos2x2sinx 2 0

Câu 10 ĐH Nông Nghiệp 1

Giải phương trình 1 cos 3x sin3x sin 2x

Giải phương trình sin 2x cos 2x3sinx cosx 1 0

Câu 21 ĐH Dược Hà Nội 1999

Cho phương trình sin 42 x cos 62 xsin 10,5  10x

Tìm các nghiệm thuộc khoảng

Giải phương trình 4 sin3 x cos2x 5 sin x 1

Câu 26 giải phương trình sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x)

Câu 27 Giải phương trình

Câu 29 Giải phương trình sin6x+cos6x=2(sin8x +cos8x )

Câu 30 giải phương trình : |sin x − cos x| + |sin x +cos x| =2

Câu 31 giải phương trình : cos6x − sin6x=13

8 cos

2

2 x

Câu 32 giải phương trình : 1 3 tan x2sin 2x

Câu 33 giải phương trình : 3sinx2cosx 2 3 tanx

Câu 34 giải phương trình :

Câu 36 giải phương trình :2(sin x cos x) sin x cos x8  8  6  6

Câu 37 giải phương trình

Câu 39 giải phương trình tan4 x 4 tan2 x 3 0

Câu 40 giải phương trình cos42 x=2 −cos22 x

Câu 41 giải phương trình cos22 x − 4 sin4x +3=0

Câu 42 giải phương trình cos x cos 2x 12  2 

Câu 43 giải phương trình 2 cos4x +1=3 cos 2 x

Câu 44 giải phương trình 2sin2 xtan2 x2 (1)

Câu 45 giải phương trình 8 sin 4x +13 cos 2 x −7=0

Câu 46 giải phương trình 3 −3 sin4x − 5 cos4x=0

Câu 47 giải phương trình tan2 xcot2 x  (1)2

Câu 48 giải phương trình

Câu 50 giải phương trình 2(1 −sin 2 x )− 5(sin x − cos x)+3=0

Câu 51 giải phương trình : 5(1+sin 2 x)−12(sin x +cos x)+7=0

Câu 52 giải phương trình:

Câu 58 giải phương trình: tan2 xcot2 x2(tanxcot ) 6 x 

Câu 59 giải phương trình: tan2 xcot2 x5(tanxcot ) 6 0 x  

Câu 60 giải phương trình:

2 2

3 3cot 4(tan cot ) 1 0 (1)

Câu 61 giải phương trình:

2 2

2

2 tan 5(tan cot ) 4 0 (1)

Câu 62 giải phương trình: (sin x cosx) 3  2(1 sin2x) sin x cosx    2 0

Câu 63 giải phương trình: 2(sin x cosx) tan x cot x  

Câu 64 giải phương trình: sin x cos x sin 2x sin x cosx3  3   

Câu 65 giải phương trình:

Câu 66 giải phương trình: (cos4x cos2x) 2  5 sin3x

Câu 67 giải phương trình: (cos4x cos2x) 2  5 sin3x

Câu 68 giải phương trình: sin x cosx   2(2 sin3x) 

Câu 69 giải phương trình: sin x sin x 113  14 

Câu 70 giải phương trình: sin x+cos x=√2(2− sin 3 x)

Câu 71 giải phương trình: cos 4 x − cos 2 x¿2=5+sin3 x

¿

Câu 72 giải phương trình: √5+sin22 x=sin x +2 cos x

Câu 73 giải phương trình: √3 sin2 x − cos 2 x+√3 sin x+cos x=4

Câu 74 giải phương trình: cos 2 x cos x=1

Câu 75 giải phương trình: cos 2 x=x2+1

Câu 76 giải phương trình: cos 3 x+cos x=−2

Câu 77 giải phương trình: cos x 2 cosx tan x 1 02   2  

Câu 78 giải phương trình: 4sin x 2 3 tan x 3tan x 4sin x 2 02   2   

Câu 79 giải phương trình: x2  2xsin x 2 cosx 2 0  

Câu 80 giải phương trình:

2

x cos2x 1

Câu 82 Học viện quan hệ Quốc Tế khối D năm 1999

giải phương trình: cosx cos2x cos3x cos 4x 0   

Câu 83 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998

giải phương trình: sin x cos x 2(sin x cos x)3  3  5  5

Câu 84 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998

giải phương trình: sin x cos 2x cos 3x2  2  2

Câu 85 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999

giải phương trình: sin x cos x 2(sin x cos x)6  6  8  8

Câu 86 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999

giải phương trình: sin x cosx sin x cosx 2   

Câu 87 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000

Câu 88 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000

giải phương trình: 1 3tan x 2sin 2x (*)

Câu 89 Học Viện Quân Y khối B năm 2001

giải phương trình: 3sin x 2cosx 2 3tan x   

Câu 90 Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000

giải phương trình: 4cos x 3 2 sin2x 8cosx3  

Câu 91 đại học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2001

giải phương trình: tan x 2 cot 2x sin2x  

Câu 92 Đại học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001

Câu 93 đại học Thái Nguyên khối Dnăm 1997

giải phương trình: 4(sin x cos x)4  4  3 sin 4x 2

Câu 94

Đại học Thái Nguyên khối D năm 2000

giải phương trình: sin2x 4(cosx sin x) m  

a) Giải phöông trình treân khi m 4

b) Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm

Câu 95 Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1997

giải phương trình: cos x sin x cos2x4  6 

Câu 96 Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1997

cosx.cos cos sin x.sin sin

Câu 97 Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1998

giải phương trình: sin 3x sin 2x sin x 02  2  2 

Câu 98 Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1998

giải phương trình: 2(cot 2x cot 3x) tan 2x cot 3x  

Câu 99 Đại Học Y dược TPHCM khối B năm 1997

giải phương trình: sin xsin 2x sin3x 6cos x   3

Câu 100 Đại Học Y dược TPHCM khối B năm 1998

Xác định a để hai phương trình sau tương đương

2

Câu 101 đại học y dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001 khối B

Xác định a để phương trình sau có nghiêm :  

sin x cos x a sin2x

Câu 102 Đại Học dân lập Văn Lang năm 1997 khối B và D

giải phương trình: 3cos x cos2x cos3x 1 2sin x sin 2x   

Câu 103 đại Học thủy sản năm 1997 khối A

giải phương trình:  

Câu 104 Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997

giải phương trình :(2sin x 1)(2sin2x 1) 3 4 cos x    2

Câu 105 Đại học Quốc gia TP HCM năm 1997 khối A

Cho phương trình : 4cos xsin x sin x cosx sin 4x m (*)5  5  2  Biết x  là một nghiệm của (*) Hãy giải phương thình (*) trong trường hợp đó

Đề số 2 Câu II.1 giải phương trình : sin 32 x cos 42 xsin 52 x cos 62 x

Đề số 3 Câu III Tìm x thuộc khoảng 0;14 nghiệm đúng phương trình:

cos3x 4cos2x3cosx 4 0

Đề số 4 Câu II.2 xác định m để phương trình 2 sin 4x c os 4x cos 4x 2sin 2x m  0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;2

4

(2 sin 2 )sin 3tan 1

Đề số 8 Câu II.2 cho phương trình

2sinx cos 1 sinx 2cos 3

x

a x



  (2) (a là tham số )a) giải phương trình (2) khi

1 3

a 

.b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm

Đề số 9

Câu II.2 giải phương trình: 2

1

sin8cos x  x

Câu II.1 giải phương trình :4sin3x4sin2 x3sin 2x6cosx0

Đề số 37

Câu II.1 giải phương trình :

1 cos

x x

Câu II.1 Giải phương trình :cos3x  1 3sin 3x

Đề số 69

Đề số 70

Câu II Giải phương trình :cosxcos 2xsin 3x Đề số 71

Câu II.1 Giải phương trình :cos7xsin8xcos3x sin 2x Đề số 72

Câu II.1 Giải phương trình: 3 3 1 sin cos 1 sin 2 2 x x  x Đề số 73

Câu II Giải phương trình 2 sin cos 2 tan 4 x x  x     Đề số 74

Câu II.2 giải phương trình sin4 x cos4 x2 3 sin cosx x1 Đề số 75

Câu II.1 giải phương trình 4 sin 3xcos3x cosx3sinx Đề số 76

Đề số 77

Đề số 78

Đề số 79

Đề số 80

Đề số 81

Gơi ý và giải

Câu 1 ĐH Tây Nguyên

sin 3 cos2 1 2sin cos2 sin 2 cos 2 1 2sin cos 2 0 sin 2 cos sin cos2 cos2 1 2sin cos2 0

sin 2 cos sin cos2 cos2 1 0

sin 0

sin

2

x

x







 Với sinx 0 sinxsin 0 x k k Z 

Với

5





Câu 2 ĐH Công Đoàn

43sin sin 3sin 3 3sin 4sin sin

cos 3 3cos cos3 3sin sin 3 sin 3 4cos 4 1

1 3 cos cos3 sin sin 3 4cos 4 1

3cos 4 4cos 4 4cos 4 3cos 4 0 cos12 0

242

Ta có

2

cos2 1 2sin 2sin 1 cos 2

sin cos4 2sin 2 1 2 1 sin sin cos 4 1 cos4 1 2sin

sin cos 4 2 cos 4 2sin 0 cos4 sin 1 2 sin 1 0

sin 1sin 1 cos 4 2 0

cos2 1 2sin 2sin 1 cos 2

2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3

2sin 1 3cos 4 2sin 4 3 4 1 sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 0

2sin 1 3cos 4 3 0 3 2sin 1 cos4

Giải (2) cosx 1 cosx cos0 x k 2k Z 

Câu 7 ĐH Sân Khấu ĐA

4cos 2sin 1 2sin 2 1 3 2sin 1 2sin 2 1 3 4cos 0

2sin 1 2sin 2 1 3 4 1 sin 0 2sin 1 2sin 2 1 1 4sin 0

2sin 1 2sin 2 1 2sin 1 1 2sin 0

2sin 1 2sin 2 1 1 2sin 0 2sin 1 2sin 2 2sin 0

1

2sin 1 0

22sin 2 2sin 0 sin 2 sin 2

x x

cos cos 2sin 2 0 cos cos 1 2 sin 1 0

1 sin cos 1 2 sin 1 0 1 sin sin 1 cos 1 2 sin 1 0

sin 1 1 sin cos cos sin 0

1 sin cos cos sin 0 2

t t

cos x sin x cosx sinx cos xcos sinx xsin x  cosx sinx 1 cos sin x x

thay vào phương trình ta được

1 cos sin 1 cos sin sin 2

cos sin 1 cos sin cos sin 2sin cos 0

cos sin 1 cos sin cos sin 0

cos sin 1 cos sin cos sin 0

1 cos sin cos sin 0 2

t t

cos3 4cos 3cos 4cos cos3 3cos

sin 3 3sin 4sin 4sin 3sin sin 3

Thay vào phương trình ta được

3sinx sin3 cos3x xcos3x3cos sin 3x x3 3 cos4x3

23

1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2

cos sin sin cos cos sin 1 sin 2

cos sin sin cos cos sin 1 sin 2

cos sin 1 sin cos 1 2sin cos

Ta có 2sin cosa bsina b  sina b  2sin3 cos 2x xsin5xsinx

Thay vào phương trình ta được

 

3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 3 cos5 sin 5 sin sin 0

3 cos5 sin 5 sin sin 0 3 cos5 sin 5 2sin

18 3

k

k Z k

sin cos sin 2 3 cos3 2cos4 2sin

sin 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4

sin 1 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos4

sin cos2 sin 2 cos 3 cos3 2cos4

1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin

cos 2sin cos 3 1 sin 2sin 2sin

cos sin 2 3 sin cos 2 3 cos 2 sin 2 cos 3 sin

         

2

sin 2 cos 2 3sin cos 1 0 2sin cos 2sin 3sin cos 2 0

cos 2sin 1 sin 2 2sin 1 0 2sin 1 cos sin 2 0

sin 2 cos 2 3sin cos 1 0 2sin cos 2sin 3sin cos 2 0

cos 2sin 1 sin 2 2sin 1 0 2sin 1 cos sin 2 0

1 sin cos 2 cos sin cos

coscos sin

1 sin cos 2 cos cos 0 cos 1 sin cos 2 1 0

cos sin cos 2

xĐ

x x

x x

2 2

cos 0 sin 1 2sin 0 2sin sin 1 0

sin 1

1sin

2cos 2 1cos 2 2cos 1 cos

Vì

0

2031

2052

2073

2094

8cos cos3 0 8cos 4cos 3cos 0 12cos 3cos 0

3cos 4cos 1 0 cos 2cos 1 2cos 1 0

3cos 0

2cos 1 0

32cos 1 0

x t

4 sin3 cos2 5 sin 1 4sin3 4cos2 5 sin 1 0

4 3sin 4sin 4 1 2sin 5 sin 1 0

sin 3x+cos3x=2(sin5x+ cos5x)

C1 sin 3x+ cos3x=2(sin5x+ cos5x)

x (1− 2 sin2x )=cos3x (2 cos2x − 1)⇔sin3

x cos 2 x=cos3x cos 2 x

x cos2x +cos3x sin2x=sin5x+cos5x ⇔sin3

x (cos2x − sin2x)=cos3x (cos2x −sin2x)

⇔(cos2x − sin2x )(cos3x − sin3x)=0 ⇔

cos2x − sin2x=0

¿ cos 3x − sin3x=0

¿ cos2x − sin2x=0

x

1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x

(cos 4x cos 2x) (1 cos 6x) 0

x (1 −2 sin2x )=cos6x (2 cos2x − 1)⇔sin6

x cos 2 x =cos6x cos 2 x

⇔(|sin x −cos x| + |sin x+cos x|)2=4

cos 2 cos sin 2sin cos 2sin cos cos sin

sin x − cos x¿3=4 sin x

sin x − cos x¿3=√2sin x ⇔¿

sin x − cos x¿2=4 sin x

sin x − cos x¿3=4 sin x⇔(sin x−cos x)¿

(∗)⇔¿

(sinx cos )(sinx x 2sin x cosx cos ) 4sinx  x  (sinx cos )(1 2sin cos ) 4sinx  x x  x

cosx 3sinx 2sin xcosx 2sin cosx x 0

       cos ( 2sinx  2x 1) sin (2 cos  x 2x 3) 0 

cos (cos 2x x 2) sin (cos 2x x 2) 0

4 sin x cos x 1 vo ânghieäm 4 2

4Vậy phương trinh có nghiệm là x  k k Z 

4 2

Câu 38

sin 22 x −2 cos2x+3

4=0

Ta có cos 2x 2cos2x  1 2cos2x cos 2x 1

thay vào phương trinh ta được:

Điều kiện cosx 0

Đặt t tan2x điều kiên t 0 khi đó phương trình có dạng t2 4t  3 0

x k tan x 1

(k Z) tan x 3

3 tan x 3

4Vậy phương trinh có nghiệm là



x k (k Z) 2

x cos2x+sin2x=2cos2x

⇔2(1 −cos2x )cos2x +1 −cos2x=2 cos2x ⇔2 cos2x −2 cos4x+1 −cos2x =2cos2x

(1) tan4 x 2 tan2x  1 0 (tan2x1)2 0

8 cos 4x¿2= 1

2(1 −sin 2 x )− 5(sin x − cos x)+3=0

sin x − cos x¿2−5(sin x −cos x )+3=0

⇔ 2¿

(loại)

5(1+sin 2 x)−12(sin x +cos x)+7=0

sin x+cos x¿2−12(sin x +cos x )+7=0

2 2

Điều kiện : cos x ≠ 0

(1)⇔ cos2x +cos x +1=0 (voâ nghieäm)

Vậy nghiệm của phương trình là :

2

2 (k Z) 2

3 2 3

1 sin x 2 (2) sin x

sin x 2(loại) (2) 2sin x 5sin x 2 0 1

6

Câu 58

C1 :tan2 xcot2 x2(tanxcot ) 6 (*)x 

Điều kiện : sin x cos x ≠ 0 ⇔sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ

2 (k ∈ Z)

2 (*)  (tanx cot )x  2 2(tan  x cot ) 6x   (tanx cot )x 2 2(tanx cot ) 8 0x  

7 12

x +cos2x=− 4 sin x cos x

1 2sin2x 1 sin2x sin

7 12

Điều kiện : sin x cos x ≠ 0 ⇔sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ

2 (k ∈ Z)

2 (*)  (tanx cot )x  2 5(tan  x cot ) 6 0x    (tanx cot )x 2 5(tanx cot ) 4 0x  

x +cos2x=− 4 sin x cos x ⇔−2 sin 2 x=1 ⇔ sin2 x=−1

Khi : t=−2 ⇔ sin x

cos x+

cos x sin x =− 2 ⇔sin2x +cos2x=− 2sin x cos x ⇔ sin2 x=−1

Vậy phương trình có nghiệm



   

x k (k Z) 4

Câu 61

2 2

  

2(sin x cosx) tan x cot x

sin x cosx 2(sin x cosx)

cosx sinx

     2(sin x cosx)sin x cosx 1  

đặt t sin x cosx 2 cos x

Ta cĩ sin x cos x3  3 sin x+ cosx sin x cos x sin x cosx  2  2   sinx cosx 1 sin x cosx     

Thay vào phương trình ta được

(sin x cosx)(1 sin x cosx) 2sin x cosx sin x cosx

2

t 1 đặt t sin x cosx 2 cos x sin x cosx

sinx cosx 10 sinx cosx

sin x cosx 3  (sin x cosx) 1  sin x cosx1  103

2

t 1 đặt t sin x cosx 2 cos x sin x cosx

Điều kiện : t  2.khi đó phương trinh có dạng :

VT (cos4x cos2x)    (2sin3xsin x)  sin 3xsin x 4  VP 5 sin3x 4  

Vậy phương trình tương đương với hệ:

VT (cos4x cos2x)    (2sin3xsin x)  sin 3xsin x 4  VP 5 sin3x 4  

Vậy phương trình tương đương với hệ:

Câu 68 Giải phương trình sin x cosx   2(2 sin3x) 

VT sin x cosx 2 sin x 2

sin x sin x sin x sin x

    Vì cosx 1  cos x cos x13  2 ; sin x 1  sin x sin x14  2Vậy sin x sin x 113  14  Dấu bằng xảy ra khi

VT sin x cosx 2 cos x 2

2+k 2 π (k ∈ Z)

Thay vào (2) ta có : sin 3 x=3 −4=− 1 thỏa mãn

Khi sin x=−1 ⇔ x=− π

2+k 2 π (k ∈ Z)

Thay vào (2) ta có : sin 3 x=−3+4=1≠ −1 không thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là : x=− π

2+k 2 π (k ∈ Z )

Câu 72

√5+sin 22 x=sin x +2 cos x (1)

VT =√5+sin 22 x ≥√5 dấu bằng xảy ra  sin2x = 0  x= kπ

2 (k ∈ Z) (*)

VP=sin x +2 cos x ≤√1+4√sin2x+cos2x=√5

Dấu bàng xay ra  sin x1 =cos x

2 ⇔ tgx=1

2 (**)Thay (*) vào (**) không thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm