(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN tư DUY học SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI THÁC các bài TOÁN cực TRỊ HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LĨNH VỰC: MÔN TOÁN HỌC.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ

LĨNH VỰC: MÔN TOÁN HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ

LĨNH VỰC: MÔN TOÁN HỌC

Người thực hiện: NGUYỄN VĂN DŨNG

Tổ bộ môn: Toán - Tin Điện thoại: 0349734147 Email: dungtoandhv@gmail.com

Diễn Châu, tháng 04 năm 2022

MỤC LỤC

2 Thực trạng về các bài toán cực trị trong không gian Oxyz Trang 5

3.1 Bài toán cực trị về khoảng cách trong không gian Oxyz Trang 7

3.2 Bài toán cực trị về góc trong không gian Oxyz Trang 24

3.3 Bài toán cực trị về diện tích, thể tích trong không gian Oxyz Trang 35

3.4 Bài toán cực trị khác trong không gian Oxyz Trang 41

3.4.2 Ví dụ áp dụng Trang 42

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Tư duy có vai trò đặc biệt quan trọng đối với hoạt động thực tiễn cũng như đối với hoạt động nhận thức của con người Tư duy giúp con người nhận thức được quy luật khách quan từ đó có thể dự kiến một cách khoa học xu hướng phát triển của sự vật, hiện tượng và có kế hoạch biện pháp cải tạo hiện thực khách quan

Có thể nói, khả năng tư duy là một trong những kỹ năng có giá trị nhất, có tính ứng dụng cao nhất mà mỗi người cần có để học tập, làm việc có hiệu quả Bởi ngày này với sự phát triển của công nghệ và tri thức cao, người ta làm việc dựa trên kỹ năng tư duy, mà không dung nhiều cơ bắp vào công việc Mỗi người cần vận dụng những tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân vào công việc của mình làm để mang lại kết quả tốt hơn, có hiệu quả cao hơn

Tư duy giúp con người thu thập, phân tích và sử dụng thông tin, ra quyết định cũng như hợp tác với người khác để giải quyết vấn đề, đóng góp ý tưởng, phát triển bản thân

Tiềm năng của bộ não con người là rất lớn Do đó, mỗi người hãy để cho não bộ làm việc thường xuyên, luôn rèn luyện kỹ năng tư duy cho bản thân để học tập làm việc có hiệu quả, đem đến năng suất cao

Những người không có thói quen đặt câu hỏi, không có khả năng khám phá, lựa chọn sẽ khó có thể tiến lên trong cuộc sống Khả năng suy nghĩ, tư duy tốt sẽ giúp cho những người trẻ, đặc biệt là các em học sinh phát triển bản thân, đạt được những thành tích, thành công trong hiện tại và tương lai

Trong những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia (TN THPT QG) luôn xuất hiện bài toán cực trị hình học trong không gian Oxyz Chẳng hạn: Câu 49, đề 104, đề thi TN THPT QG năm học 2020-2021: “Trong không gian

Oxyz, cho hai điểm A 2;1; 3 ,   B 1; 3;2   Xét hai điểm M N , thay đổi thuộc mặt phẳng  Oxy sao cho MN  3 Giá trị lớn nhất của AM  BN bằng

A 65 B 29 C 26 D 91

Trong quá trình dạy, nhận ra khi các em học sinh gặp bài chủ đề này đa số các

em, đặc biệt các em có học lực Khá, khá hoang mang, lo lắng, chưa biết định hướng giải bài này như thế nào? Các em thường bỏ qua không làm mà cũng không phân tích bài toán, đặt câu hỏi Nguyên nhân một phần bởi thời gian chương trình, bài tập

về chủ đề này rất là ít và hạn chế, một phần bởi độ khó của bài tập, bài tập đưa ra chưa hệ thống và chưa có giải pháp, định hướng, một phần bởi khả năng tư duy các

em học sinh

Với những điều nhận ra, tôi mong muốn giúp các em rèn luyện tốt khả năng tư duy, giúp các em có tâm lí tốt, biết cách đặt câu hỏi, phân tích khi gặp bài toán khó

học sinh khối 12 thông qua khai thác các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz’’

2 Tính cấp thiết của đề tài

- Các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz là một nội dung ôn thi THPT QG

mà các em học sinh khối 12 rất quan tâm, lo lắng, đặc biệt là các em học lực Khá, Giỏi

- Bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập còn ít và đang ở mức vận dụng, thậm chí vận dụng cao, chưa trình bày giải pháp, chưa được hệ thống dẫn tới tâm lí hoang mang, lo lắng, không định hướng được để giải quyết bài toán

3 Tính mới của đề tài

- Rèn luyện tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề cho học sinh khi gặp bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

- Các bài tập được xây dựng theo mức độ và hệ thống, bên cạnh đó nêu giải pháp phù hợp cho từng dạng toán giúp các em học sinh học tập theo năng lực, phát huy khả năng của mình, không gây tâm lí hoang mang, lo lắng khi giải quyết bài toán

- Đặt các câu hỏi định hướng để các em dần có thói quen đạt câu hỏi để giải quyết bài toán cực trị hình học không gian Oxyz, giải quyết bài toán cũng như giải quyết các vấn đề trong cuộc sống

- Nhiều bài tập ở mức độ thông hiểu được bản thân xây dựng nhằm giúp các em học sinh có hứng thú tìm hiểu, để từ đó có thể giải quyết bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao

4 Khả năng ứng dụng và triển khai của đề tài

Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông và các thầy cô dạy Toán THPT tham khảo Vì đề tài xây dựng bài toán theo các mức độ, do đó hoàn toàn phù hợp với các đối tượng học sinh, đặc biệt là học sinh khá, học sinh giỏi (HSG), học sinh ôn thi

TN THPT QG

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh THPT

- Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT

- Các bài toán về cực trị hình học không gian Oxyz và các vấn đề liên quan

5.2 Phạm vi nghiên cứu

- Bám sát nội dung chương trình toán THPT

- Mở rộng nội dung phù hợp với ôn thi HSG và ôn thi TN THPT QG

6 Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp và phân tích các bài toán trong kì thi TNTHPT QG những năm gần đây, trong sách giáo khoa, sách bài tập

- Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán tạo ra, đặc biệt là hệ thống bài tập theo mức độ, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và phổ biến cho đồng nghiệp sử dụng để khảo nghiệm đề tài, rút ra kết luận, bổ sung vào đề tài

- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa tri thức: Sắp xếp bài toán theo dạng, theo giải pháp phù hợp, bài tập phân theo mức độ

6.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng phương hướng giải quyết bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

- Đưa ra một số nhận xét, câu hỏi định hướng, phân tích lời giải cho từng bài toán

- Sáng tác các bài toán ở mức độ thông hiểu, vận dụng để các em học sinh có thể tiếp cận và giải quyết, định hướng khai thác, mở rộng thêm

Phần II NỘI DUNG

1 Cơ sở khoa học

1 1 Cơ sở lí luận

- Bài toán cực trị là một trong những nội dung khó trong chương trình toán THPT,

nó gắn liền với các chủ đề dạy học, đòi hỏi tư duy logic cao, việc nắm vững phương pháp giải, cách định hướng, đặt câu hỏi giải quyết vấn đề không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói riêng mà còn có khả năng tư duy logic với các môn học khác

- Vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung và giải các bài toán cực trị nói riêng Trong đó có bài toán cực trị hình học trong không gian Oxyz Qua quá trình giảng dạy môn toán, tôi đã tìm hiểu, hệ thống bài toán tìm cực trị, tìm cách định hướng, đặt câu hỏi giải quyết vấn đề cho học sinh

Từ đó, hình thành kỹ năng và phát triển tư duy cho các em học sinh

1.2 Cơ sở thực tiễn

- Đề tài mục đích xây dựng hệ thống bài tập cực trị hình học không gian Oxyz theo các mức độ, có phân tích, đặt câu hỏi định hướng Điều này bắt nguồn từ một thực tiễn là đề thi TN THPT QG những năm gần đây đều xuất hiện bài toán cực trị hình học không gian Oxyz ở mức độ vận dụng, thậm chí vận dụng cao làm nhiều em học sinh, đặc biệt học sinh có học lực khá lo lắng, quan tâm nhưng chưa giải quyết được Câu 48, Đề tham khảo BGD&ĐT năm 2017:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P x :     2 y 2 z 3 0 và mặt cầu  S : x 2        y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0. Giả sử M  P và N  S sao cho MN 

cùng phương với vectơ u 1;0;1

và khoảng cách giữa M và N lớn nhất Tính MN

Câu 48, Mã đề 105, Đề thi TNTHPT QG năm 2017:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2;6 ,   B 0;1;0 và mặt cầu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) : S x 2    y 2 z 2 9, điểm

(1;1;2)

M và mặt phẳng ( ) : P x     y z 4 0 Gọi  là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt ( ) S tại 2 điểm A B , sao cho AB nhỏ nhất Biết rằng  có một vectơ chỉ phương là u  (1; ; ) a b , tính T a b

A T  0 B T  1 C T  2 D T  1 Câu 47, Mã đề 103, đề thi TNTHPT QG Năm 2018:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I1;2;3 và đi qua điểm A5; 2; 1    Xét các điểm B C D , , thuộc  S sao cho AB AC AD , , đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

3 Câu 45, Đề tham khảo BGD&ĐT 2019:

Trong không gian Oxyz, cho điểm E2;1;3, mặt phẳng  P : 2 x     2 y z 3 0 và mặt cầu     2  2 2

S x    y   z  Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong

 P và cắt  S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của  là

Câu 45, Mã đề 102, Đề thi TNTHPT QG Năm 2019:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A0;4; 3   Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 Khi khoảng cách từ A đến d

lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?

A P 3;0; 3   B Q0;11; 3   C N0;3; 5   D M0; 3; 5   

Câu 45, Mã đề 104, Đề thi TNTHPT QG Năm 2019:

Trong không gian Oxyz , cho điểm A0;3; 2   Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?

A Q 2;0; 3   B M0;8; 5   C N0;2; 5   D P0; 2; 5    Câu 49, Mã đề 104, Đề thi THPT QG năm 2021:

“Trong không gian Oxyz ,, cho hai điểm A 2;1; 3 ,   B 1; 3;2   Xét hai điểm M N ,

thay đổi thuộc mặt phẳng  Oxy sao cho MN  3 Giá trị lớn nhất của AM  BN bằng

A 65 B 29 C 26 D 91

Từ các cơ sở thực tiễn đó và trên việc phân tích các đê thi thử của các Sở, các trường trên cả nước, đề tài hướng tới xây dựng hệ thống các bài tập tương tự và mở rộng, phát triển bài tập theo các mức độ, phù hợp với đối tượng học sinh

2 Thực trạng về các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

- Các bài toán cực trị hình học không gian Oxyzxuất hiện rất ít trong tài liệu tham khảo, cụ thể:

 Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản có đưa ra bài toán:

Bài 4, trang 99: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;2; 1 ,   B 7; 2;3  và đường thẳng d có phương trình:

Tìm điểm Itrên d sao cho AI  BI nhỏ nhất

 Sách bài tập hình học 12 cơ bản xuất hiện hai bài toán

Bài 3.30, trang 99: Lập phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M1;2;3 và cắt

ba tia Ox Oy Oz , , lần lượt tại A B C , , sao cho thể tích tứ diện OABCnhỏ nhất

Bài 3.46, trang 115: Cho hai đường thẳng 1: 2

 Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao có đưa ra bài toán:

Bài 40, trang 125: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M 01;1;1cắt ba tia Ox Oy Oz , ,

lần lượt tại A B C , , sao cho thể tích tứ diện OABCnhỏ nhất

Bài 74, trang 134: a Cho hai điểm A3;1;0 , B  9;4;9và mặt phẳng

a Viết phương trình đường thẳng d nằm  P mà mọi điểm của d đều cách đều A B ,

b Tìm điểm C d  sao cho SABC nhỏ nhất

 Sách bài tập hình học 12 nâng cao chỉ đưa ra một bài toán:

Bài 6, trang 116: Cho hai điểm A 1;6;6 , B 3; 6; 2    Tìm M thuộc mặt phẳng

 Oxy sao cho MA MB  nhỏ nhất

Phần nào có thể thấy, tài liệu có đề cập đến các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz, tuy nhiên bài tập chưa được hệ thống, chưa có giải pháp và số lượng bài tập không nhiều Cần xây dựng thành các dạng toán theo mức độ, bên cạnh đó là các giải pháp, các câu hỏi định hướng, phân tích lời giải,…để phần nào rèn luyện tư duy cho các em học sinh khối 12 Qua đó dần hình thành một số kĩ năng giải quyết vấn

đề trong học tập cũng như thực tiễn cuộc sống

3 Phương hướng và giải pháp

Đối với bài toán cực trị hình học không gian Oxyz, chúng ta thường xử lí theo hai hướng

Hướng Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức Cô-si, bunhia cốpxki hoặc khảo sát hàm số để giải quyết bài toán Hướng Hình học: Sử dụng kết quả một số bài toán cực trị trong hình học không gian, các bất đẳng cơ bản trong hình học để đánh giá từ đó giải quyết bài toán Mỗi hướng đều có ưu, nhược điểm nên chúng ta cần phân tích để chọn hướng phù hợp cho từng dạng toán, bài toán ngay từ ban đầu để giải quyết được bài toán một cách hiệu quả, không mất nhiều thời gian

Với hướng giải đại số thì ít cần đến trí tưởng tượng không gian mà yêu cầu tính toán nhiều hơn, tuy nhiên lại mất nhiều thời gian và dễ dẫn đến sai sót trong quá trình tính toán

Với hướng Hình học thì cần học sinh tưởng tượng không gian tốt hơn nhưng có lời giải khá ngắn gọn, mất ít thời gian hơn

Với hướng giải nào cũng cần các em nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức đại số, khảo sát hàm số và các bất đẳng thức hình học Những vấn đề này sẽ được đề cập lại trong các dạng toán dưới đây

3.1 Bài toán cực trị về khoảng cách trong không gian Oxyz

3.1.1 Giải pháp chung

Về khoảng cách trong hình học không gian Oxyz xoay quanh qua ba đối tượng

cơ bản: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng

 Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x y z A; ;A A,

 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng:

Khía cạnh hình học: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là khoảng cách

 với điểm M bất kì thuộc d

Cách 2 Bước 1: Gọi M là hình chiếu của Alên đường thẳng d Tham số hóa điểm

 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng:

Khía cạnh hình học: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P là khoảng cách

Kí hiệu: d A P ,  AM

P

d A M

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khía cạnh hình học: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau avà b bằng độ dài đoạn vuông góc chung MN của hai đường thẳng ấy

Ký hiệu: d a b ,  MN

Chú ý: d a b ,  MN  PQ, Với mọi P a  , với mọi Q b 

Khía cạnh Đại số: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng a b , lần lượt có các vectơ chỉ phương u u  1, 2

Cách 1 Bước 1: Lấy tọa độ điểm M  a và N b 

Bước 2:   1 2 1 2

1 2

, ,

P

M K

a

b

Δ

N M

Đề giải quyết bài toán dạng này, chúng ta cần phân tích đề bài và vận dụng các giải pháp ở trên để xử lí

I M

Từ đó, nêu bài toán tổng quát

Bài toán 1 Trong không gian Oxyz, cho điểm A x y z 0 ; ; 0 0 cố định và điểm M di động trên hình  H ,( H là đường thẳng, mặt phẳng) Tìm giá trị nhỏ nhất của AM Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên hình  H , khi đó trong tam giác

AHM vuông tại M , ta có: AM  AH

Đẳng thức xảy ra khi M  H

Do đó, AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của A lên hình  H Phát triển bài toán 1 Bằng cách thay đổi dữ kiện: Điểm M di động trên một mặt cầu  S hoặc điểm Adi động trên một mặt cầu  S , chúng ta có thêm các lớp bài toán khác

Ví dụ 3 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho A1; 2;0   và mặt cầu

 S x : 2        y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0và điểm M di động trên mặt cầu  S Giá trị lớn nhất của AMlà

Gv: Vậy hướng hình học? vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu  S ?

Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh AM AM AM1, , 2

Hs: Điểm A nằm ngoài mặt cầu  S vàAM1 AM  AM2, từ đó giải quyết bài toán

A I M

Vậy giá trị lớn nhất của AM là AI   R 17  3

Ví dụ 4 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho A1;1; 2   và mặt cầu

 S x : 2        y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0và điểm M di động trên mặt cầu  S Giá trị nhỏ nhất của AM là

Gv: Vậy hướng hình học? vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu  S ?

Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh AM AM AM1, , 2

Hs: Điểm A nằm trong mặt cầu  S vàAM1 AM  AM2, từ đó giải quyết bài toán

Vậy giá trị nhỏ nhất của AM là AM1 AI   R 17 3 

Từ đó, yêu cầu học sinh nêu được bài toán tổng quát và lời giải

Bài toán 2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A x y z 0 ; ; 0 0, mặt cầu  S có tâm I , bán kính R, M là một điểm di động trên mặt cầu  S Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM

Lời giải Xét A nằm ngoài mặt càu  S Gọi M M1, 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI và mặt cầu  S AM 1  AM 2 và  P là mặt phẳng đi qua Mvà đường thẳng

AI Khi đó  P cắt  S theo một đường tròn  C Ta có M MM1 2  90 nên

Vậy: minAM= R AI   AM1, maxAM    AI R AM2

Ví dụ 5 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho     2  2 2

 Phân tích: Hướng đại số, học sinh không giải quyết được

Hướng hình học: - mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là một đường tròn Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng 0

N K M

 Phân tích: - mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S

- Quan sát hình vẽ suy ra:M H 1  d I P ,   R d M P ,  d I P ,   R M H 2

Ví dụ 8 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho     2  2 2

P M

M2

O I

N K M

Từ ví dụ 5, 6, 7, 8 yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng quát và lời giải

Bài toán 3 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I, bán kínhR và mặt phẳng  P , M là một điểm di động trên mặt cầu  S Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P

Lời giải Xác định tâm Ivà bán kính R của mặt cầu  S

Gọi  d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng  P  d cắt mặt cầu  S

tại hai điểm M M1; 2

Xác định d I P , 

+ Nếu d I P ,  R, mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S

Ta có: M H 1  d I P ,   R d M P ,  d I P ,   R M H 2

Nên min d M P ,  M H 1  d I P ,  R; max d M P ,  M H 2  d I P ,  R

+ Nếu d I P ,  R, mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo đường tròn  C có tâm O

Ta có: 0  d M P ,  d I P ,   R M H 2

Nên min d M P ,  0, đạt được khi M nằm trên đường tròn  C ;

max d M P ,  M H 2  d I P ,  R

P N

I

M2

M1 M

Ví dụ 9 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho

 S : x 2        y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0và đường thẳng    

1 :

 nên đường thẳng  d không cắt mặt cầu  S

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Ilên đường thẳng  d Đường thẳng IHcắt mặt cầu  S tại hai điểm M M1, 2 (Hình vẽ)

P N

I

M2

M1M

 nên đường thẳng  d cắt mặt cầu  S tại hai điểm A B ,

Ta có: 0  d M d ,  nên min d M d ,  0 đạt được khi M  A hoặc M  B

Ví dụ 11 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho     2  2 2

 nên đường thẳng  d không cắt mặt cầu  S

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Ilên đường thẳng  d Đường thẳng IHcắt mặt cầu  S tại hai điểm M M1, 2 (Hình vẽ)

Ta có: M H 1  d I d ,   R d M d ,  nên min d M d ,  d I d ,   R 3 6 2 

Từ các ví dụ 9,10,11 yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng quát và lời giải

Bài toán 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I, bán kínhR và đường thẳng  d , M là một điểm di động trên mặt cầu  S Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d

Lời giải Xác định tâm Ivà bán kính R của mặt cầu  S

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Ilên đường thẳng  d

Đường thẳng IH cắt mặt cầu  S tại hai điểm M M1; 2

Xác định d I d ,  IH

+ Nếu d I d ,  R, đường thẳng  d không cắt mặt cầu  S (Hình vẽ)

Ta có: M H 1  d I d ,   R d M d ,  d I d ,   R M H 2

Nên min d M d ,  M H 1  d I d ,  R; max d M d ,  M H 2  d I d ,  R

+ Nếu d I d ,  R, đường thẳng  d cắt mặt cầu  S tại hai điểm A B ,

Ví dụ 12 (Mức độ 3) Trong không gian Oxyz, cho  S : x 2     y 2 z 2 1 0và A1;1;0 Tọa độ điểm M  S để MA đạt giá trị lớn nhất là

 Phân tích: Vận dụng bài toán 2

- Điểm M thỏa mãn phải là giao điểm của đường thẳng AI và mặt cầu  S

1 2

Nên maxMA  2 1  khi 2 1 ; 1 ;0

 Phân tích: Vận dụng bài toán 4

- Điểm M thỏa mãn phải là giao điểm của đường thẳng IH và mặt cầu  S với H

là hình chiếu của I lên đường thẳng  d

 Lời giải:

Chọn C

 S có tâm I1;2; 1 ,   R  1  d có vectơ chỉ phương a 1; 1;0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  d Gọi 1 ; 2 ; 1

2

3 1;2; 2 ,

 Phân tích: Vận dụng bài toán 3

- Xét vị trí tương đối của mặt phẳng  P và mặt cầu  S

- Điểm M thỏa mãn phải là giao điểm của  d và mặt cầu  S Trong đó,  d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với  P

2 3

Ví dụ 17 (Mức độ 4, Đề thi thử SGD Thái Nguyên 2020-2021) Trong không gian

Oxyz, cho điểm A3;3; 3   và đường thẳng : 1 2 9

d      Gọi  P là mặt

d (P A

H K

phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến  P lớn nhất Điểm nào dưới đây thuộc  P ?

A A1;1;7 B D 1;1;7 C B1;1; 7   D C1; 1;7  

 Phân tích: Gv: Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng  d ?

Hs: Vô số

Gv: Vẽ minh họa, Yêu cầu học sinh so sánh AHvà AK với H là hình chiếu của A

lên mặt phẳng  P K là hình chiếu của A trên  d

Hs: Ta có AH  AK  d A P ,( ) max d A P ,( ) Phát hiện vấn đề:  P đi qua K và nhận AK 

Đạt được khi H  K Khi đó AK  ( ) P

Mặt phẳng  P đi qua K   1; 1; 1 và có một vectơ pháp tuyến

Gọi khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ A đến mặt phẳng  P lần lượt là  và  Giá trị của biểu thức T   2  5  bằng:

 Phân tích: Qua các ví dụ 16, 17 kiểu bài toán này ta cần tìm một điểm cố định hoặc được điểm của vectơ pháp tuyến của  P ?

-  P luôn song song với giá của vectơ u2; 1;2  

Khai thác giả thiết tiếp xúc như thế nào ?

 Lời giải:

Chọn D

Tâm mặt cầu I1; 1;0   và bán kính R  3

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n( )P  a 1;2 b     2; a b 2

Dễ dàng có được n   ( )P u  a 1; 2 b       2; a b 2 2; 1;2  0  P luôn song song

với giá của vectơ u2; 1;2   Nếu gọi M là tiếp điểm của  P và  S thì điểm M

sẽ chạy trên một đường tròn lớn của mặt cầu  S , đường tròn này nằm trong mặt phẳng vuông góc với giá của vectơ u 

và đi qua tâm I của mặt cầu  S Các đường thẳng đi qua M song song với giá của véc tơ u 

sẽ tạo ra một mặt trụ  T có bán kính đáy đúng bằng R, có trục của mặt trụ là đường thẳng , đường thẳng  đi qua I

và song song với giá của vectơ u 

Phương trình tham số của đường thẳng 

Khoảng cách nhỏ nhất của điểm A đến mặt phẳng  P là   0 vì tồn tại mặt phẳng

 P đi qua A Khoảng cách lớn nhất từ điểm A đến mặt phẳng  P cũng là đến các đường sinh của hình trụ  T Như trên hình vẽ sẽ tương ứng là đoạn thẳng

A K  AH   R 29   3  Suy ra T  2    5  2 29  6

3.1.3 Bài tập tham khảo

Ví dụ 19 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm M2;1;4 và đường thẳng

Ví dụ 20 (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;1;0 mặt cầu

 S x : 2     y 2 z 2 1 0 Điểm M x y z 0 ; ; 0 0 thuộc mặt cầu  S sao cho MA đạt giá trị lớn nhất Tính P    x0 y0 5 z0

của  là?

A u  1;2;2 B u2;1; 2   C u2;2; 1   D u 2; 2;1

Ví dụ 25 (Mức độ 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

S x    y   z có tâm I và mặt phẳng  P : 2 x     y 2 z 2 0 Tìm tọa

độ điểm M thuộc  P sao cho đoạn IM ngắn nhất

d là

A

2 1

3.2.1 Giải pháp chung

Về góc trong hình học không gian Oxyz xoay quanh qua hai đối tượng cơ bản: đường thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai đường thẳng:

Khía cạnh hình học: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a ' và b 'cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và

b

Khía cạnh đại số: Đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a 

, đường thẳng bcó vectơ chỉ phương là b 

H K

Ta có: góc tạo bởi IM với mặt phẳng  P đạt giá trị lớn nhất là 90 0 khi đó IM  P

Đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với  P có phương trình:

với  Q chính là IAK như hình vẽ

Lấy I   thì I A , cố định, dựng IH  P H ,  P khi đó:    P Q, IKH

d C

K H

Đường thẳng  đi qua điểm M1;0;0 và có vectơ chỉ phương u  1; 1; 2

Gọi A    P ; d    P  Q với  Q chính là IAK như hình vẽ

Lấy I   thì I A , cố định, dựng IH  P H ,  P khi đó:    P Q, IKH



   nên  nhỏ nhất khi K  A Suy ra: d     d  Q nên d có một vectơ chỉ phương là ud   n  P, u 

 Phân tích: Cần tìm góc  giữa đường thẳng   và mặt phẳng  Q

Gv vẽ hình, qua hình vẽ cần so sánh cosCAH, AK

 Lời giải:

Chọn B

Đường thẳng  d đi qua điểm A1;2;1, có vec tơ chỉ phương ud    2; 2;1

Gọi  d 1 là đường thẳng đi qua A và song song với  

CAH lớn nhất khi H  K Vậy  Q chứa  d và vuông góc với AKC

Mặt phẳng AKCcó vectơ pháp tuyến nAKCu ud,   6;5; 2 

Phân tích: Qua ví dụ 21, 22 ta hoàn toàn xác định được mặt phẳng, từ đó bài toán

có thể phát triển thành bài toán lập phương trình mặt phẳng  Q thỏa mãn cực trị về góc

Từ đó, nêu bài toán tổng quát và kết quả

Bài toán 5 Lập phương trình mặt phẳng  Q chứa đường thẳng   sao cho mặt phẳng  Q tạo với mặt phẳng  P cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng  d cho trước một góc lớn nhất)

Kết quả: min   P , Q n Q   u u n  , ,  P  ; max ,d Q n Q   u  ,u u, d 

Từ bài toán 5, ta sẽ giải quyết được nhiều bài toán liên quan

Ví dụ 33 (Mức độ 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

a I

H

K Ad

Ví dụ 35 (Mức độ 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3; 1;1  , đường thẳng  : 2

   và mặt phẳng  P x :     y z 5 0 Gọi  d là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng  P và tạo với đường thẳng   một góc nhỏ nhất là  Tính sin 

 Phân tích: - Cần tìm góc giữa  d và   : d ,    d a ,  IAK 

- Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh sin ,IH

hình chiếu của a trên  P

Khi đó d ,min  ud n  P, nAIHn P, n P, u    2; 7; 5

a I

H

K Ad

Đường thẳng  đi qua điểm M1; 1;2   và có vec tơ chỉ phương là u3;2; 2  ,

Phân tích: Qua ví dụ 35, 36 ta hoàn toàn xác định được đường thẳng  d , từ đó bài

toán có thể phát triển thành bài toán lập phương trình đường thẳng  d , thỏa mãn

cực trị về góc

Từ đó, nêu bài toán tổng quát và kết quả

Bài toán 6 Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A và nằm trong mặt

phẳng  P sao cho góc tạo giữa đường thẳng d và đường thẳng  cho trước một góc

nhỏ nhât (hoặc tạo với mặt phẳng  Q cho trước một góc lớn nhất)

Kết quả: min ,d   d ,min ud n   P, nAIH  n   P,n  P, u ;

max ,d Q  ud   n   Q , n   Q, nP 

Từ bài toán 6, ta sẽ giải quyết được nhiều bài toán liên quan

Ví dụ 37 (Mức độ 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 1;2   và

mặt phẳng  P :2 x     y z 3 0 Lập phương trình đường thẳng  d đi qua A, song

song với  P đồng thời tạo với đường thẳng  : 1 1

 Phân tích: Vận dụng bài toán 6, min ,d   d ,min    ud n   P, n  P, u  Từ đó,

viết phương trình đường thẳng

 Lời giải:

Chọn B

Gọi  Q là mặt phẳng chứa A và song song với  P Suy ra: nQ   2; 1; 1

Khi đó,  d nằm trong  Q sao cho góc giữa  d và nhỏ nhất

Ví dụ 39 (Mức độ 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng