Chuyen de duong thang trong khong gian

Một số bài toán Bài toán lập phương trình đường thẳng.. Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết..[r]

Trang 1

1 ĐƯỜNG THĂNG TRONG KHÔNG GIAN

11.1 Phuong trinh duéng thang 2 0.00 ee

1.1.2 Vị trí tương đối

1.1.3 Khoảng cách

11.4 G6c 2.2 20.00 2

12 Mots6baitoan 2 0

1.2.1 Bài toán lập phương trình đường thắng 1.2.2 Bài toán xét vị trí tương đỐI es

1.2.3 Bài toán về khoảng cách

1.2.5 Bai todn tim điểm trên đường thắng

Trang 2

Chuong 1

DUONG THANG TRONG KHONG

GIAN

1.1 Lý thuyết

1.1.1 Phương trình đường thẳng

* Véctd tử z 0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thắng A nếu phương ( giá ) của

a song song hoặc trùng với A

* Nếu đường thẳng A có một véctơ chỉ phương thì k cũng là véctơ chỉ phương của đường thắng A

* Nếu đường thẳng A vuông góc với hai véctơ a, Đ không cùng phương thì đường thẳng

A có một véctơ chỉ phương là uÄ = [ ở, Đì

* Phương trình tham số của đường thẳng A qua Ä(zo;o;zo) và nhận tÈ = (a;b;e) làm

véctơ chỉ phương là

# = #ọ + dđÍ

ua Äƒ(Zo; yo; 2

vtcp U = (a:b; c)

Z=2%+ct

* Phương trình chính tắc của dudng thang A qua M(x; yo; 29) va nhan u = (a;b: c) lam véctơ chỉ phương là

A: Qua M (xo; Yo; 20) & tk —~ử*o _ YY Yo = — *%7

* Nếu

# = #ọ + dđÍ

A: y = yo + bt LER

Z=2%+ct

thi dudng thing A di qua diém M (29; yo; zo) va c6 mot vécto chi phuong la @ = (a; b;c)

* Néu

t—io YY 47 40

thi dudng thing A di qua diém M (29; yo; zo) va c6 mot vécto chi phuong la @ = (a; b;c)

A:

Trang 3

1.1.2 Vị trí tương đối

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thắng

vtcp Uj vtcp ug Khi do

——>

e Ai cat Ao > — e AI, A2 chéo nhau <> [1, u2| ÁN x 0

lui, uộ] # 0

* Luu y: A; LA, SW =0

* Sơ đồ xét vi trí tương đối của hai đường thẳng

(uy, u2] # 0 => A¡., Á¿ cắt nhau

M € Ay > A, = Ao

~ — ~ ~ tN

[ut, 7] N # 0 > Aj, Ay chéo nhan

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

tù —~#o _ U— 0o _ 47 40

a b C

Cho (P): Axv+ By+Cz+D=0va (A):

Ta có

(P) có véctơ pháp tuyến np = (A; B;C)

A có véctơ chỉ phương ux = (a;b;e) và qua điểm Äo(%o; yo; 20)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 3

Trang 4

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề đường thẳng

Khi đó

—> ) —> 1 —> —> = A B —

eAc(P)s uA L np es UA.Np = : es a+ Bb+Cce=0

M € (P) My € (P Azo + Bụo + Czo+ D =0

—>

eAL(P)S ur cùng phuong np nè © (ur, np = 0

e A cắt (P) © uÄ.nủ #0 Aa + Bb + Ơc #0

* Sơ đồ xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Mẹ(P)= A//(P

(Azo + Bụo + Czo + D # 0)

—-

(

Aa + Bb + Cc =())

~

Me(P)=>AC(P)

(Aro + Byo + Cro + D = 0)

(Aa + Bb+ Cc)

uxn.np #0=> A cat (P)

(Aa + Bb+ Cc # 0)

* Cach khac

Xét hệ phương trình

# = #ọ + dđÍ

y = yo + ot

Z=2%+ct

Az+ By+Cz+D=0 Suy ra

A(œo+af)+ B(o+bf)+C(zo+ct)+ D = 0 © (Aa+ Bb+Œe)t+ Azo+ Buo+ŒCzo+D = 0(*)

e A cắt (P) khi (*) có nghiệm duy nhất

e A//(P) khi () vô nghiệm

e AC (P) khi (*) vô số nghiệm

Trang 5

1.1.3 Khoảng cách

1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A

Cho đường thắng A qua điểm ức có vtep + và điểm M

Khi đó

[ma]

d(M, A) = “mm”

2 Khoảng cách giữa đường thẳng A và mặt phẳng (P)

Cho A song song mặt phẳng (P)

Đường thẳng A qua điểm M(zo; ÿo; Zọ)

Mặt phẳng (P): Az+ Bụ+ Œz+ D =0

Khi đó

_ | Azo + Byo + Cz + D|

d(A, (P)) = d(Mo, (P))

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thắng chéo nhau A¡ có vtep m qua điểm M, va

A» ¢6 vtep t2 qua diém My

Khi đó

———>

HỆ tải] M, Mp2

d( Ay, As)

fui, u2 ||

1.1.4 Cóc

1 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng A¡ có vtcp m= (a1; b1;c) va

A» có vicp tà = (đa; bạ; ca)

uị uà| |aya2 + bib» + Œ@|

COS Œ — —

Iai|.|uil - V42 + bệ + c?.V/d2 + bậ + c2

* Lưu ý: 0< (Ấ¡,A;) < 900

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) có vtpt np = (A; B; C) và đường thẳng A có vtep uÀ = (a;b; C)

Gọi ¿ = (A, (P)) Khi đó

Trang 6

1.2 Một số bài toán

1.2.1 Bài toán lập phương trình đường thẳng

Bài toán 1.2.1 Lập phương trình tham số, chính tac của đường thắng A khi biết một điểm di qua M(x; yo; 20) VA mot vtep Ud = (a; b; c)

Lời giải

Phương trình tham số Phương trình chính tắc

Qua M (x0; yo; Z0) Qua M (x9; yo: 29)

vtep Ud = (a; b; c) 0fcp t = (a; b; c)

# = #ọ + dđÍ

&4y=yrtbt ,teER

Z=2%+ct

t—Iio YY <7 %0

a b C

Bài toán 1.2.2 Lập phương trình đường thắng A biết

a) A qua diém M(1;0;—1) va nhan @ = (3;—2;2) làm vécbơ chỉ phương

b) A qua hai điểm A(1;—2; 3), B(—3; 4; —1)

c) A qua điểm 4⁄(2;0; —3) và song song với đường thắng 4 biết A(2;1;3), B(5; —2; 3)

— 2 — |

d) A qua M(2;0;—3) va song song đường thẳng đ: “ > = — = T

e) A qua điểm A⁄/(5; —3; 4) và vuông góc mặt phẳng (P) :z +2 — 3z+ 1 =0

Lời giải

a) Qua M(1;0;—1) œ#-1_ ÿ _z+I

utcp ad = (3; —2; 2) 3 —2 2

Qua Ø(—3;4; —1) vtcp AB = (—4; 6; —4) —4 6 —4

e=2+ 3t

Qua M(2; 0; —3) Qua M (2; 0; —3)

c) A: ) eae => vtcp uk = AB = (3; —3;0) = = —3t a EER

Qua M (2; 0; —3) Qua M(2; 0; —3)

ee, vtcp Uk = Uy = (2; —3; 1)

° E-2 y zrtở

2 -3 |

Qua M (5; —3; 4) Qua M(5; —3; 4)

©) A: > —> —>

AL(P):z+2u—3z+1=0 U‡CŒp uÁ = nộ = (1;2;—3)

E-5 yt3 2-4

Trang 7

Bài toán 1.2.3 Lập phương trình của đường thẳng 4A khi biết một điểm đi qua M(2o; yo; 20) và đường thẳng vuông góc với hai véctơ a, Đ

Lời giải

Qua M0; Yo; 20) Qua M (xo; yo; 20)

Phương trình tham số Phương trình chính tắc

A: Qua M (x0; yo; Z0) A: Qua M (x0; yo; Z0)

utcp uA = (d;b; c) utcp UA = (a; b;c)

L=%X%+at

&4\y=yrtbt ,tCR

Z=2%+ct

t—ito YY <7 290

a b C

Bài toán 1.2.4 Lập phương trình của đường thắng A biết

a) A qua điểm Ä⁄(1;1;2) và song song với hai mặt phẳng (P) : 3z — + 3z-+7 =0 (Q):z+3u— 2z+ 3 =0

b) A là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : z—2+3z—4= 0, (Q):3z+2u— 52— 4=0

e) A qua điểm Ä⁄/(2;0;—3) và vuông góc với hai đường thẳng dh : = ~+_-

—] i

+ l — 2 z+5

dy : = =

Lời giải

a) A: 4 A//(P) 4A Ln¿ > tep tit = [nb Rỏ] = (—7;9;10)

vicp UA = |np,n

a Tot _yAl_ 4-2

b) Ta có nở = (1;—2;3), nộ = (3;2; —5)

Mà [np,nd] = (4; 14; 8)

* Tim diém di qua

Ta có (P):z—2u+3z—4=0 zS0 (P):—2u+3z=4 " = —Ñ

(Q): 3z + 2u — 5z — 4=0 (Q):2u— 5z =4 —

3 = 4i

z=-4+ 81

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết ĩ

Trang 8

utcp Ux = lug’, ua] = (—31; —63; —8) -3l -63 -8

1.2.2 Bài toán xét vị trí tương đối

Bài toán 1.2.5 Xét vị trí tương đối của hai duéng thang A,, Ay Tim giao điểm của

A, va A› nếu có

— — va Ao: = =

Lời giải

Dường thang A; qua điểm Ä⁄4(1;—1;5) và có vtcp HỆ = (2;3;1)

Đường thẳng A¿ qua diém M2(—1;—1;1) va cé vtep tu = (4; 3; 5)

* Cách 1:

Ta có

MM;

|

= (—2;0; —4)

(12; —6; —6)

5|.My Mz = 0

=> ) ®

Vậy hai đường thắng cắt nhau tại M

* Cách 2:

Ta có

Ai: <y=-14+3t và ÀA;: =-l+3f

z=5+4+t z=1+4+ 50

Xét hệ phương trình

1+ 2= —1+ 4# t—2/= —]

—14+3t=-14+3/ << 4f-f=0 ot=t=1

54+t=1+4 50 t—5t/ = —4

Vậy hai đường thắng cắt nhau tại điểm M (3; 2; 6)

Bài toán 1.2.6 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và (P) Tìm giao điểm của

chúng nếu có

z=l2+4i

a)d:<y=94+3t ,tcRvà(P):3z+4u—z—2=0

z=1+t

10 — 4 — Ì

b) d: 2 —3 = 4 4 == —] va (P):y+4z2+17=0

Lời giải

a) * Cách 1: thay phương trình đường thẳng d vào phương trình (P) ta có

3(12 + 4t) + 4(9+ 3t) -1-#-2=0St=-3

Trang 9

Vậy d cắt (P) tại A(0;0; —2)

* Cách 2: Ta có tà = (4:3; 1): nÈ = (3;4;—1)

Suy ra

uà.nÈ = 35 # 0

Vậy d cắt (P)

b) * Cách 1: Xét hệ phương trình

4z + ởụ = —28

y+4z=8 hé v6 nghiém yt+t4z=-17

* Cách 2: Ta c6 ug = (—3; 4; -1); nB = (0; 1; 4)

Suy ra

tàn? = 0

Mà

M(—10;4;1) € dmà Mƒ £ (P)

Vậy d//(P)

Bài toán 1.2.7 Tìm m để hai đường thắng sau cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

e-6 yt2 2-3 x-4 y-3 2-2

Lời giải

Tọa độ giao điểm của đị và đ; là nghiệm của hệ phương trình

(œ—6_ +2

241

dp tae Ly 38 _£-Ÿ t~4_y-3 x+4y = 16 (3)

y-3 2-2 CẰƒ—1 2

Từ (1);(3);(4) ta được Ä⁄/(§; 2; 4) thế vào (2) ta được ?m = 2

1.2.3 Bài toán về khoảng cách

Bài toán 1.2.8 Tính khoảng cách

Z » 2 — Ì 1

a) Tt A⁄(1;—1; 1) đên đường thắng A : pre _y _2*

1 2 —2

2 — Ì 2 —3

b) Giữa hai đường thắng song song AI : “ >= = - 5 va

Trang 10

e) Giữa hai đường thẳng A :

Ao:

œ+ỏ 0+2 z-1

d) Giữa hai đường thăng chéo nhau Ấ+ : - _¥rt_? va As: - =1 “ˆ~

zT+l

2

Lời giải

œ+2_ 0l zrl

a) Từ M⁄(1;—1; 1) đến đường thẳng A : | a,

Đường thẳng A đi qua Mo(—2;1;—1) va c6 vtcp @ = (1;2;—2)

Suy ra M Mp = (8; —2; 2)

——>

Mo, @] = (0;8;8)

[| =3 Vậy

MMI, || 3/5

» — Ì 2 —3

b) Giữa hai đường thăng song song Ar: => == va

A, fo? ye ets

Ta có Ai qua điểm M,(1; —2;3)

A¿ qua điểm A¿(2;—2; —3) có vtcp đ = (2;3;5)

Suy ra M, Mp = (1; 0; —6)

——>

[MIMG, @| = (18; -17;3)

a | = V38

Do A; //A2 nén

—

d(Ai, A2) — d(Mh, A2) — [| — 19

" =— = và (P):2zS— 3u—z—1=0

Ta có A qua Äo(—3; —2;1) và vtcp øÄ = (1;—2;8)

Khi đó

e) Giữa hai đường thẳng A :

bế =0

Mp € (P)

Trang 11

Nên A//(P)

Vậy

|2.(—3)—3(—-2)—-1-1| v14

d A, P = d Mo, P = =

d) Gitta hai duéng thang chéo nhau A, : - _¥rt_2 va As : - — re _

zT+l

2

* Cách 1:

Ta có

A¡i có vtep ø‡ = (2;3;1) và đi qua ÄZ4(1;—1; 5)

Ay c6 vtcp @ = (3;2;2) va di qua M,(1;—2;—1)

Suy ra [aŸ, ai] = (4;—1; —ð)

| [ai, a¿]| = v42

¬

M, Mz = (0; —]; —6)

—>

(aq, @3] My Mz = 31

Va iy SỐ

d(A A )= |[ai, a2] Á\h Ma| _ slv42

* Cách 2:

_J(P)5A; Qua Ä⁄2(1;—2; —1)

ứ: ta ° ‘on Tt = [aq, a3] = (4; -1;-5)

Vay

— |42—(-1)-5.5-11] 31v42

d( Ai, Ax) = d(Mi, (P))

1.2.4 Bài toán về góc

Bài toán 1.2.9 Tính góc

1 2 3 z„=2— 2l

a) Gitta hai đường thẳng đ: —T =^ =¬ và : 4 =—2+†

z=l+ởïi

b) Giữa hai đường thắng dđ: 3D“ và (P): 3z + 5y—z—2=U

Lời giải

1 2 3 z„=2— 2l

a) Gitta hai đường thẳng đ: — == =¬ và đ: ˆu=_—2+†

z=1+43t

—>

Ta c6 d c6 vtcp @ = (1;3;1), d’ c6 vtep a’ = (—2;1;3)

Trang 12

Gọi ý là góc giữa đ, đ Khi đó

—>

laa’ | 4 COS{ = ———x = ——=

I#l|a| v154

=> @ 7101146”

1.2.5 Bài toán tìm điểm trên đường thẳng

e-l oyt2 zrl

Bài toán 1.2.10 Cho A: 5 1 5 va A(2;—5; —6)

a) Tim toa độ hình chiếu của A trén A

b) Tìm M € A sao cho AM = V35

Lời giải

a) * Cách 1:

Ta có

z=l+ 2i

z=-l1- 3

Gọi H 1A hình chiếu của A trên A

Do H€ A nên H(I + 2f;—2-+†;—1— 3t)

Suy ra

Af = (2t — 1;t + 3;-3t +5)

Ma

tỶ = (2;1;—3)

Hay

2(2t — 1) + (+ 3) — 3(-3 +5) =0et=1

Vay H(3;—1;—4)

* Cách 2:

- ] Qua A(2;—5; —6) Qua A(2;—5; —6)

(P): th LA = ‘on np = (2:1; —3)

Khi dé H = An (P) Toa do H 1a nghiém cta hé phuong trình

2z + — 3z — l7 =0 #= 3

b) Do M € A nén M(1 + 2t; -2 + t; -1 — 3¢)

AM = (2t — 1;t+ 3; —3t + 5)

Trang 13

Mà

t=0= M/(1;—2;—T)

2 =

oh A= OS | 4 9 M(5;0;—7)

Bài toán 1.2.11 Trong khéng gian hé truc toa do Oxyz

a) Cho A: 5 = 4 — = 5 Xée dinh diém M € Or sao cho d(0,4) = OM

z=ð+† 2 1 b) Cho AI : 4 =f va Ay: = — = 5 Xac dinh M € Ay sao cho

z=t

Lời giải

a) Goi M(m;0;0) € Ox

Dudng thing A qua N(0;1;0) c6 vtep W = (2; 1;2)

Ta có

mm 5m2 + 4m +8

Mà

d(M,A)=OM

Nên

Vậy có hai điểm M],(—1;0;0); M2(2; 0; 0)

b) Duong thang A, qua diém A(2;1;0) co vtep @ = (2; 1;2)

Do M € A, > M(3-+t:t;t) => AM = (L+1;t— 1;9

AM, W] = (t- 2;-2:3-1)

Ma

[au |

& (t — 2)? + (-2)?+ (3-1t)? =9

Bài toán 1.2.12 Trong không gian hệ trục tọa độ 2z

a) Cho A: = =U La (P)s ety tz—-3=0 Goi l = AN(P) Tim

M €(P) sao cho MT L A và MT = 4v14

Trang 14

2 y—1 5 b) Cho A: — =#—— =“ và A(—2;1:1), B(—3:—1;9) Xác định AM € A sao

cho Samap = 3V5

Lời giải

a) Ta có (P) cắt A tại J(1;1;

Gọi Mf(;;ä3— œ— 0) €(P) > MI=(I1—z;1—;z+— 2)

Đường thẳng A có vtep d= (1;—2; —1)

Ta có

x= -—3 Mi.@ =0 y= 22-1 y=-T

=>

Y=

Vậy có hia điểm M(—3; —7; 13); M(5; 9; -11)

b) Goi M(—2 + t;1 +34; -5 — 2t) EA

Ta có 4Ö = (—1;—9;1), AM = (t;3t; —6 — 30)

[4B, AM] = (t + 12; -t — 6; -t)

MA

2 t=0

2m soe [TT Vậy c6 hai diém M(—2; 1; -5); M(—14; —35; 19)

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	262,31 KB