Chuyên đề mặt phẳng trong không gian Oxyz

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa

Trong không gian Oxyz phương trình dạng AxBy Cz  D 0 với 2 2 2

0

A B C  được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Phương trình mặt phẳng  P :Ax+By+Cz+D=0 với A2B2C2 0 có vec tơ pháp tuyến là

 ; ; 

n A B C

 Mặt phẳng  P đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 và nhận vecto nA B C n; ; , 0 làm vecto pháp

tuyến dạng   P :A xx0B y y0C z z00

 Nếu  P có cặp vecto aa a a1; 2; 3;bb b b1; ;2 3 không cùng phương, có giá song song hoặc

nằm trên  P Thì vecto pháp tuyến của  P được xác định n  a b, 

2 Các trường hợp riêng của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp   :Ax+By+Cz+D=0, với A2B2C2 0 Khi đó:

 D0 khi và chỉ khi   đi qua gốc tọa độ

 A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi   song song trục Ox

 A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi   song song mặt phẳng Oxy 

 A B C D, , , 0 Đặt a D,b D,c D

      Khi đó :  : x y c 1

a b z

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho   :Ax+By+Cz+D=0 và  ' :A'x+B'y+C'z+D'=0

   cắt  '

' ' ' ' ' '







 



   //  '

' '

' '









     '

' ' ' ' ' ' ' '







  





Đặt biệt:      ' n n1 2  0 A A 'B B 'C C '0

4 Góc giữa hai mặt phẳng

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  0 0

0   90

 P :Ax+By+Cz+D=0 và  Q :A'x+B'y+C'z+D'=0

cos = cos ,

n n

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có A0;1; 1 ;  B 1;1; 2 ; C 1; 1;0 ;  D 0;0;1  Viết phương trình của mặt

phẳng  P qua A B, và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3

A 15x4y5z 1 0 B 15x4y5z 1 0

C 15x4y5z 1 0 D 15x4y5z 1 0

Lời giải

 P cắt cạnh CD tại E E, chia đoạn CD theoo tỷ số 3

x

E y

z











Vecto pháp tuyến của

 P :nAB AE, 15; 4; 5     P : x0 15 y1    4 z 1   5 0 15x4y5z 1 0

Chọn A

5 Bài tập

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho 2 điểm A1;3; 2 , B 3; 2;1 và mặt phẳng

 P :x2y2x 11 0 Tìm điểm M trên  P sao cho MB 2 2,MBA 30 0



A  

1; 2;3

1; 4;1

M

M





1; 2;3 1; 4;1

M M









2;1;3 4;1;1

M M





1; 2;3 1; 4;1

M M









Lời giải

Nhận thấy A P B,  P ,AB 6

Áp dụng định lý côsin trong tam giác MAB ta có:

MA MB BA  MB BA c  MB MB BA

Do đó tam giác MAB vuông tại A

F N

C B

A

D E

Ta có:    

1

2

x







  



Ta có 2 2 2

MA       t t t

Với t 1 M1; 2;3 ; t  1 M1; 4;1

Chọn A

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có A0;1; 1 ;  B 1;1; 2 ; C 1; 1;0 ;  D 0;0;1  Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng BCD và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD 

có tỉ số thể tích bằng 1

27

A 3x  3z 4 0 B y  z 1 0

Lời giải

Tỷ số thể tích hai khối AMNF và MNFBCD :

3 1 27

AM AB

1 3

AM

M AB

   chia cạnh AB theo tỉ số 2

 

1 2.0 1

1 2.1

3

0 3

x

x















Vecto pháp tuyến của  Q :n0;1; 1 

 

1

3

P y z

Chọn B

Bài 3: Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng   P , OH  p; gọi   , , lần lượt là các góc tạo

bởi vec tơ pháp tuyến của  P với ba trục Ox,Oy Oz, Phương trình của  P là:

A xcosycoszcos p 0 B xsinysinzsin p 0

C xcosycoszcos p 0 D xsinysinzsin p 0

Lời giải

 cos , cos , cos   cos , cos , cos 

Gọi: M x y z , ,    P HM xpcos , ypcos , z c cos

 



Chọn A

Bài 4: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P cắt hai trục y Oy' và z Oz tại '

0, 1, 0 , 0, 0,1

A  B và tạo với mặt phẳng yOz một góc  0

45

A 2x   y z 1 0 B 2x   y z 1 0

C 2x   y z 1 0; 2x   y z 1 0 D 2x   y z 1 0; 2x   y z 1 0

Lời giải

Gọi C a , 0, 0 là giao điểm của  P và trục x'Ox

0, 1, 1 ;  , 0, 1

Vec tơ pháp tuyến của  P là nBA BC, 1,a a, 

Vec tơ pháp tuyến của yOz là:  e1 1, 0, 0

Gọi  là góc tạo bởi  P và   0 2

2

1 2

a

Vậy có hai mặt phẳng  P : 2x   y z 1 2x   y z 1 0; 2x   y z 1 0

Chọn D

Bài 5: Cho mặt phẳng  P đi qua hai điểm

3, 0, 4 ,  3, 0, 4

một góc 300 và cắt y Oy' tại C Tính khoảng cách từ

O đến  P

A 4 3 B 3

C 3 3 D 2 3

30

P

-3

B

y z

O

K

A

C x' H

Lời giải

Vẽ OHKC với K là giao điểm

của AB và trục z Oz '

Ta có: C 300 K 60 ;0 OK 4

3

2

d O P OH OK

Chọn D

Bài 6: Cho mặt phẳng  P đi qua hai điểm A3, 0, 4 , B 3, 0, 4 và hợp với mặt phẳng xOy một góc 

0

30 và cắt y Oy' tại C Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P

A y 3z4 30 B y 3z4 30

C y 3z4 30 D x y 3z4 30

Lời giải

0, , 0 ;  3, , 4 ;  6, 0, 0

Vec tơ pháp tuyến của  P :nAC AB, 6 0, 4, c

Vec tơ pháp tuyến của xOz:e3 0, 0,1

2

3

2 16

c

c



Chọn C

Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x   y z 1 0,A8; 7; 4 ,  B 1; 2; 2  

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P sao cho MA22MB2 nhỏ nhất

A M0;0; 1  B M0;0;1 C M1;0;1 D M0;1;0

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn IA2IB 0 I2; 1;0 

MA  MB  MIIA  MIIB  MI IA  IB

Vì IA IB, không đổi nên  2 2

min min

2

MA  MB MI M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng

 P

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với  P

2 2

z t

 





 



Chọn A

Bài 8: Cho 2 điểm A0, 0, 3 ,  B 2, 0, 1  và mặt phẳng  P : 3x8y7z 1 0 Tìm M P sao cho

2

MA  MB nhỏ nhất

A 283; 104; 214

183 183 183

283 104 214

183 183 183

183 183 183

283 14 14

183 183 183

Lời giải

Gọi I sao cho 2 0 4; 0;5

IA IB  I 

2 2

2 2

2

Suy ra  2 2

min 2

MA  MB khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên  P

Tìm được tọa độ 283; 104; 214

183 183 183

Chọn A

Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  Q :x  y z 0 và hai điểm

4, 3,1 , 2,1,1 

A  B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  Q sao cho tam giác ABM vuông cân tại M

A

1; 2;1

17 9 8

; ;

7 7 7

M

M









1; 2;1

17 9 8

; ;

7 7 7

M M









C

 1; 2;1

13 5 9

; ;

7 7 7

M

M









1;1;1

9 9 8

; ;

7 7 7

M M







Lời giải

Gọi M a b c M , ,   Q    a b c 0 1  

Tam giác ABM cân tại M khi và chỉ khi :

Từ  1 và  2 ta có: 0 2 5  *

       

Trung điểm AB là I3; 1;1   Tam giác ABM cân tại M, suy ra:

2

AB

MI   a  b  c 

Thay  * và  3 ta được:   2  2 2

2

7

b

b

 





  



Chọn A

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí