CHUYEN DE MAT PHANG TRONG KHONG GIAN

Lập phương trình mặt phẳng P nhận điểm M 2; −1; −2 là hình chiếu vuông góc của góc tọa độ trên mặt phẳng P.. Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết..[r]

1 MẶT PHĂNG TRONG KHƠNG GIAN 2

1.1.1 Phương trình mặt phẳng Ặ.Ặ Ốc 2

11.3 Vị trítương đối của hai mặt phẳng 3

1.1.4 Vị trí tương đối của đường thắng và mặt phẳng 3

1.1.5 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 4

1.1.6 Khoảng cách .0.0.0 0.0.20 000000 2 eee 5 11.7 GOe 2 QO Q Q Q Q Q v v v v v v v TT v v.v kg ga 9D 12 Modtsd baitodn 2 na aa aaAäAT 6 Lập phương trình mặt phẳng biết điểm đi qua và một vtpt 6

Lập phương trình mặt phẳng qua Ä⁄ song song với phương của hai véctd 7 Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng 13

Tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng 15

Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thắng 17

Tìm hình chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng 19

Bài tốn về gĩc giữa hai mặt phẳng Ặ 21 Bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 23

Bài tốn vị trí tương đối của hai mặt phẳng 29

Mot s6 bai khdc ve mét phang 2 0202020202000000048 30

Khi đó (P) có véctơ pháp tuyên là TỶ — a, b |

* Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (9; yo; zo) nhận

e (Oyz) : 2 =0 c6 vécto phaép tuyến là ¿ = (1;0;0)

e (Oxz) : y = 0 có véctơ pháp tuyến là ÿ = (0; 1:0)

e Mặt phẳng 4z + By + D = 0 song song truc Oz

e Mặt phẳng 4z + Cz + D = 0 song song truc Oy

e Mat phang By + Cz + D = 0 song song truc Ox

e Mặt phẳng 4z + By = 0 chita truc Oz

e Mat phang Ax + Cz = 0 chita truc Oy

e Mat phang By + Cz = 0 chita truc Ox

1.1.2 Một số điều lưu ý

e a Lv oenp,v cing phuong Ta c6 thé chon np = V

—>

(P)// Q) © n¿,nộ cùng phương Ta có thể chọn nủ = NO

(P) song song p ng vol @ ¬ nà = |, ở)

(P) song song phương với b

e Nếu (P) song song với hai đường thang dị và dạ không song song thinp =

1.1.3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P): Aiz+ Bịu+ Ciz+ Dị =0

(Q): Asz + Boy + Coz + Do = 0

1.1.4 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

khi đó

A/)© tn ¢ (P) 7 Azo + Byo + Cz + D #0

© ACc(P) HA L nộ ° Aa+ Bb+Cce=0

M € (P) Azo + Bụo + Czo+ D=0

A(œo+af)+ B(o+bf)+C(zo+ct)+ D = 0 © (Aa+ Bb+Œe)t+ Azo+ Buo+ŒCzo+D = 0(*)

e A cắt (P) khi (*) có nghiệm duy nhất

e A//(P) khi () vô nghiệm

e AC (P) khi (*) vô số nghiệm

1.1.5 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho (S): (w—a)?+ (y— 0)? + (2-0)? = R?

e (P) không cắt (S) d> ñ

e (P) tiếp xúc (S) tại M <> d= ñ

e (P) cắt (S) ©d< ñR

Khi (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến có

+ Tâm đường tròn là hình chiếu của I trên (P)

+ Ban kính đường tròn là r = 2 — d?

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 4

c Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho mặ phẳng (P) : Az + Bụ + Ơz + D = 0 song song với đường thang

Cho hai mặt phẳng (P):Aja+ Bry t+ Ciz+ D, =0

(Q) : Agx + Boy + Coz + Do = 0

1.2 Một số bài toán

Bài toán 1.2.1 Lập phương trình mặt phẳng qua Ä/(#o;1o; zo) có véctơ pháp tuyến TỶ = (A; B;C)

Lời giải

Phương trình mặt phẳng qua Ä/(zo; Øo; zo) có véctơ pháp tuyến rt = (A; B; C) la

A(x — 2%) + Bly — yo) + C(z — zp) = 0

Bài toán 1.2.2 Lập phương trình mặt phang (P) biét

a) (P) qua ÄM/(—1;3; —2) có véctơ pháp tuyến TỶ = (2;3;4)

b) (P) qua Ä⁄(—1;3; —2) song song mặt phẳng (Q): + 2+ z+4=0

c) (P) qua M(1;0;2) va vuông góc với đường thắng AB với A(2;3;5), 8(1;—2;4)

d) (P) qua M(0;5;4) va vu6ng géc véi duéng thang (A) : 5 = ; = —

e) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thắng MN với Ä/(2;—1;3), N(—10; ð;3)

Lời giải

e) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN với Ä⁄/(2; —1;3), N(—10;5;3)

Gọi I là trung điểm MN Nên /(—4;2;3)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 6

và tiếp xúc với mặt cầu (5) : #2 + Ÿ + z2 — 2z + 6u — 7 =0

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết ĩ

Bài toán 1.2.6 Lập phương trình mặt phẳng biết ,

a) (P) qua điểm M(2;3;2) song song véi phuong cla hai vécto ad = (2;1;2),b = 3;2; —1)

4) (P) qua Ä7(6;—1;2) và chứa đường thẳng (đ) : “ —“ Ta

e) (P) qua hai điểm A(3;1;—1), B(2; —1;4) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2z — +

e) (P) qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng

d) (P) qua A⁄(6;—1;2) và chứa đường thẳng (đ): —— = =

Nhận xét: hai dudng thang A, va A, c&t nhau

Dudng thing A; qua M(1;—2;5) c6 vtep af = (2; —3;4) “7

Bài toán 1.2.9 Lập phương trình mặt phẳng (P)biét

a) Chứa trục Óz và qua điểm !/{4; —1; 2)

b) Chita truc Oy va qua điểm J(1;4; —3)

c) Chita truc Oz va qua điểm K (3; —4;7)

b) (P) Chita truc Oy va qua điểm J(1;4; —3)

Ta co OF = (1:4;—3) va J = (0:10)

OF, 7] = (8:0:1) Qua J(1; 4; —3) Qua J(1; 4; —3)

Œ) th Chita true Oy vtpt 7 = Od, 7] = (3;0;1) ove

c) (P) Chita trục Óz và qua điểm K (3; —4; 7)

Œ) tà Chita truc Oz ứ) utpt = |OW, k] = (—4;—3;0) ”

Bài toán 1.2.10 Cho hai đường thẳng chéo nhau

Ai: 2 “=——ˆ=-TwA;: —] —] —] —“=——='" 2 2

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thắng As và song song Ấy

Lời giải

Dường thang A, qua M(2;1;5) c6 vtep a3 = (—1;2;2) at Ẫ

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm (2) : 4#-+6y-+5z+ 128 = 0 và (Đ›) : 4z+Øy+5z— 26 = 0 Bài tập tương tự

Bài 1 Lập phương trình mặt phẳng biết

.? ` Ae + —> —?

a) Qua diem Ä⁄/(1;2;—3) và song song với phương hai véctơ đ = (2;1;3), b = (4; —1; 2)

b) Qua ba diém A(0; 1; 2), B(—3; 4; 1), C(1; 5; —2)

c) Qua A(1; 2;3) song song với (Q): z — 4 — z+ 16=0

Bài 2 Cho bốn điểm A(5;1;3), 8(1;6;2),C(5;0;4), D(4;0; 6)

a) Chứng minh ABCD là một tứ diện

b) Lập phương trinh mat phang (ACD) va (BCD)

e) Lập phương trình mặt phẳng qua cạnh 4? và song song véi CD

Bài 3 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1; —1) và vuông góc đường thẳng BC

với (—1;0; —4),C(0;—2; —1)

Bài 4 Lập phương trình mặt phẳng (P) nhận điểm A⁄(2;—1;—2) là hình chiếu vuông

góc của góc tọa độ trên mặt phẳng (P)

Bài 5 Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(2; —1;4), B(3;2;—1) và vuông góc

với mặt phẳng z + +2z—3=0

Bài 6 Lập phương trình mặt phẳng

a) (P) qua điểm A(1;0;5) và song song với (Q) : 2# — + z— 17 =0

b) (Q) qua ba điểm Ø(1;—2; 1),C(1;0;0), 2(0;1;0)

c) Tinh góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bài 7 Lập phương trình mặt phẳng qua A(1; —1; 1), ö(2;0;3) và song song với trục Óz

Bài toán 1.2.13 Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tìm giao điểm II của mặt phẳng (P) : Az + Bụ + Cz+ D = 0 và đường thắng A :

- Giải phương trình ta được giá trị t

- Thế giá trin t và phương trình đường thẳng A ta được tọa độ giao điểm H

- Tọa độ giao điểm H của A và (P) là nghiệm của hệ phương trình

L— 2X — 0_.Jj— 40 bx — ay = bxo — ayo

Bài toán 1.2.15 Trong hệ truc toa dd Oxyz, cho điểm A(3;—2;—2) và mặt phẳng

(P):z——z~+1=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vuông góc với (P) biết (Q) cắt hai trục Óy,Óz tại hai điểm M va N sao cho OM = ON

Lời giải

Gọi nỗ là vipt của mặt phẳng (@)

Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Óụ, Óz tại A/(0; ø;0), N(0;0; b) phân biệt sao cho W = OM

* 'Irường hợp: ø = b thi MN = (0;—a;a)//# = (0;—1;1)

Bài toán 1.2.16 Tìm hình chiều của một điểm trên một mặt phẳng

Tìm hình chiếu 7 của điểm Ä⁄/(zo;o; zo) trên mặt phẳng (P) : Az+ Bụ+Œz+ D =0

Từ đó suy ra điểm đối xứng với M qua (P)

Bài toán 1.2.17 Tìm hình chiếu 7 của điểm Ä/(1;4;2) trên mặt phẳng (P) :z + +

Lời giải

* Tìm điểm ï

- Lap phương trình đường thẳng

a b C ei ¥ 7 _#— Z0 S&S (cy — 02 =cyo — b%

- Khi đó ta có

MI LA MÌ Luàe MÌu„à =0

S©a(#o — #x + at) + b(yo — yu + bt) + c(% — zu + ct) =0

©(aŸ + b + c7)t + a(to — ty) + (yo — ys) + (20 — zu) = 0

alto — Xz) + (Yo — UM) + C(#o — Zu)

- Dường thắng A qua ÄM(#o; o; zg) có vtep d= (a; b; c)

- Xác định điểm A⁄ là hình chiếu của M trén (P)

- Khi đó hình chiếu của A trên (P) là

(d) : (ons Mã at, ne] vtcp ug = [UA, NP

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 19

* Cách 2:

- Lay hai điểm A, N thuộc A

- Tình hai điểm 7,7 là hình chiếu của A⁄/, N trên (P)

- Khi đó hình chiếu của A trên (P) là đường thẳng d qua

- Dudng thing A qua M(1;—1;2) c6 vtcp @ = (1;2;3)

- X4c dinh diém M’ lA hinh chiéu cia M trén (P)

z=l

Bài 1 Cho A(2;—1;1) và A: =4+f

z=_-Ỉ

a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với A

b) Tìm điểm A' đối xứng với A qua A

Bài 2 Cho (P) : 6z + 3+ 2z —6 =0 và A(0;0; 1)

a) Tim toa độ hình chiếu của A trên (P)

b) Tìm điểm đối xứng với A qua (P)

Bài toán 1.2.22 Góc giữa hai mặt phẳng

Cho (P): Aiz + Byy + Œịz + Dị = 0 có vtpt n= (A,; Bi; C1)

(Q) : Agu + Boy + Coz + Dz = 0 có vtpt 70, = (Ag; Bo; C2)

Bài toán 1.2.23 Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) : 2z—-+z—7 = 0 va (Q) :

((P),(Q)) = 60°

Bài toán 1.2.24 Trong không gian OÓzz cho điểm H (2; —3;6)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với OF tai H

Mặt khác góc giữa (P) và A một góc 300 nên

snap’ = Tl, — J24+A+C-C| 1_

l||uôi `ˆ 6.vA2+(A+(Œ)?+Œ2 2

© v3|A| = vA? + AC + C?

& 3A* = A? 4+ AC + C2? & 24* — AC —C? =0

Dé thay C 40 vi C =0 thi A = B = 0 Chia hai vé phuong trinh cho C? ta dude

(P): Qua 4“ utpt WwW = (1; -1; -2) 0) &r—y—2z2-3=0

Vay c6 hai mat phang (P,):2+2yt+2+3=0 va(P):r-y-2z-3=0

* Bai tap tuong tu

Bai 1 Tinh cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) : z— 2+ 2z—7 =0, (Q): 6z — 3+

(P) được tính bởi công thức

Bài toán 1.2.33 Lập phương trình mặt phăng (P) vuông góc với A : —— — Yr? _

và khoảng cach tit diém M(2;2;1) dén (P) bang 29

Bài toán 1.2.34 Trong hệ trục toa dé Oxyz lập phương trình mặt phẳng (P) vuông

góc với (Q):#+-+z—1=0 và (ñ) : 2z — + 3z T— 4= 0 và khoảng cách từ điểm O

*? | m — —_—— 5 “? †"ì —= —— on

* 'Irường hợp : mm = n, chọn + = l => ?n = I suy ra (P):z+—ðz—1=0

5

* Trường hợp : m = -=, chon n = 17 => m = —5 suy ra (P): —5#+17y—19z-+27 = 0

Vậy có hai mặt phẳng cần tim (P;):2+y—5z—-1=0 va (P)) : 5a —17y+19z-27 =0

* Tong quat: Phuong trinh mat phang (P) qua giao tuyén hai mat phẳng (Q) : 4i# +

By tCyz2+D, = 0 và (R) : Agu + Boy + Coz + Do = 0 là

eœ(A1z + By + Cz + Dy) + 8(4az + Boy + Cz + D3) = 0

& 27.49A? = 49[ A? + (2A + D/P + (7A 4 2D)?|

& 27A? + 32AD+5D?=0 A=-D

*) 4=-2p 27

* 'Irường hợp: D = —A > B= A;C = —ãA.Suy ra (P):z+—5z—1=0

* Trường hợp: D = “ZA >B= —r4i C= = ASuy ra (P) : 5a—17y+19z—27 =0

Vậy có hai mặt phẳng cần tim (P;):2+y—5z—-1=0 va (P)) : 5a —17y+19z-27 =0

Bài toán 1.2.36 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1;2;1), B(0; 4;0),C(0; phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng OA và cách đều hai điểm B và C 0; 4) Lap

* 'Irường hợp: = Œ, chọn ƒ= —l= j=_—l1,A=3 Suy ra(P):3z——z=0

* 'Irường hợp: = —Œ, chọn =lI= j=_—I1,A=I.Suyra(P):z—+z=0

° 4(n — m) = —Ñn m = 3n

* Trudng hdp: n = —m, chon m = l => n = —1 Suy ra(P):z—w+z=0

* 'Irường hợp: m = 3n, chon n = 15> m = 3 Suy ra (P): 3z ——z=0

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là (P\): 3z — — z =0 và (H):z—+z=0

Bài toán 1.2.37 Trong hệ trục toa dd Oxyz cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong dé

b,c dương và (P) : — z+1=0 Xác định b,c biết (ABC) vuông góc với (P) và khoảng

cách ttt diem O dén (ABC) bang 3

Lời giải

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (48G) là

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 28

Bài toán 1.2.38 Trong hệ trục tọa độ OÓzz cho hai đường thang

Ta có đường thẳng A¡ qua Ä⁄4(1;—1;2) và có vtcp uy = (1;—1;0)

Đường thẳng As qua M2(3;1;0) va co vtep us = (—1;2;1)

* Bài tập tương tự

Bài 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1;2;

cách từ (2; —1; 1) đến (P)bằng khoảng cách từ D(0; 3:

là

Bài 2 Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với (

():z—+z— 1 =0sao cho khoảng cách từ O dé

Bài toán 1.2.39 Bài toán vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P): Ayw+ Byy+Ciz+ D,=0

(Q): Agr + Boy + Csz + Dạ =0

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 29

* Bai tap tuong tu

Bài 1 Xác định gia tri 1 va m dé cdc cập mặt phẳng sau song song

Theo giả thuyết ta có

M{(a;b;c) € (P) (2a + 2b+c-3=0

AM? = BM? © 4ø ˆ+Ùˆ+c?—2bÙ—4e+5=øa ”+ˆ+c?— 4a+ 4b—2c+9

BM? = CM? (a2 + b° + ce? —dat+ 4b- 2c +9 =a? ++? +4a—2c+5

* 'Irường hợp: m = —n, chon n = —1 > m = 1, suy ra (P) : 3a —4y —z -6=0

* Trudng hợp: m = 5, chon n =2= m= 1, suy ra (P) : 84 + 2y+ 22 —-6=0

Vay c6 hai mat phang (P,) : 32 — 4y — z —-6 =0 vA (P)) : 34 + 2y +22 -6=0