Do ñoù khoaûng caùch töø B ñeán ñöôøng thaúng ( Δ) laø:.[r]
Trang 1(Cực Trị Trong Không Gian Toạ Độ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng
d :
x=1 −t
y=− 2+t
z=2 t
¿{ {
Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng (Δ)
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất b) Lớn nhất
Bài giải đề nghị
Cách 1 : Phương pháp hình học
Gọi (Δ) là đường thẳng qua A và cắt d; (Δ) và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d) Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên (Δ) thì BK (Δ) Vậy
BK
chính là khoảng cách từ B đến (Δ)
* Trong tam giác vuông BKH thì BK BH nên BK ngắn nhất khi K H Khi ấy (Δ) đi qua hai
điểm A và H
*Trong tam giác vuông BKA thì BK BA nên BK lớn nhất khi K A Khi ấy (Δ) đi qua A
nằm trong (P) và vuông góc với BA
a) Trường hợp d(B, (Δ) nhỏ nhất
Phương trình mp(P)= mp(A,d)
VTCP của d là a⃗❑
d=(−1 ;1;2) Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và
AM⃗❑ =(0;− 6 ;−2)
Do đó VTPT của mp (P) là n⃗❑
=[a
⃗
❑
d , AM
⃗
❑
]=(10 ; −2 ;6) Ta chọn n⃗❑
Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 ⇔ 5x-y+3z-7 = 0
Gọi H là hình chiếu của B trên (P) Ta dễ dàng tìm được H (−5
7;
68
35 ;
146
35 ) Như thế véctơ chỉ phương của (Δ) là AH⃗❑ =(−12
7 ;−
72
7 ;
76
7 ) Chonï VTCP của (Δ) là a⃗❑
=(15 ;18 ;−19)
Ta đựoc phương trình của (Δ) : 15x −1=y − 4
z −2
−19
b) Trường hợp d(B, (Δ) lớn nhất
Trường hợp nầy thì (Δ) nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA
Ta có AB⃗❑
=(−2 ;−2 ; 2) ; VTPT của (P) là n⃗❑
=(5 ;−1 ; 3) Do đó VTCP của (Δ) là:
a
⃗
❑
=[AB⃗❑ , n⃗❑] =(-4;16;12) Chọn a⃗❑
=(− 1; 4 ;3) Ta được phương trình đường thẳng (Δ): x −1
−1 =
y − 4
z −2
3 Cách 2: Phương pháp giải tích
Gọi M = d (Δ) thì M( 1-t;-2+t;2t) và (Δ) có VTCP là AM⃗❑
=(− t ;t − 6 ; 2t −2)
Ta có: AB⃗❑
=(−2 ;−2 ;2) Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng (Δ) là:
Trang 2d=| [AM⃗❑ , AB❑⃗ ] |
|AM
⃗
❑
√56 t2−304 t +416
√6 t2− 20t +40 =√28t2− 152t +208
3 t2−10 t +20
Xét hàm số f (t)=d2=28 t2−152+208
3 t2− 10 t+20
Ta có
3 t2−10 t+20¿2
¿
f ' (t)= 16 (11t
2
−8 t − 60)
¿
f(t)= 0 ⇔ t = -2 hoặc t= 30/11
Do f (−2)=12 f (30
4
15; lim f (t ) x→ ±∞
=28
3 nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5
khi= 30/11
Với max f(t) = max d2= 12 , ta có max d= √12 khi t=-2 cho AM⃗❑
=(2 ;− 8;− 6) Chọn VTCP
của (Δ) là a⃗❑
=(1 ;− 4 ;−3) ta được phương trình (Δ): x −1
1 =
y − 4
− 4 =
z −2
−3
Với min f(t)= mind2=4/15 , ta có min d= √215 khi 11
30
t cho AM
⃗
❑
=(−30
11 ;−
36
11 ;
38
11)
Chọn VTCP của (Δ) là a⃗❑
=(15 ;18 ;−19) Ta được phương trình của (Δ) là:
x −1
15 =
y − 4
z −2
−19
Hết