Trên ñường thẳng ñi qua A và vuông góc với (P) lấy ñiểm S sao cho SA=a<2R. Gọi E và F lần lượt là trung ñiểm của AC và SB. Xác ñịnh vị trí của C trên ñường tròn sao cho EF là ñường[r]
Trang 1CHUYÊN ðỀ: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Các bài tập thường ñược ñề cập ñến là:
CM tính vuông góc( ñường thẳng vuông với mp, hai ñường thẳng vuông góc với nhau, hai mp vuông góc với nhau
Các bài toán tìm khoảng cách (từ một ñiểm ñến một mặt phẳng, giữa hai ñường thẳng chéo nhau…
Các bài toán xác ñịnh góc: giữa hai ñường thẳng chéo nhau, góc giữa hai mp, góc giữa ñường thẳng và mp
CHỦ ðỀ 1: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC
A Lý thuyết cơ bản:
1 Tiêu chuẩn vuông góc
a) d vuông góc với (P) khi d vuông với hai ñường thẳng cắt nhau thuộc (P)
b) Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau khi góc giữa hai mp bằng 90 o
2 Các ñịnh lí về tính vuông góc
• ðịnh lí 3 ñường vuông góc
•
( ) ( )
( ),
⊥
•
( ) ( )
( ) ( )
⊥
( )
⊥
⊂
Khi chứng minh tính vuông góc ta cần chú ý:
• Sử dụng tính chất trục của tam giác
•
1
2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
⊥
⊥
Loại 1: Chứng minh ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng
ðể giải bài toán này phương pháp chính ñược sử dụng là: ñể chứng minh d vuông góc với ∆ ta chứng minh d vuông góc với mp(Q) chứa ∆
Chú ý:
Nếu a vuông góc với (P) thì vuông với mọi ñường thuộc (P)
ðể a vuông với (P) chỉ cần a vuông với hai ñường cắt nhau của (P)
Bài : (KB-02) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng 1 1 1 1
a Gọi M,N,P lần lượt là các trung ñiểm của các cạnh BB CD A D 1, , 1 1
Chứng minh: MP⊥C N1
Bài : (KA-07) Cho hình chóp SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a,
mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
ñáy Gọi M,N,P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD Chứng
minh: AM ⊥BP
Trang 2Bài : (KB-07) Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có ñáy là hình vuông
cạnh a Gọi E là ñiểm ñối xứng của D qua trung ñiểm của SA, M là trung
ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC Chứng minh: MN⊥BD
Bài : (KD-07) Cho hình chóp SABCD có ñáy là hình thang,
ABC=BAD= BA=BC=a AD= a Cạnh bên SA vuông góc với
ñáy và SA=a 2.Chứng minh: tam giác SCD vuông
Bài : (Cð KA-08) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình thang,
BAD= ABC= AB=BC=a AD= a , SA vuông góc với ñáy và SA=2a Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm của SA, SD Chứng minh: BCNM là hình chữ nhật
Bài : (Cð ABD-09) Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, cạnh ñáy bằng a Cạnh bên bằng a 2 Gọi
M,N,P lần lượt là trung ñiểm của SA, SD, DC Chứng minh: MN ⊥SP
Bài: (KB 03) Cho lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD =600 Gọi
M là trung ñiểm cạnh AA’, N là trung ñiểm cạnh CC’ Chứng minh: 4 ñiểm B’,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính ñộ dài cạnh AA’ theo a ñể tứ giác B’MDN là hình vuông
Bài: (TK 03) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và
BAC = , cạnh bên BB’=a Gọi I là trung ñiểm CC’ Chứng minh: tam giác AB’I vuông ở A Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (AB’I)
Loại 2: Các bài toán về tính vuông góc của hai mặt phẳng
Sử dụng kết quả: ( ) ( ) ( )
( )
P
Q
∆ ⊥
∆ ⊂
Sử dụng ñịnh nghĩa hai mặt phẳng vuông góc ñể chứng minh tính vuông góc của hai mặt phẳng
Bài : (KB-06) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a và
SA⊥ ABCD Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC Chứng minh: ( SAC)⊥(SMB)
Bài : (KA-03) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ñáy là hình vuông ABCD cạnh a; AA’=b Gọi M
là trung ñiểm của CC’ Xác ñịnh tỉ a
b ñể hai mặt phẳng A’BD và MBD vuông góc với nhau
Bài : (HP-06) Cho hình chóp SABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a SA⊥(ABC), SA=2a Gọi I là trung ñiểm của BC Chứng minh: mp SAI( )⊥(SBC)
Bài : Cho hình chóp S.ABC, trong ñó ñáy ABC là tam giác vuông tại C, hai mặt bên SAC và SAB cùng
vuông góc với ñáy ABC Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB Chứng minh:
(SAB)⊥(ADE)
Bài : Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a ðoạn SA cố ñịnh và vuông góc với (P) tại A; M và
N là hai ñiểm tương ứng di ñộng trên các cạnh BC và CD ðặt BM=u, DN=v Chứng minh rằng
2 2
a u+v =a +u là ñiều kiện cần và ñủ ñể hai mp (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau
Bài : Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Hai nửa ñường thẳng Bx và Dy vuông góc với (P)
và ở về cùng một phía ñối với (P) M và N là hai ñiểm di ñộng tương ứng trên Bx, Dy ðặt BM=u, DN=v
a) Tìm mối liên hệ giữa u,v ñể (MAC)⊥(NAC)
b) Giả sử ta có ñiều kiện ở câu a, Chứng minh: (AMN)⊥(CMN)
Trang 3CHỦ ðỀ 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các dạng toán thường gặp:
Tìm khoảng cách từ một ñiểm ñến một mặt phẳng(hoặc một ñường thẳng)
Tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau và bài toán về ñường vuông góc chung
A Lý thuyết:
1 Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng, ñến một mặt phẳng
( , )
( ,( ))
=
= trong ñó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P)
2 Khoảng cách giữa ñường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P)) trong ñó M là ñiểm bất kì nằm trên a
d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong ñó M là ñiểm bất kì nằm trên (P)
3 Khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau
• ðường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b ñược gọi là ñường vuông góc chung của a,
b
• Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ ñược gọi là ñoạn vuông góc chung của a, b
• ðộ dài ñoạn IJ ñược gọi là khoảng cách giữa a, b
• Khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai ñường thẳng
ñó với mặt phẳng chứa ñường thẳng kia và song song với nó
• Khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai ñường thẳng ñó
B Các dạng bài tập:
Loại 1: Bài toán tìm khoảng cách từ một ñiểm ñến một mặt phẳng hoặc một ñường thẳng
Phương pháp giải:
Xác ñịnh chân ñường vuông góc trên mp ( hoặc ñường thẳng)
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc lượng giác ñể tính khoảng cách
Bài : Cho tứ diện OABC, trong ñó OA,OB,OC ñôi một vuông góc với nhau Kẻ OH ⊥(ABC)
a) Chứng minh: H là trực tâm của tam giác ABC
b) Chứng minh: 1 2 12 12 1 2
OH =OA +OB +OC
Bài : (KD-02) Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AC =AD=4cm AB, =3cm BC, =5cm Tính khoảng
cách từ A ñến mp(BCD) ðS: 6 34
17
Bài : (KD-08) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông,
AB=BC=a, cạnh bên AA'=a 2 Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC Tính theo
a khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C
7
a
d AM B C =
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có SA=3a và SA vuông góc với mp(ABC) Giả sử AB=BC=2a;
120o
ABC = Tìm khoảng cách từ A ñến mp(SBC) ðS: ( , ( )) 3
2
a
d A SBC =
Bài: (KD 02) Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AC= AD=4cm AB, =3cm BC, =5cm Tính khoảng
cách từ A ñến mp(BCD)
Bài: (TK 02) Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và cạnh bên SA⊥(ABC) Tính
khoảng cách từ A tới mp(BCD) theo a biết 6
2
a
SA =
Trang 4Bài: (TK 02) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD SA), = Gọi E a
là trung ñiểm của CD Tính theo a khoảng cách từ S ñến BE
Bài: (TK 04) Cho hình chóp SABC có SA=3a và SA⊥(ABC) Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc
ABC = Tính khoảng cách từ A ñến mp(SBC)
Bài: (KD 07) Cho hình chóp SABCD có ñáy là hình thang, ABC=BAD=90 ,o BA=BC=a AD, =2a Cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA=a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB CM: tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD)
Bài: (KD 07) Cho hình chóp SABCD có ñáy là hình thang, ABC=BAD=90 ,o BA=BC=a AD, =2a Cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA=a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB CM: tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD)
Bài: (DB KA 07) Cho hình chóp SABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60, ABC và
SBC là các tam giác ñều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B ñến mp(SAC)
Bài: (DB KA 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C có 1 1 1 AB=a AC, =2 , AAa 1=2a 5 à v BAC =120o Gọi
M là trung ñiểm của CC CM: 1 MB⊥MA1 và tính khoảng cách từ A ñến mp A BM ( 1 )
Loại 2: Bài toán tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau
Ta hay chuyển bài toán xác ñịnh khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau d 1 ,d 2 về các bài toán
dễ giải hơn sau ñây:
2
/ /( )
( , ) ( , ( )) ( , ( )), ( )
b)
1
( ) ( ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) (( ), ( )) ( ) / /( )
⊂
Như vậy cuối cùng ta quy bài toán tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau về bài toán tìm khoảng cách từ một ñiểm ñến một mặt phẳng
Bài : (KD-08) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên
' 2
AA =a Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC Tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C
7
a
d AM B C =
Bài : (KB-07) Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a Gọi E là ñiểm ñối xứng
của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN và AC ðS: ( , ) 2
4
a
d MN AC =
Bài : (KA-06) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm của
AB và CD Tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng A’C và MN
Bài : (KA-04) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ñáy là hình thoi cạnh AB = 5, ñường chéo AC=4,
2 2
SO = và SO vuông góc với ñáy ABCD, ở ñây O là giao ñiểm của AC và BD Gọi M là trung ñiểm của cạnh SC Tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BM
Bài: (TK 02) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC=a Trên ñường thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy S sao cho góc giữa hai mp (ABC) và (SBC) bằng 60 o Tính ñộ dài ñoạn SA theo a
Bài:(TK 02) Cho tứ diện ñều ABCD, cạnh a =6 2 Hãy xác ñịnh và tính ñộ dài ñoạn vông góc chung
của AD và BC
Bài: (ðHVH 06) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng BD và SC
Trang 5Bài: (KB 07) Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a Gọi E là ñiểm ñối xứng
của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC CM: MN⊥BD và tính
theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN và AC
Bài: (DB KD 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C có tất cả các cạnh ñều bằng a M là trung ñiểm của 1 1 1
1
AA CM: BM ⊥B C1 và tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng BM và B C 1
Loại 3: Xác ñịnh ñường vuông góc chung
Phương pháp tổng quát dựng ñường vuông góc chung của hai ñường thẳng chéo nhau a,b:
Dựng mp(P) chứa b và (P) // a
Trên a lấy A, gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
Dựng a’ qua A’ và a’//a, a’ cắt b tại M
Kẻ qua M ñường thẳng song song với AA’ ( vuông với (P)) cắt a tại
N
MN là ñường vuông góc chung
a
b
(P)
N
M
A
A'
Trong trường hợp a và b vuông góc, ta dựng ñường vuông
góc chung như hình vẽ sau:
Bài : (KB-02) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a Tính theo a khoảng cách giữa 1 1 1 1
1
A B và B D ðS: 1 6
6
a
Bài : Cho hình tứ diện ñều ABCD cạnh a=6 2cm Hãy xác ñịnh và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung
của hai ñường thẳng AB và CD ðS: 6 cm
Bài : Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a, cạnh SA vuông góc với
ñáy và SA=2a Xác ñịnh và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của hai ñường thẳng AB và SC ðS: a 2
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=h và SA vuông góc với mp(ABCD)
Dựng và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của hai ñường thẳng SC và AB ðS:
2 2
ah
a +h
Bài : Cho ñường tròn ñường kính AB=2R trong mặt phẳng (P) C là
một ñiểm chạy trên ñường tròn Trên ñường thẳng ñi qua A và
vuông góc với (P) lấy ñiểm S sao cho SA=a<2R Gọi E và F lần
lượt là trung ñiểm của AC và SB Xác ñịnh vị trí của C trên ñường
tròn sao cho EF là ñường vuông góc chung của AC và SB
CHỦ ðỀ 3: BÀI TOÁN XÁC ðỊNH GÓC GIỮA HAI ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG VÀ GIỮA ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A Lý thuyết cơ bản:
1 Các khái niệm:
a) Góc giữa hai ñường thẳng:
• a′//a, b′//b ⇒ ( )a b, =(a b', ')
• Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, ( , )u v =α
Trang 6Khi ñó: ( ) 0 0
,
neá u
a b
neá u
=
• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì ( )a b, =00
Chú ý: 00≤( )a b, ≤900
b) Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) thì (d P,( )) = 900
• Nếu d ⊥( )P thì (d P,( )) = (d d, ') với d′ là hình chiếu của d trên (P)
Chú ý: 00 ≤ (d P,( )) ≤ 900
c) Góc giữa hai mặt phẳng
( ),( ) , ( )
⊥
• Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng ( ),
( ),
(( ),( )P Q )=( )a b,
Chú ý: 00≤(( ),( )P Q )≤900
2 Có hai loại toán chính sau:
a) Xác ñịnh gócα(có thể góc hoặc giá trị lượng giác của góc) của hai ñường thẳng chéo nhau, giữa ñường thẳng và mp, giữa hai mặt phẳng
b) Tìm ñiều kiện ñể các góc nói trên nhận giá trị cho trước
Loại 1: Xác ñịnh góc giữa hai ñường thẳng chéo nhau trong không gian
ðể giải bài toán này ta tiến hành theo 2 bước:
Bước 1: Quy góc giữa hai ñường thẳng chéo nhau về góc giữa hai ñường thẳng cắt nhau:
GS cần tính góc αcủa hai ñường thẳng chéo nhau d và d’ Chọn A thích hợp trên d, qua A kẻ ñường thẳng d 1 song song với d’ Khi ñó (d,d’)=(d,d 1 )
Bước 2: Trong mp(d,d 1 ), dựa vào các kiến thức của hình học phẳng ñể xác ñịnh α
Bài : (KA-08) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB=a, AC =a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ trên mp(ABC) là trung ñiểm của cạnh BC Tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’ ðS: cos 1
4
α =
Bài : (KB-08) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 và
mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB,BC Tính cosin của góc tạo bởi hai ñường SM, DN ðS: cos 5
5
α=
Bài : (KA-04) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi cạnh bằng 5 , AC=4 và chiều cao của hình
chóp là SO=2 2, ở ñây O là giao ñiểm của AC và BD Gọi H là trung ñiểm của SC Tìm góc giữa hai ñường thẳng SA và BM ðS: (SA BM =, ) 30o
Bài : (KA-03) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’
a) Chứng minh: A C' ⊥(BDC')
b) Tính khoảng cách giữa hai mp (AB’D’) và (BDC’)
c) Tính số ño của góc tạo bởi hai mp (BA’C) và (DA’C)
ðS: 60 o
Bài : Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB=2a, CAB=60o ðoạn SA=a và vuông góc với (P)
Tính sinα, ở ñây α là góc giữa hai mp(SAB) và (SBC)
Trang 7Bài: (KB 02) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a 1 1 1 1
a) Tính theo a khoảng cách giữa A B và 1 B D 1
b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung ñiểm của các cạnh BB CD A D Tính góc giữa hai ñường thẳng 1, , 1 1
MP và C N 1
Loại 2: Bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng
Bài: (KA 03) (Thêm ý a,b) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’
a) CM: A C' ⊥(BDC')
b) Tính khoảng cách giữa hai mp (AB’D’) và (BDC’)
c) Tính số ño của góc tạo bởi hai mp (BA’C) và (DA’C)
Bài: (CðSP HD 06) Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, ñường cao
3
SH =a Tính góc giữa mặt bên và mặt ñáy của hình chóp
Bài: (TK 02) Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC ñôi một vuông góc Gọi , ,α β γ lần lượt là các góc giữa mp(ABC) với các mặt (OBC), (OCA), (OAB) CMR: cosα+cosβ +cosγ ≤ 3
Loại 3: Bài toán tìm ñiều kiện ñể góc cần tìm bằng một ñại lượng cho trước
Phương pháp giải như sau:
Xác ñịnh góc α
Từ ñiều kiện yêu cầu về α, ta có phương trình xác ñịnh một ẩn số ñã chọn từ trước Việc tìm ẩn
số này cho phép ta tìm ñược lời giải bài toán
Chú ý: nếu α=90o ta có bài toán: tìm ñiều kiện ñể hai mp vuông góc với nhau, hoặc hai ñường thẳng vuông góc
Bài 1: Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB=2a, CAB=60o, ñoạn SA=h và SA vuông góc với
(P) Tìm h sao cho góc giữa hai mp (SAB) và (SBC) bằng 60o ðS: 2
2
a
h=
Bài 2: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a ðoạn SA cố ñịnh vuông góc với (P) tại A M,N lần
lượt là hai ñiểm di ñộng trên cạnh BC và CD ðặt BM=u, DN=v Chứng minh: a(u+v)+uv=a2 là ñiều kiện cần và ñủ ñể hai mp (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 45o
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA=SB=SC=a
a) Chứng minh: mp(ABCD) vuông góc với (SBD)
b) Chứng minh SBD là tam giác vuông tại S
Bài 2: Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC và SBC
a) Chứng minh: SC vuông góc với mp(BHK) và (SAC) vuông với (BHK)
b) Chứng minh: HK vuông với (SBC) và (SBC) vuông với (BHK)
Bài 3: Trong mp(P) cho hình chữ nhật ABCD Qua A dựng nửa ñường thẳng Ax vuông góc với (P) Lấy S
là ñiểm tùy ý trên Ax (S khác A) Qua A dựng mp (Q) vuông với SC Giả sử (Q) cắt SB,SC,SD lần lượt tại
B’, C’, D’ Chứng minh: AB'⊥SB AD; '⊥SD và SB.SB’=SC.SC’=SD.SD’
Bài 4: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ ñáy là tam giác ABC với AB=AC, BAC = Gọi M là trung ñiểm α của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với ñáy (ABC) một góc β
a) Chứng minh: C BC' = b) Chứng minh: tanβ cos
2
α
β
= là ñiều kiện cần và ñủ ñể '
BM ⊥MC
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD với ñáy là hình vuông cạnh a, có SA=h và vuông góc với mp(ABCD)
Dựng và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của: a) SB và CD b) SC và BD
Trang 8ðS: a) Khoảng cách là BC bằng a, b)
2 2 2
ah
a h +a
Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh 7a, cạnh SC vuông góc với mp(ABC)
và SC=7a Tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BC ðS: a 21
Bài 7: Trong mp(P) cho hình thoi ABCD có tâm O và cạnh a và 3
3
OB=a Trên ñường thẳng vuông
góc với mp(ABCD) tại O lấy ñiểm S sao cho SB=a Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BD
ðS: 3
3
a
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a Gọi E, F và M lần lượt là trung ñiểm của AD,
AB và CC’ Gọi ϕ là góc giữa hai mp(ABCD) và (EFM) Tính cosϕ ðS: 3 11
11
Bài 9: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a Dựng ñoạn SA vuông góc với (P) tại A Gọi M và N
lần lượt là các ñiểm trên BC và CD ðặt BM=u, DN=v Chứng minh: ( ) 2
a u+v + uv=a là ñiều kiện cần và ñủ ñể hai mp (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 30o