Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa d vaø taïo vôùi d’ goùc lôùn nhaát..[r]
Trang 1BÀI TOÁN 3 (CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) và đường thẳng
(d ): x −1
−1 =
y +2
1 =
z
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
(Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008)
Lời giải tham khảo Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án của Bộ)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) và K là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Ta có theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên : MH ≤ MK , nên MH lớn nhất khi
H ≡ K
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K.
Giải: Ta có K (1 −t ; − 2+ t ; 2 t)∈(d)⇒AK⃗❑
=(−t ;t −6 ;2 t − 2)
(d) có véctơ chỉ phương a⃗❑
=(− 1;1 ;2) AK
⃗
❑
⊥ a❑⃗⇔t=5
3 Do đó AK
⃗
❑
=(−5
3;−
13
3 ;
4
3) Chọn véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n⃗❑
=(5 ;13 ; − 4) Chọn điểm M0(1;− 2; 0)∈(d )⇒ M0∈(P) Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2)-4(z-0)=0
5x+13y-4z+21 = 0
Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt (P): Ax+By+Cz +D = 0 ( A2+B2+C2≠0¿ Chọn M(1;-2;0) và N(0;-1;2) thuộc (d) suy ra M,N thuộc (P)
Ta được :
¿
A −2 B+D=0
− B+2 C+D=0
⇔
¿D=− A +2 B C= A − B
2
¿{
¿
Do đó (P): Ax+By+A − B
2 z − A+2 B=0 Ta có d=
d ( A ; P)= 2|A+5 B|
√5 A2+5 B2− 2 AB
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: A=0 Ta được : d=2|5 B|
√5 B2=2√5
Trường hợp 2: A ≠ 0 Ta được : d=
2|1+5 B
A |
√5+5(B A)2−2(B A)
= 2|1+5 x|
√5+5 x2−2 x(x =
B
A)
Ta có d2
=4 (25 x2+10 x +1)
5 x2− 2 x +5 Hàm số f (x)= 25 x
2
+10 x +1
5 x2− 2 x +5 đạt GTLN là :
Trang 2356 khi x=13
5 Vậy max d2
=4(35
6 )⇒ mad d=√70
3 khi x=
B
A=
13
5 ( Chọn trường hợp 2 vì √70
3 >2√5 )
Chọn A=5; B=13 thì C=-4 ; D= 21
Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0
Hết
Vình Long, ngày 8 tháng 6 năm 2009
GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vĩnh Long, TP Vĩnh Long
Ghi chú:
1/ Có thể xét B=0 , B ≠ 0 (Tương tự như xét A)
2/ Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất