[r]
Trang 1(CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x+12 =y +1=z −3 và mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất
Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P)(Q) và A=d (P) thì A d’.Lấy K d,kẻ KH (P) và HI d’thì :
KIH❑ =(P ,Q)=α Trong tam giác vuông KIH :tan α=KHHI , do KH không đổi nên:
tan α nhỏ nhất ⇔HI lớn nhất ⇔ I A (do HI HA)
Khi ấy thì d’ vuông góc với d Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P)
Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’
VTCP của d là u⃗❑
=(2 ;1 ;1); VTPT của (P) là n
⃗
❑
P(1 ;2;− 1)suy ra VTCP của d’ là
u '❑⃗
=[u
⃗
❑
, n
⃗
❑
P]=(− 3 ;3 ;3)hay u '
⃗
❑
=(1 ;−1 ;−1) Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:
n⃗❑
Q=[u
⃗
❑
,u '
⃗
❑
]=(0 ;3 ;− 3)hay n
⃗
❑
Q=(0 ;1;− 1)
Điểm M(-1;-1;3)d ⇒M (Q)
Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 ( A2
+B2+C2≠ 0)
M(-1;-1;3) d ; N(1;0;4) d ⇒M;N (Q) Ta được:
C=−2 A − B D=7 A+4 B
¿{
¿
¿
Do đó (Q): Ax+By+(−2 A − B)z+7 A+4B=0 VTPT của (Q) là n⃗❑
Q=(A ;B ;−2 A − B).
Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là :n⃗❑
P=(1 ;2;−1).Gọi α là góc giữa (P) và (Q) thì:
cos α=|n
⃗
❑
P n
⃗
❑
Q|
|n
⃗
❑
P|.|n
⃗
❑
Q|=
3
√6.
|A+B|
√5 A2+2 B2+4 AB
Ta xét hai trường hợp của A
Trường hợp 1: A=0 Ta được cos α= 3
√6.
|B|
√2 B2=√32
Trường hợp 2: A 0 Ta có cos α=√36 |1+ B
A|
√5+2(B A)2+4(B A)
Xét hàm số: f(x) = 96 x
2+2 x +1
2 x2
+4 x +5(x=
B
A ; f (x)=cos
2
α)
Trang 2f ' (x)=96. 6 x+6
(2 x2+4 x +5)2 f’(x) = 0 ⇔ x= -1.
Vậy cos2α < 34 ⇒cos α<√3
2 ⇒ α> π
6 ( Do hàm cosin x nghịch biến trên đọan [0 ; π
2] )
Trường hợp (1) và (2) ⇒ min α= π6
Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 và D= 4.
Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0
Hết
Ghi Chú:
1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B0 ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B 0 như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )
2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là :
a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất
1
f’
( x )
f ( x )
0
0
4
3
4 3