Đạo hàm , vi phân giải tích 2

f gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D... Đối với các hàm sau:f : R2  R sau đây, hãy khảo sát tính liên tục, sự tồn tại và tính liên tụccủa các đạo hàm riêng cấp

Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Không gian Rn

1 Ánh xạ  : X  0,   thoả các tính chất sau đây gọi là một chuẩn trên X:

(i) x  0  x  0 (zero chủa X)

(ii)x  ||x (x  X,  R)

(iii)x  y  x  y (x,y  X)

Khi đó cặp X,   gọi là không gian định chuẩn.

Các định nghĩa dưới đây nói trong không gian định chuẩn X,  

2 Hai chuẩn 1 và 2gọi là tương đương nếu tồn tại các số dương,  sao cho:

 1   2   1

3 Quả cầu:

Ba, r  x  X : x  a  r gọi là quả cầu mở

B/a, r  x  X : x  a  r gọi là quả cầu đóng

5 Điểm tụ, điểm biên

Cho không gianX,  , tập D  X

(i) Điểm x  X gọi là điểm tụ của D nếu mọi r  0 ta có Bx,r\x  D  

(ii) Điểm x  X gọi là điểm biên của D nếu mọi r  0 ta có Bx,r  D   và

(i)  0,m0 sao cho với m  m0 thìx m  x  

(ii) Mỗi lân cận V bất kỳ của x, tồn tại m0 sao cho m  m0  x m  V

Khi đó ký hiệu:

m lim x m  x hay x m

.

 xhay x m  x m   (Ta còn chứng minh được giới hạn này

là duy nhất, ngoài ra tính chất mở, đóng, hội tụ và giới hạn của dãy là không thay đổi nếu ta thay

thế chuẩn đang xét bởi chuẩn khác tương đương, đôi khi để tránh nhầm lẫn ta có thể viết xm để

chỉ dãyx m)

Định lý

Cho dãyxm m  R n , xm  x1m, x2m, , x n m và x  x1, x2, , x n  R n Khi đó:

m lim xm  x khi và chỉ khi: Với mỗi i  1, 2, , n

m lim x i m  x i

7 Các chuẩn thông dụng trên R

Đặc biệt trong n  1, Ba chuẩn trên là giống nhau, đó là chuẩn x  |x|

8 Tích vô hướng trong R n

1 Hàm số nhiều biến số: Cho D  R n , ánh xạ f : D  R gọi là hàm số thực với n biến số thực

2 Hàm véc tơ: Cho D  R n , ánh xạ f : D  R pgọi là hàm véc tơ

Có thể biểu diễn f như sau: fx  f1x, f2x, , f n xVới mỗi i  1, 2, , n , f i : D  R

(iii) f : R3  R2, fx, y, z  x  y, x  y (hàm véc tơ; f1x, y  x  y; f2x, y  x  y)

1.3 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.

Định nghĩa:

Cho D  R n và f : D  R p ; a là điểm tụ của D

1 L  R p gọi là giới hạn của hàm f tại a (Ký hiệu:

x a

lim fx  L) nếu như:

(  0,  0,x  D\a,x  a    fx  L  )

Các mệnh đề tương đương:

(i) Mọi dãyx m  D\a,x m  a  fx m   L (m  )

(ii) Mọi dãyx m  D\a,limx m  a  0  limfx m L  0

2 f gọi là liên tục tại a nếu

(ii)  0,  0,x  D,x  a    fx  fa  

(ii) Mọi dãyx m  D,limx m  a  0  limfx m fa  0

3 f gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D

Lưu ý: Tổng, hiệu, tích, thương, hợp (nếu tồn tại) các hàm liên tục là hàm liên tục.

(g) fx, y  sin4x 1 cos y2

4x4 y4 (HD:Từ chỗ sin x~x; 1  cos y~y2/2 ta có thể dự đoán fx, y  1

4;

fx, y 1

4  sin4x  x4

4x4 y4  1 cos y  1

4y44x4  y4 ; chứng tỏ từng số hạng của vế phải của bất đẳngthức trên tiến đến 0 khix, y  0, 0)

(h) fx, y  sin x  y

x  siny (HD: xét hai dãy a m   1

m, 0 và bm  1

m, m1 )

2 Cho hàm số f : x, y  cos3x

cos2x  y2sin2x xét giới hạn tại

1.4 Đạo hàm riêng cấp 1, cấp cao, Lớp Ck

Để cho dễ tiếp cận trường hợp tổng quát, trước hết ta định nghĩa các đạo hàm riêng cho cáchàm hai biến, sau đó tổng quát lên hàm nhiếu biến

Xétx  fx, y0 và y  fx0, y Nếu các đạo hàm riêng tương ứng nói trên là tồn tại

thì:

f

x x0, y0  /x0; f

y x0, y0  /y0Với nhận xét này thì việc nghiên cứu đạo hàm riêng theo từng biến đưa về đạo hàm của hàmmột biến thông thường

2 Khi f có đạo hàm riêng theo từng biến thì bộ thứ tự:

gradfx0, y0 : f

x x0, y0, f

y x0, y0 , gọi là gradient của f tại a  x0, y0, vàcũng có thể ký hiệuf thay cho gradf

Ví dụ: Tínhf1,1 với fx,y  sinxy2

fx, 1  sinx; f1, y  siny2

Giả sử f  f1, f2, , f p , trong đó f k : D  R (k  1, 2, , p) Khi đó:

f có đạo hàm riêng theo biến thứ i tại a khi và chỉ khi mọi k  1, 2, , p hàm f k có đạo hàm riêng

theo biến thứ i tại a và ta có:

D i fa  D i f1a, D i f2a, , D i f p a (hay  f

Ví dụTìm Jacobi của các hàm sau tai điểmx, y

1 f : 0,   0,2  R2, định bởi fx, y  x cos y, x siny

2.: 0,   0,2  R  R3, định bởi fx, y, z  x cos y sinz, x siny sinz, x cos z

Định nghĩa

Cho D là một tập mở trong R2, f : D  R p , a  D

1 Cho i, j  1,2

Ta nói rằng f có đạo hàm riêng cấp hai tại a đối với các biến thứ i và j (theo thứ tự đó) khi và chỉ

khi thoả hai điều kiện sau:

1 (Lớp Ck ) Cho D là tập mở trong R2 f là hàm xác định trên D, ta nói f thuộc lớp C k (k  1, 2, )

trên D nếu và chỉ nếu:

(i) f có các đạo hàm riêng cấp k trên D

(ii) Mọi đạo hàm riêng cấp k của f liên tục trên D

2 (Lớp C) Cho D là tập mở trong R2 f là hàm xác định trên D, ta nói f thuộc lớp C trên D nếu và

Cho D là tập mở trong R n , a  D, f : D  R p có các đạo hàm riêng, các đạo hàm này liên tục

tại a Khi đó tồn tại hàm  xác định trong lân cận của 0 (zero của R n ), nhận trị trong R pđể cho:

h  h1, h2, , h n  R n , a  h  D và ta có:

fa  h  fa 

n

i1

 h i D i fa  hh với h  0 (zero của R) khi h  0 (zero của R n)

Khi đó ta nói f khả vi tại a và ánh xạ h1, h2, , h n 

fa  h  fa  J f a h  hh (J f a là Jacobi của f tại a , tích J f a h là tích hai ma trận)

2 Đặc biệt f là một ánh xạ tuyến tính (thoả fx  y  fx  fy) thì f luôn khả vi và có dfa  f (không phụ thuộc a nên có thể viết df)

3 Phép chiếu x i : h1, h2, , h n   h i là tuyến tính, do đó dx i  dx i h  x i h  h i nên có thể viết

y x, y  x2  D2fa  x0, liên tục

Suy ra f  C1 và vi phân của f tại x0, y0 là ánh xạ h1, h2  2x0y0h1 x02h2

và cũng có thể viết dfx0, y0  D1fx0, y0dx  D2fx0, y0dy   f

x x0, y0dx   f

y x0, y0dy hay df  f

z dz  yzdx  xzdy  xydz

Vi phân cấp hai của hàm số hai biến số

Định nghĩa: Cho hàm số hai biến số f khả vi, ta định nghĩa vi phân cấp hai của f là:

dz  4xdx  3ydx  xdy  2ydy  4x  3ydx  3x  2ydy

dz2  4dx  3dydx  3dx  2dydy  4dx2 6dxdy  2dy2

2 Nếu z  fx, y khả vi, y  x khả vi khi đó: dz

dx  z

x  z y

dy dx

3 Nếu z  fx, y khả vi, trong đó x  u, v; y  u, v khả vi thì các đạo hàm riêng:

(i) dz

du  z

x x u  z y y u

(ii) dz

dv  z

x x v  z y y v

4 Tổng quát:

Cho U  V f  G, trong đó hàm f, g khả vi, khi đó: g  f khả vi và f

(i) dg  fa  dgfa  dfa a  U

(ii) J g f a  J g fa  J f a

Ví dụ

1 z  e x2y2

, trong đó x  a cos t, y  a sint Tìm dz

dt dz

y cos t  xsint (Có thể tiếp tục thay x,y theo t)

2 z  xy, x  r cos t; y  r sint Tìm z

Cho phương trình Fx, y  0 trong đó x  R n

, y  R Nếu tồn tại hàm  : U  R sao cho Fx, x  0 x  U thì  gọi là hàm ẩn xác định trên U.

F

z 0, 0, 1  2  0

Theo kết quả định lý, tồn tại lân cận mở W  U  V của 0, 0, 1 (trong đó U lân cận mở của

0, 0, V là lân cận mở của 1 ) và hàm  : U  V thoả x2  y2 2x, y  1  0 với x,y  U và có:

(i) a  0 và r  0 (hay t  0) f đạt cực tiểu tại a

(ii)a  0 và r  0 (hay t  0) f đạt cực đại tại a

(iii)a  0  f không đạt cực trị tại a (trường hợp này ta nói điểm a là điểm yên ngựa)

(iv)a  0, chưa thể kết luận.

r  2; s  0; t  2;

1, 2  4  0 và r  0 f đạt cực đại tại 1, 2

Tổng quát cho hàm nhiều biến:

Cho hàm fx1, x2, , x n , giả sử tất cả các đạo hàm riêng cấp hai của hàm f liên tục tại điểm dừng a  a1, a2, , a n

1 Nếu |H i|  0 với i là số số lẻ và |H j|  0 với j là số chẳn, thì f đạt cực đại địa phương tại a

2 Nếu |H j|  0 với mọi j  1, 2, , n, thì f đạt cực tiểu địa phương tại a

3 Nếu |H|  0 và không thoả hai điều kiện trên thì f không đạt cực trị tại a.

Ví dụ

Tìm cực trị địa phương của hàm fx1, x2, x3  x1 x2 3

2x3 3x2x3 2x1 40Giải (vắn tắt)

Cách tìm cực trị có điều kiện đối với hàm hai biến:

Bước 1 : Xác định hàm Lagrange: Lx, y,   fx, y  x, y

Bước 2: Tìm cực trị của hàm lagrange (ba biến)

(ii) Xét dấu vi phân cấp 2 của hàm hai biến Lx, y, 0 tại x0, y0:

d2L  L xx//dx2 2L xy// dxdy  L yy//dy2 với điều kiện x/dx   y/dy  0 và dx2  dy2  0

 Nếu d2L  0 thì điểm Px0, y0 là cực tiểu

 Nếu d2L  0 thì điểm Px0, y0 là cực đại

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z  xy  x  y trên miền D  x, y : x2 y2  1

Bước 1 Tìm cực trị địa phương trên miền x2 y2  1

1 Đối với các hàm sau:f : R2  R sau đây, hãy khảo sát tính liên tục, sự tồn tại và tính liên tục

của các đạo hàm riêng cấp 1

5 Các phương trình sau có thể đổi thành z  x, y tại lân cận của điểm x0, y0, z0 không? Nếu

có, tính 

x ,  y tạix0, y0

(a) x  y  z  sinxyz  0; x0, y0, z0  0, 0, 0

(b) x3 y3 z3  3xyz; x0, y0, z0  1,1,0

6 Tính đạo hàm của các hàm số xác định bởi

(a) Tính y/ biết x3y  y3x  a4 (b) Tính y/ biết xe y  ye x  e xy  0

(c) x  y  z  e z , tính z x/, z y/

7 Tìm cực trị của của các hàm số sau:

(a) fx, y  4x  y  x2  y2; (b) fx, y  x2 xy  y2 x  y  1

(c) fx, y  x  y  xe y

8 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của fx, y  x2 y2 trên miền tròn x2 y2  4

9 Tìm cực trị có điều kiện của fx, y  xy với điều kiện x  y  1

Chương 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Nhắc lại:

Cho A  R,

m  infA     0,a  A : m  a  m   (nếu có thêm m  A, thì m  minA)

M  sup A     0,a  A : m    a  m (nếu có thêm M  A, thì

m  MaxA)

 là tập bị chặn trong R n nếu tồn tại r  0, sao cho   B0,r (zero của R n)

2.1 Tích phân kép

2.1.1 Khái niệm và tính chất

Cho là tập đóng bị chặn trong R n, Một họ hữu hạn các tập con của, đóng, bị chặn

P  E ii1,2, ,n p thoả : 

i1

n p

 E i và phần trong của E i và của E j là rời nhau nếu như i  j được gọi

là một cách chia (hay cách lát, hay là phân hoạch)



sup Lf,  



inf Uf,  thì ta nói f là Rieman-Khả tích, và giá trị này gọi là tích phân của

f trên và ký hiệu làx, ydxdy hay vắn tắt hơnfdxdy.

Mệnh đề:

Cho f bị chặn trên một miền bị chặn  R2, f Rieman-khả tích khi và chỉ khi:

  0,  P (tập các phân hoạch của ) sao cho Uf,  Lf,  

Định lý (Dấu hiệu nhận biết hàm khả tích)

Cho là tập đóng, bị chặn, f :   R, là hàm bị chặn Nếu f liên tục tại mọi điểm trên  thì f là

Định lý (Phương pháp chiếu lên trục tọa độ)

Cho là hàm liên tục và bị chặn trên

(i) Nếu  x, y : a  x  b,g1x  y  g2x, trong đó g1, g2là các hàm khả vi trêna, b, thì f khả tích và có

2

Đổi biến tổng quát:

Định lý

Cho U, V là hai tập mở của R2, và các hàm, , f như sau: U  V   R, f

 là song ánh, liên tục và 1 liên tục

D fx, ydxdy  fxu, v, yu, v|J|dudv

2 1 2

 1 2

y  y,    sin ; và chọn,   x, , y, ; ta có thể hạn chế giá trị , 

để lthoả điều kiện nêu trong công thức đổi biến.

Miền D là nửa hình tròn có tâm 1, 0 bán kính r  1 (nằm bên phải trục Oy)

Phương trình đường tròn trong tọa độ cực: 2  2 cos     0

  2 cos 

  ,  :    2, 

2 và 0    2cos 

Diện tích của mặt D trong mặt phẳng Oxy: S  D dxdy

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 Nếu khối lượng riêng tại điểm Mx, y của bản phẳng D là x, y thì khối lượng của bản D

được tính bởi:

m  D x, ydxdy Đặc biệt, nếu bản D đồng chất tì

 Toạ độ trọng tâm của G hình phẳng D (trong mặt phẳng Oxy) tính bởi:

sup Lf,  



inf Uf,  thì ta nói f là Rieman-Khả tích, và giá trị này gọi là tích phân của

f trên và ký hiệu làx, ydxdydz hay vắn tắt hơnfdxdydz.

Dấu hiệu nhận biết, tính chất tích phân, được phát biểu tương tư trong mục 1.1

2.2.2 Phương pháp tính

1 Toạ độ Descatte

Đinh lý (Chiếu xuống mặt Oxy)

Cho1,2 :a, b  R là các hàm liên tục,

fx, y, zdxdydz  xy dxdy

  x, y, z  R3 : 0  x  1,0  y  1  x2, 0  z  y (do chiếu xuống Oxy có miền

y  1  x2 và x, y  0 ; miền này chiếu xuống Ox)

Cho U, W là hai tập mở của R3, và các hàm, f như sau: U  W   R, f

 là song ánh, liên tục và 1 liên tục

f là ánh xạ liên tục

 là tập đóng , bị chặn trong U, V   khi đó:

V fx, y, zdxdydz  f  u,v,w|detJ  u, v, w|dudvdw (J  u, v, w là Jacobi

của tại u, v, w)

V fx, y, zdxdydz  fxu, v, w, yu, v, w, zu, v, w|J|dudvdw

2 Phép chuyển qua toạ độ trụ

Giả sử Mx, y, z  R3, gọi M/ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Đặt là góc định hướng giữa tia Ox và OM/; r  OM

 là góc định hướng giữa tia Ox và OM/

 là góc định hướng giữa tia Oz và tia OM.

sin cos  r cos  cos  r sinsin

sin sin r cos  sin r sin cos 

Chuyển sang tọa độ cầu:

Phương trình mặt cầu: r2  2Rr cos  ( r  0 hoặc r  2R cos )

Phương trình mặt nón: r2sin2  r2cos2; (r  0 hoặc   

 Tính Khối lượng vật thể D, biết khối lượng riêng tại điểm Mx, y, z  D là x,y,z :

m 

D

 x, y, zdxdydz;

 Toạ độ trọng tâm G của vật thể D :

1.C gọi là đơn nếu:

(i),  liên tục trên đoạn a, b

(ii) t1, t2  a,b, t1  t2thìt1  t2

2 Đường cong đơnL gọi là kín nếu điểm Aa, a trùng với Bb, b

3.C gọi là trơn nếu ,  thuộc lớp C1 và có các đạo hàm không đồng thời bằng 0

4.C gọi là trơn từng khúc (nói gọn là trơn) nếu nó gồm một số hữu hạn cung trơn.

5 Cho đường cong đơnC với hai đầu mút là A, B.Ta gọi một cách chia đường cong C là

một họ hữu hạn điểm trên đường congA0, A1, , A n thoả:

(i) A0  A; A n  B,

(ii)



A i A i1  A j Aj1 \Ai , A i1 , A j , A j1    với i j  1, 2, , n và i  j (các cung có chung nhau

nhiều lắm là các điểm đầu mút)

2.3.1 Định nghĩa

Cho đường cong đơnC với hai đầu mút là A, B và hàm số f xác định trên C Gọi  là tập

hợp tất cả cách chia đường congC Giả sử P  A0, A1, , A n   Đặt:

m i  inf fM : M A i1A i ; M i  sup fM : M A i1A i (i  1, 2, , n);

s i  chiều dài của cungA i1A i;

Nếu

P 

sup Lf, P 

P 

inf Lf, P thì giá trị này gọi là tích phân đường loại 1 của hàm f trên đường cong

C và ký hiệu làC fds (hoặcC fx, yds )

NếuC là kín thì ta cũng ký hiệu tích phân này làC fds

Lưu ý: Định nghĩa tích phân đường loại 1 được mở rộng cho đường congC được cho trong không gian, và hàm f là hàm 3 biến.

Định lý

Nếu đường congC trơn và hàm f liên tục thìC fds tồn tại.

Tính chất

Tích phân đường loại 1 có các tính chất như tích phân thông thường (tổng, hiệu, tích một hằng

số với tích phân, tích phân trên hai cung rời nhau (hoặc giao nhau chỉ gồm hữu hạn điểm)) , ngoài

1 Tính chiều dài cung

Cho cungC, chiều dài cung C : l  C ds

2 Tính khối lượng cung

Giả sử cungC có mật độ khối lượng phụ thuộc từng điểm là M  x, y, z Khi đó khối

lượng cung tính bởi:

Giải: Phương trình tham số của đường chuẩnL : x  cos t

y  sint 0  t  

2

Cho đường cong trơnC với hai đầu mút là A, B và hàm f x, y  Px, y, Qx, y xác định trên

C Gọi  là tập hợp tất cả cách chia đường cong C Giả sử p n  A0, A1, , A n   Đặt:

s i  A i1 A i  x i e1 y i e2 (e1, e2 là các véc tơ đơn vị tự nhiên)

Trên mỗi cung

C và cách chọn điểm M i thì ta nói số L là tích phân đường loại 2 của hàm f trên đường cong

3 Trong trường hợp đường congC là kín, thì ta quy ước chọn chiều dương trên C là chiều

ngược chiều kim đồng hồ