Bài giảng Toán cao cấp - Giải tích 1: Đạo hàm, vi phân

[r]

Bài giảng Toán cao cấp_ Giải tích 1_

864005_Đạo hàm, Vi phân

Trần Thanh Bình tranthanhbinhsgu@gmail.com

Đại học Sài gòn

Tháng 9- 2016

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 1 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

1 Đạo hàm

2 Các phương pháp tính đạo hàm

3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

4 Vi phân

5 Đạo hàm của hàm ẩn

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài giảng bao gồm

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

3 QUY TẮC L/HOSPITAL

4 BÀI TẬP

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20

Bài 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 3 / 20

1 ĐẠO HÀM

1 Đạo hàm

Định nghĩa 1 Cho hàm f (x)xác định trên (a, b)và x02 (a, b) 1) Ta định nghĩa đạo hàm của f tại x0 bởi

f/(x0) = lim

x ! x 0

f (x) f (x0)

h ! 0

f (x0+h) f (x0)

h nếu vế phải tồn tại

2) Nếu f/(x0)hữu hạn, ta nói f khả vi tại x0

3) Nếu f khả vi tại x0, ta đặt

α(x) =

(

f ( x ) f ( x 0 )

x x 0 , x 6=x0

0 , x =x0

Ta có

f (x) f (x0) =h

f/(x0) +α(x)i

(x x0), lim

x ! x 0

α(x) =0 (1)

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 4 / 20

1 ĐẠO HÀM

Mệnh đề 1

Định nghĩa 2

Các giới hạn một phía

lim

x ! x0

f (x) f (x0)

x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f+/(x0); f/(x0)_ đạo hàm phải (trái) Mệnh đề 2

Đạo hàm f/(x0)tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f+/(x0), f/(x0)tồn tại và bằng l

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20

1 ĐẠO HÀM

Mệnh đề 1

Định nghĩa 2

Các giới hạn một phía

lim

x ! x0

f (x) f (x0)

x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f+/(x0); f/(x0)_ đạo hàm phải (trái) Mệnh đề 2

Đạo hàm f/(x0)tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f+/(x0), f/(x0)tồn tại và bằng l

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20

1 ĐẠO HÀM

Mệnh đề 1

Định nghĩa 2

Các giới hạn một phía

lim

x ! x0

f (x) f (x0)

x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f+/(x0); f/(x0)_ đạo hàm phải (trái) Mệnh đề 2

Đạo hàm f/(x0)tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f+/(x0), f/(x0)tồn tại và bằng l

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20

1 ĐẠO HÀM

Mệnh đề 1

Định nghĩa 2

Các giới hạn một phía

lim

x ! x0

f (x) f (x0)

x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f+/(x0); f/(x0)_ đạo hàm phải (trái)

Mệnh đề 2 Đạo hàm f/(x0)tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f+/(x0), f/(x0)tồn tại và bằng l

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20

1 ĐẠO HÀM

Mệnh đề 1

Định nghĩa 2

Các giới hạn một phía

lim

x ! x0

f (x) f (x0)

x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f+/(x0); f/(x0)_ đạo hàm phải (trái) Mệnh đề 2

Đạo hàm f/(x0)tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f+/(x0), f/(x0)tồn tại và bằng l

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20

1 ĐẠO HÀM

Ví dụ 1 Cho f (x) = jxj

lim

x ! 0 +

f (x) f (0)

x ! 0 +

x

x =1; lim

x ! 0

f (x) f (0)

x ! 0

x

Vậy f+/(0) =1; f/(0) = 1 Hàm f không có đạo hàm tại x0

Ví dụ 2 Cho

x 2 ; f+/(0) = +∞; f /(0) = ∞

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20

1 ĐẠO HÀM

Ví dụ 1 Cho f (x) = jxj

lim

x ! 0 +

f (x) f (0)

x ! 0 +

x

x =1; lim

x ! 0

f (x) f (0)

x ! 0

x

Vậy f+/(0) =1; f/(0) = 1 Hàm f không có đạo hàm tại x0

Ví dụ 2 Cho

x 2 ; f+/(0) = +∞; f /(0) = ∞

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20

1 ĐẠO HÀM

Ví dụ 1 Cho f (x) = jxj

lim

x ! 0 +

f (x) f (0)

x ! 0 +

x

x =1; lim

x ! 0

f (x) f (0)

x ! 0

x

Vậy f+/(0) =1; f/(0) = 1 Hàm f không có đạo hàm tại x0

Ví dụ 2 Cho

x 2 ; f+/(0) = +∞; f /(0) = ∞

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20