Lý thuyết + Kí hiệu: lim un + Khi chúng ta tính giới hạn của một biểu thức, dãy số, hàm số tức chúng ta tính giá trị của biểu thức, dãy số, hàm số khi x hoặc n tiến dần đến vô cùng.. GIỚ
Trang 1I Lý thuyết
+) Kí hiệu: lim un
+) Khi chúng ta tính giới hạn của một biểu thức, dãy số, hàm số tức chúng ta tính giá trị của biểu thức, dãy số, hàm số khi x (hoặc n) tiến dần đến vô cùng
+) Công thức:
n
n
1 lim n
1
n
5 limcc (c là hằng số)
6
1
n
+) Tính chất:
lim u nv n limu nlimv n
+) Cách làm:
*) Khi biểu thức không thức không chứa mẫu rút x
n
có số mũ cao nhất ra ngoài
Chú ý: lim 1 0; limn
*) Nếu biểu thứ có dạng phân thức chia cả tử và mẫu cho x
n
có số mũ cao nhất
Chú ý:
0
lim
0
a
a
(a là số bất kì, aR)
*) Nếu biểu thức có chứa lúy thừa với x
n
là số mũ chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất
GIỚI HẠN DÃY SỐ
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN
Trang 2*) Giới hạn chứa cănrút x
n
có số mũ cao nhất ra ngoài (Nếu có thêm mẫu chia cho bậc cao nhất)
f x
Phương pháp: Sử dụng “Nhân liên hợp” A2B2 A B AB
VD1: Tính giới hạn:
lim n 3n1 b) 3
lim n 4n1 c) 2 3
lim n 1 n 2n3
Hướng dẫn giải:
5
lim n
VD2: Tính giới hạn:
a)
2
2
lim
n n
lim
n
3
lim
n n
n
d)
4
2
lim
1 2
n
n n e)
32 2
8
lim
n n
n n
Hướng dẫn giải:
2
2
2 3
3
2
3
1
1
Trang 3
3 2 2
3
3
8
7 8
3
7 8
n 1 2 n
2n 3 4n
4
4
VD3: Tính giới hạn:
n
n b) lim2 41
3.2
n
n c)
1
lim
n n
n n
Hướng dẫn giải:
1
1
1 1
2
3 2 1
6
4
3
7
n
n
n n
n
n
a
b
c
VD4: Tính giới hạn
a) lim n23n1 b) lim3 8n32n2 n 3
c)
2
lim
1 3
n
Hướng dẫn giải:
Trang 4
3
2 3
2
2
1
3
3
n n n
n
c
n
VD5: Tính giới hạn:
1 lim
Hướng dẫn giải:
2
2
2 2
1
2
n n n
n n n
n
2 2
c
n
Trang 5VD1: Tính các giới hạn:
a)
2
1
lim
1
x
2
sin
4 lim
x
x
x
Hướng dẫn giải:
2
2
a
x
x
b
x
Dạng: 0
0
+) Nếu biểu thức không chứa căn thì tiến hành phân tích da thức thành nhân tử
+) Nếu biểu thức chứa căn thì tiến hành nhân liên hợp
;
A B A B A B A B A B A AB B
rút gọn đi nhân tử mà tạo ra dạng 0
0
VD2: Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
lim
2
x
x x
2
2 2
lim
x
x x
x x c)
3
2 2
8 lim
4
x
x
x d)
3 2
2 1
1 lim
x
x x x
x x
Hướng dẫn giải:
2
2
) lim
2
x
x x
a
x
2
x x
x x
x
BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN HÀM SỐ (PHẦN 1)
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN
Trang 6
2
2
2
2
2
3 2
2
1
b
c
x x x
d
VD3: Tính:
2
4 1 3
lim
4
x
x
lim
1
x
c)
2
2
0
1 1
lim
16 4
x
x
x
3
2 2
8 11 3 lim
x
x
Hướng dẫn giải:
2
2
1
lim
) lim
1
x
x
x
a
b
x
+) Cách 1: Thêm bớt 1 số
Tách thành 2 giới hạn
Liên hợp
+) Cách 2: Liên hợp trực tiếp
1
lim
4
x
Trang 7
2
2
2
3
2
1 1
2
x
c
x
d
3
11 9
lim
lim
lim
27
x
x
x
x
x
VD4: Tính giới hạn:
a)
3
0
lim
x
3 2 2
lim
x
Hướng dẫn giải:
3
3
2
3
0
3
2
2
3
lim
) lim
x
x
a
A
x x
B
x x
3
Trang 8
2
3
2
3
2
2
lim
27
lim
3
x
x
x
A
x x
x B
x
2 2
3
2
2
lim
6
lim
x
x
x
x
VD5: Giới hạn lượng giác:
a)
0
sin 5
lim
x
x
x b) 0
tan 2 lim 3
x
x
x c) 0 2
1 cos lim
x
x
x
Chú ý:
0
sin
x
x
x
Hướng dẫn giải:
2
5
4 4 2
a
x
c
1 2
Trang 9I Lý thuyết
2
0
lim
0
x f x
x
f x
1
x lim x
*) Phương pháp:
+) Kéo x có số mũ cao nhất ra ngoài
| x |
0
x x x
x x
3 3
x x; x4 x2
VD1: Tính giới hạn:
a)
3
lim
x
x x
x x b)
2
lim
1
x
x x
2
2 lim
x
x
x x
50
lim
x
x
2
5 1 lim
x
x
Hướng dẫn giải:
a) TH1: x
3
3 3
1
6
x
x x
x
x x
TH2: x
3
3 3
1
6
x
x x
x
x x
b) TH1: x
3
2
2
2
1
1 1
1
x
x x
x
x
BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN HÀM SỐ (Phần 2)
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN
Trang 10TH2: x
3
2
2
2
1
1 1
1
x
x x
x
x
c)
2
5
2 5
2 1
3
x
x
x x
2
x
x x
30
20 30 30
50
lim
1 2
x
x
x
e)
2
2
2 2
1 1
x x
x x
x x
x x
1 5
x
Chú ý: Nếu x thì:
2
2
2 2
1 1
1 5
x x
x x
x
VD2: Tính giới hạn:
lim x 1 x b) 2 2
Trang 11Hướng dẫn giải:
a) TH1:
2
2 2
2 1
1
x
x
TH2:
2
TH1 x :
2
1 5
5 lim
2
x
x x x
TH2 x :
2
1 5
5 lim
2
x
x x x
2
2
2
x x
*) Giới hạn 1 bên: lim
o o
x x
x x
f x
0
xx: lớn hơn x0 (gần sát)
0
xx: nhỏ hơn x0 (gần sát)
0
xx: Thay x0 vào f(x)
0
a
(a: 1 số)
VD: Tính
Trang 12a)
2
4
lim
3
x
x x
15 lim
2
x
x
x c)
2
3
lim
3
x
x x
x
Hướng dẫn giải:
2
4
2
2
2
2
2
3
15
) lim
2
15
lim
2
) lim
3
x
x
x
x
x
x
x x
a
x
x
b
x
x
x
x
x
x x
c
x
3
x
x x
3
x x
Vì x3 x 3 x 3 0
2
3
lim
3
x
x x
x